北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质当堂检测题

【名师】3.2 抛物线的简单几何性质练习

一．填空题

1．已知曲线的焦点为F，点P在曲线上运动，定点，则的最小值为________．

2．抛物线的焦点坐标是__________．

3．若抛物线的焦点在圆外，则实数m的取值范围是_______．

4．已知点O为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则等于___________.

5．抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于，两点，则的最小值为________．

6．过抛物线的焦点作直线l与抛物线交于A，B两点，直线l与y轴的负半轴交于点C.若，则直线l的斜率为________.

7．在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点.若直线的倾斜角为，则△的面积为____.

8．抛物线的焦点坐标是______．

9．点是抛物线的两点，是抛物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为________.

10．抛物线的焦点坐标是_________

11．已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则______.

12．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值是           ．

13．在平面直角坐标系中，双曲线的上支和焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为______.

14．已知抛物线（）的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是__________．

15．已知点是抛物线上动点，且点在第一象限，是抛物线的焦点，点的坐标为，当取最小值时，直线的方程为______．

16．已知焦点为的抛物线的准线是直线,若点,点为抛物线上一点,且于,则的最小值为________.

17．已知为，当B在曲线上运动时，线段的中点M的轨迹方程是___________________.

18．斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，则＝       ．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：设出点的坐标，由此表示出，利用均值不等式求得最值即可.

详解：设，时，，时，有

当且仅当时取等．

的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的定义，以及利用均值不等式求和的最值，属综合中档题.

2．【答案】

【解析】分析：将抛物线方程化为标准方程，即可求得焦点坐标.

详解：方程，即，

故其焦点坐标为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据抛物线方程求焦点坐标，属简单题.

3．【答案】

【解析】求出抛物线的焦点F坐标为，由F在圆外，可得：，进而可得实数m的取值范围．

详解：解：抛物线的焦点F坐标为，

若F在圆外，由，解得，

故答案为：

【点睛】

本题考查求抛物线的焦点坐标，点与圆的位置关系，属于基础题．

4．【答案】

【解析】分析：由题知抛物线的焦点，进而分直线斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.

详解：设，，

当直线斜率不存在时，，

所以.

当直线斜率存在时，设方程为，

与抛物线联立方程得：

所以，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查过抛物线的焦点的弦的性质，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；此外，掌握过抛物线焦点的弦的相关性质，能够快速解题.

5．【答案】

【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，

设过的直线方程为，，，

联立，化简得，

则，，

根据抛物线的定义可得，，

∴，

∴，

当且仅当，即，时，等号成立.

∴的最小值为.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：设直线l的方程为以及，联立抛物线和直线l的方程，再结合确定的坐标，再根据焦点和点的坐标求直线l的斜率即可.

详解：解：抛物线的焦点，

设，直线l的方程为，

设，，

所以，

，，，

，所以，，

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：根据直线l过焦点，设出直线l的方程，联立直线和抛物线方程，根据根与系数的关系，得到两根之和，两根之积，再结合其他条件确定点的坐标是解决本题的关键.

7．【答案】

【解析】过抛物线的焦点，

直线的方程：,即,

代入抛物线的方程并整理得：,

解得,

这就是A,B两点的纵坐标.

的面积为,

故答案为：.

8．【答案】

【解析】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.

9．【答案】1

【解析】分析：设，，由题意得与的关系，在三角形中由余弦定理得与的关系，求出比值，由均值不等式求出最大值.

详解：设，，

则，，

，

当且仅当时取等号.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查抛物线中的最值问题，考查学生计算能力，属于中档题.

10．【答案】，

【解析】将抛物线化成标准方程得，根据抛物线的基本概念即可算出该抛物线的焦点坐标．

详解：抛物线的方程为，

化成标准方程，得，

由此可得抛物线的，得

抛物线的焦点坐标为，

故答案为：，

【点睛】

本题给出抛物线的方程，求抛物线的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题．

11．【答案】6

【解析】分析：根据点A到C的焦点的距离为12，由抛物线的定义得到，然后由点A到y轴的距离为9，得到求解.

详解：设抛物线的焦点为F，因为点A到C的焦点的距离为12，

所以由抛物线的定义知，

又因为点A到y轴的距离为9，

所以，

所以 ，

解得.

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.

12．【答案】2

【解析】抛物线准线为，横坐标为4的点到焦点的距离为5，所以

考点：抛物线方程及性质

13．【答案】

【解析】设，联立方程得到，解得答案.

详解：设， ，则，即.

，则，故，即.

故渐近线方程为：.

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线和双曲线的综合应用问题，意在考查学生的综合应用能力.

14．【答案】

【解析】作出图形，根据三角形的形状可得，从而得到抛物线的方程.

详解：如图，由抛物线的定义可知，

因为的斜率为，，

所以，即为等边三角形，

在中易知为的中点，

因为，所以，即；

由可得，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查抛物线的方程及性质，合理利用抛物线的定义式能简化解题过程，侧重考查直观想象的核心素养.

15．【答案】

【解析】分析：由在准线上，过抛物线上点作垂直与准线，得到，得出

最大时即过点的直线与抛物线相切，设出切线方程为，结合判别式，即可求解.

详解：由题意，抛物线的方程可得焦点，在准线上，

过抛物线上的点作垂直与准线交于点，

由抛物线的定义，可得，

在中，，

所以最小时，则最小，此时最大，

而最大时即过点的直线与抛物线相切，

设过与抛物线相切的直线方程为，

联立方程组，整理得，

则，解得，

又由点在第一象限，所以，

所以直线的方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

16．【答案】.

【解析】根据题意画出图象,根据抛物线定义可得:, 则,结合图象,即可求得答案.

详解：根据题意画出图象,如图:

根据抛物线定义可得:

由,可得

根据两点间距离公式可得:

故答案为:.

【点睛】

本题考查了抛物线上动点的最值问题,解题关键是掌握抛物线定义和动点问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

17．【答案】

【解析】设出的坐标，求出的坐标，动点在抛物线上运动，点满足抛物线方程，代入求解，即可得到的轨迹方程．

详解：解：设的坐标，由题意点与点所连线段的中点，可知，

动点在抛物线上运动，所以，所以．

所以点与点所连线段的中的轨迹方程是：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．

18．【答案】8

【解析】．