北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质课时练习

【精挑】2.2 双曲线的简单几何性质-1优选练习

一．填空题

1．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的标准方程为___________.

2．双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_________．

3．已知双曲线的左右焦点是，设是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为的模，且它们的夹角为，则双曲线的离心率是___________.

4．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围___________.

5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数__________

6．已知双曲线经过坐标原点，两个焦点坐标分别为，，则的离心率为______.

7．双曲线的离心率为___________.

8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为______.

9．方程表示的曲线为函数的图象.对于函数，现有如下结论：①函数的值域是R；②在R上单调递减；③的图象不经过第三象限；④直线与曲线没有交点.其中正确的结论是___________.

10．已知双曲线C：（）的离心率为，则C的渐近线方程为__________.

11．设点．均在双曲线：上运动，．是双曲线的左．右焦点，则的最小值为________.

12．已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，从双曲线的右焦点引渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的方程为___________.

13．过双曲线上任意一点作平行于轴的直线，交双曲线的两条渐近线于两点，若，则此双曲线的离心率为_________.

14．已知P为双曲线上一点，若以OP（O为坐标原点）为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则的最小值为________．

15．已知双曲线C的焦点在y轴上且离心率为2，写出一个满足条件的曲线C的方程为___________.

16．若双曲线的右顶点到其中一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为________．

17．若直线与双曲线的两交点在轴上的射影落在该双曲线的两个焦点上，则该双曲线的离心率是___________.

18．双曲线的离心率为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为，再将点代入求解.

详解：因为双曲线的渐近线方程为，

所以设双曲线方程为，

又因为双曲线过点，

所以

所以双曲线的标准方程为，

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：利用，求得，即得渐近线方程.

详解：由，得，∴双曲线的渐近线方程为

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：根据在上的投影的大小恰好为的模，得出，再利用直角三角形，双曲线的定义即可求出离心率.

详解：在上的投影的大小恰好为的模，

又因为它们的夹角为，

∴在中，，

根据双曲线的定义，

所以

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了双曲线离心率的求法，属于基础题.

4．【答案】

【解析】分析：根据焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征得到不等式组，解得即可；

详解：解：方程，表示焦点在轴上的双曲线，

，

．

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：由双曲线的性质结合题意可得，即可得解.

详解：双曲线的一条渐近线方程为，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．【答案】2

【解析】分析：利用双曲线的性质求解，，然后求解双曲线的离心率即可．

详解：解：双曲线经过坐标原点，两个焦点坐标分别为，，

可得，所以，，所以，

所以双曲线的离心率为：．

故答案为：2.

7．【答案】

【解析】分析：根据双曲线为等轴双曲线可得答案.

详解：由得，

所以双曲线为等轴双曲线，所以离心率为.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：根据双曲线的渐近线方程求得，结合求得的值，进而求得双曲线的实轴长.

详解：由题意可得，解得，则该双曲线的实轴长为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

9．【答案】①②③④

【解析】分析：根据方程，分别讨论．．和四种情况，得到不同的解析式，画出对应的图象，即可得答案.

详解：当时，方程为，表示椭圆在第一象限的部分，

当时，方程为，表示双曲线在第四象限的部分，

当时，方程为，表示双曲线在第二象限的部分，

当时，方程为，无意义，

所以图象如下所示：

所以函数的值域是R；故①正确；

在R上单调递减，故②正确；

的图象不经过第三象限，故③正确；

直线为双曲线的渐近线，所以曲线没有交点，故④正确.

故答案为：①②③④

【点睛】

解题的关键是根据题意，分类讨论，得到不同的解析式，再画图求解，考查分类讨论，数形结合的能力，属基础题.

10．【答案】

【解析】分析：由题可知，双曲线的渐近线方程为：，而，结合，即可求出．

详解：因为双曲线的渐近线方程为：，而，

所以．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，由离心率求渐近线方程，属于基础题．

11．【答案】4

【解析】分析：由向量的运算即可得到，再根据双曲线的性质即可求解.

详解：解：为的中点，

.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：利用数形结合，计算，然后根据面积以及离心率进行计算可得结果.

详解：如图

双曲线的一条渐近线方程为：

则，所以

所以①

又②，③

所以由①②②得：

故双曲线方程为：

故答案为：

【点睛】

本题关键在于根据三角形面积可得，熟知双曲线的焦点到渐近线的距离为，方便解题.

13．【答案】

【解析】分析：根据题意设出点，写出两点的坐标，利用，即可得出的关系式，结合，即可计算出离心率的值.

详解：双曲线的渐近线为，设，则，，，

代入得即.

因为点在双曲线上，所以，即.

所以.

因为，双曲线的离心率，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线的性质？向量的数量积.属于中档题. 求解双曲线？椭圆的问题，一定要看清标准方程的形式，弄清焦点在轴上还是轴上.

14．【答案】

【解析】分析：写出双曲线的渐近线方程，易知，结合O，P，A，B四点共圆，设该圆的半径为R，由正弦定理可得，从而，故只需求R的最小值，显然当点P位于双曲线的顶点时，直径最小，即R最小，求出R的最小值，即可得解.

详解：由题意知，双曲线的渐近线方程为，

易知O，P，A，B四点共圆，

设该圆的半径为R，易知，

由正弦定理可得，

故，

故要求的最小值，只需求R的最小值即可，

显然当点P位于双曲线的顶点时，最小，即R最小，且，

所以．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了双曲线的标准方程和几何性质．直线与圆的位置关系以及正弦定理的应用，考查了数形结合思想及化归与转化思想，属于中档题．

15．【答案】(答案不唯一)

【解析】分析：焦点在上的双曲线方程为，离心率为，则，只要满足，均符合要求．

详解：设双曲线方程为，因为双曲线离心率为2，所以，故双曲线方程为中的任意一个，可取.

故答案为：.（答案不唯一）．

16．【答案】

【解析】分析：由点到直线的距离公式得出的关系，再变形求得离心率．

详解：右顶点为，一条渐近线方程为，即，

由题意，即，所以．

故答案为：2

17．【答案】

【解析】分析：将分别代入直线与椭圆方程中，分别求出其纵坐标，由题意，由它们的纵坐标相等建立方程，从而得到答案.

详解：设直线与双曲线的两交点为 ，如图

由题意，轴，将代入，则，所以

将代入中，得所以

即.

故答案为：

18．【答案】6

【解析】分析：根据双曲线的方程求出，再由可求出，再根据离心率求解即可.

详解：由双曲线可得，，所以，

所以离心率.

故答案为：