高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程同步测试题

【优质】2.1 圆的标准方程-1优选练习

一．填空题

1．过圆的圆心，且垂直于的直线方程是______．

2．已知圆，过点的直线被圆所截得的弦的长度最小值为______.

3．圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线相切的圆的方程为________.

4．若圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，则实数________．

5．直线与圆交于两点，则弦长的最小值是_________．

6．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为__．

7．圆关于直线对称的圆的方程为________

8．已知动圆过定点，并且内切于定圆，则动圆圆心的轨迹方程._______

9．过点作圆的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__.

10．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是，则这个三角形外接圆的方程为_____

11．圆关于直线对称，则的最小值是__________.

12．圆心是，半径是5的圆的标准方程为_____________．

13．圆关于直线对称的圆的方程为_________

14．已知三角形的三边所在直线为，，，则三角形的外接圆方程为________

15．若过点可作圆的两条切线，则实数m的取值范围为__________.

16．圆心在直线上，且与轴相切于点的圆的标准方程为___________.

17．方程表示圆，则的取值范围是___________.

18．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出圆心坐标，由垂直设出直线方程为，代入圆心坐标求出参数，得直线方程．

详解：圆的标准方程是，圆心坐标为，

垂直于的直线方程为，则，，

∴所求直线方程为．

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：本题考查由垂直求直线方程，解题方法有两种：

（1）由垂直得斜率乘积为，得出所求主直线的斜率，再由写出点斜式方程，

（2）与直线垂直的直线方程可设为，代入已知点坐标求出参数后可得．

2．【答案】2

【解析】分析：由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与垂直时最大，求出的最大值，进而求出弦长的最小值．

详解：由圆的方程可得圆心坐标，半径；

设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，

当最大时弦长最小，当直线与所在的直线垂直时最大，

这时，

所以最小的弦长，

故答案为：2

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是通过分析得到当直线与所在的直线垂直时最大，弦长最小. 与圆有关的弦长问题的最值一般利用数形结合分析解答.

3．【答案】

【解析】分析：设圆心为坐标为 ，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，解出即可得到圆的方程.

详解：根据题意，设圆心为坐标为

因为圆的半径为4，且与直线相切

则圆心到直线的距离

解可得或13（舍），则圆的坐标为，所求圆的方程为

故答案为：.

4．【答案】7

【解析】分析：先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为（为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得的值.

详解：圆的方程化为标准方程得，则，

圆的半径为，

设圆心到直线的距离为，

当时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，由已知条件得，

即，解得.

此时，，直线与圆相离，符合题意.

当时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，由已知条件得，舍去

综上，

故答案为：7

【点睛】

关键点点睛：解此题的关键在于分类讨论的思想，根据直线与圆的位置关系不同，分别求解，综合即可求解.

5．【答案】

【解析】分析：首先求出直线所过定点的坐标，当时，取得最小，再根据弦长公式计算可得.

详解：因为直线恒过定点，

因为，故点在圆内，

当时，取得最小，

因为

所以.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：由已知设圆方程为，代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．

详解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．

即圆的方程为，再把点代入，得或1，

∴圆的方程为或，对应圆心为或；

由点线距离公式，圆心到直线的距离或；

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．

7．【答案】

【解析】分析：求出的圆心关于直线的对称点可得对称圆的圆心，又两圆的半径相等，由此可得所求圆的方程.

详解：圆的圆心为，半径为2，

设关于直线的对称点为，

则，解得.

，则圆关于直线对称的圆的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了求圆关于直线对称的圆的方程，属于基础题.

8．【答案】

【解析】分析：由圆的标准方程有圆心为，半径为8，根据圆内切于定圆且过定点，即有，即知轨迹为椭圆，写出轨迹方程即可.

详解：由圆方程知：圆的圆心为，半径为8，

∵圆过定点且内切于圆，若设圆的圆心为，

∴由题意知：，而，故可知在以为焦点的椭圆上，

∴，即圆心的轨迹方程：.

【点睛】

关键点点睛：根据动圆过定点且与另一圆内切，即两圆圆心的距离加上动圆到定点的距离为定值，又两圆心距离为定值，即可知动圆圆心轨迹.

9．【答案】.

【解析】分析：利用配方法将圆化成标准方程，得其圆心为，当垂直这条弦时，所得到的弦长最短，求出直线的斜率后，再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解.

详解：解：将圆化成标准形式为，圆心为，则点A在圆内，

当垂直这条弦时，所得到的弦长最短，

，

这条弦所在直线的斜率为，其方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握圆的一般方程与标准方程互化．两条直线垂直的条件等基础知识点是解题的关键，考查学生的数形结合思想．逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

10．【答案】，或者.

【解析】分析：由题意可得顶点的坐标为，再根据底边端点的坐标是，可得圆心，由求得b和半径，可得所求圆的方程

详解：由题意可得顶点坐标，底边两端点的坐标是，可得圆心在y轴上，所以由即得，

所以半径为，外接圆的方程为或者.

故答案为：，或者.

【点睛】

本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：先根据题意得直线过圆心，进而得，再结合基本不等式求解即可得答案.

详解：解：由已知得圆的圆心坐标为，半径为，

由于圆关于直线对称，

所以直线过圆心，

所以，，

所以，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

故答案为：

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

12．【答案】

【解析】分析：利用圆的标准方程即可求得答案．

详解：所求圆的圆心为，半径为5，

所求圆的标准方程为：．

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：根据对称性求出对称后圆的圆心和半径，即可得解.

详解：由题意，圆的圆心为，半径为2，

因为点关于直线对称的点为，

所以圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为2，

所以该圆的方程为.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：先由三条直线两两联立，求出三角形的三个顶点坐标，再设所求圆的一般方程，根据待定系数法，即可求出结果.

详解：由解得；由解得；

由解得；

根据题意，可得所求圆的方程过点，，，

设所求圆的方程为，

则，解得，

即所求圆的方程为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：

求圆的方程时，可用待定系数求解，先设圆的标准方程或一般方程，根据题中条件（圆心与半径满足的条件；圆所过点的坐标等）列出方程，求出待定系数，即可得出所求圆的方程.

15．【答案】.

【解析】分析：由题意可知点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：由于过点可作圆的两条切线，则点在圆外，

可得，解得或，

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：此题考查了点与圆的位置关系，一元二次不等式的解法，理解过已知点总可以作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键.

16．【答案】

【解析】分析：设圆心为，由与轴相切可得半径为，将代入可求出，得出方程.

详解：圆心在直线上，则可设圆心为，

又圆与轴相切，则半径为，则圆的方程为，

将代入得，解得，

故圆的方程为：.

故答案为：.

17．【答案】

【解析】分析：根据方程表示圆，由求解.

详解：方程表示圆，

所以，

即 ，

解得 ，

所以的取值范围是

故答案为：

18．【答案】

【解析】分析：方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.

详解：圆的标准方程为，则，

若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，

故答案为：

【点睛】

本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.