高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质测试题

【优编】2.2 双曲线的简单几何性质-1优选练习

一．填空题

1．已知双曲线的左，右焦点分别为．，点在双曲线上，且，的平分线交轴于点，则______.

2．双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为___________.

3．与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线方程为__________．

4．已知点在双曲线上，则双曲线的离心率是_____________.

5．已知双曲线的左．右焦点分别为，，过作渐近线的一条垂线，若该垂线恰好与以为圆心，为半径的圆相切，则该双曲线的离心率为_________.

6．已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且.若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为__________.

7．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，与x轴交于点C，O为坐标原点，若A是线段BC的中点，且，则双曲线的离心率为___________.

8．双曲线的焦距是8，渐近线方程是_________．

9．已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______.

10．已知是双曲线右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为_____________．

11．已知双曲线的焦距为，，是实轴顶点，以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率的取值范围是______.

12．抛物线的焦点恰好为双曲线的上焦点，则______．

13．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为___________.

14．已知双曲线C的渐近线方程为，写出双曲线C的一个标准方程：___________.

15．已知F是双曲线的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH(点H为垂足)，并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为___________.

16．已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F作x轴的垂线交双曲线C于M，N两点，若(其中O为坐标原点)成等差数列，则双曲线C的离心率为___________.

17．已知P为双曲线上一点，若以OP（O为坐标原点）为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则的最小值为________．

18．已知双曲线C的焦点在y轴上且离心率为2，写出一个满足条件的曲线C的方程为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】.

【解析】分析：先根据双曲线方程得到,设在右支上，可得,，由,在根据余弦定理可得:，可求得，进一步求得可得的值，根据三角形面积的关系，结合三角形面积公式，得到，进而求得结果.

详解：

设在双曲线右支上,设

①

由

在根据余弦定理可得:

故

即: ②

由①②可得，，

所以，

，

所以，所以，

故答案为：.

【点睛】

本题考查求双曲线中三角形角分线长度的问题,解题关键是掌握双曲线的定义，余弦定理，三角形面积公式，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

2．【答案】

【解析】分析：由双曲线的一条渐近线与直线平行，求得，进而求得双曲线的离心率，得到答案.

详解：由题意，双曲线的渐近线方程为，

因为双曲线的一条渐近线与直线平行，

可得，即，则.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

3．【答案】

【解析】分析：设所求双曲线方程为，代入已知点的坐标求得参数即得．

详解：由题意设所求双曲线方程为，由于双曲线过点，

所以，，

双曲线方程为，即．

故答案为：．

【点睛】

结论点睛：本题考查求双曲线的方程，与双曲线共渐近线的双曲线方程为，再由其他条件求得参数即可，这种方法包含新双曲线的焦点在两个坐标轴上情形．

4．【答案】2

【解析】分析：将点代入双曲线方程求出，再计算出，得出离心率.

详解：由题意可得，解得，所以，

故双曲线的离心率是

故答案为：2.

【点睛】

本题考查利用点在双曲线上求参数和离心率，属于基础题.

5．【答案】

【解析】分析：设过作渐近线的一条垂线为：，根据该垂线恰好与以为圆心，为半径的圆相切，根据点到直线距离公式可得，由，即可求得答案.

详解：双曲线的左．右焦点分别为，

可得：，

过作渐近线的一条垂线，不妨设与垂直

设过作渐近线的一条垂线为：

根据题意画出图象，

根据图象可得存在

由两条两条直线垂直可得：

故

又为圆心，为半径的圆

根据与相切

根据点到直线距离公式可得：

整理可得：，即

双曲线的离心率为

故答案为：.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法，方法一：求出 ，代入公式；方法二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．

6．【答案】．

【解析】分析：在中，利用正弦定理：，求得，，设，再利用余弦定理求得，然后由求解．

详解：双曲线的焦点为，

在中，由正弦定理得：，

解得，，

设，

在中，由余弦定理得：，

解得，

所以，

因为

又，

所以，则

所以

整理得，则

解得或（舍去）

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题的关键在于结合正余定理以及化简求解．

7．【答案】4

【解析】分析：设，过B作x轴的平行线交OA的延长线于D，判断出，及对称性知，设直线OB的倾斜角，则，再由可得答案.

详解：设，过B作x轴的平行线交OA的延长线于D，

则，A为BC中点，

故，，

∴，由对称性知，

设直线OB的倾斜角，则，

直线OB的方程为，

又，故，∴.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率的求法，关键点是过B作x轴的平行线交OA的延长线于D，考查了学生分析问题．解决问题的能力.

8．【答案】

【解析】分析：先由已知条件求出双曲线方程，然后结合双曲线渐近线方程的求法求解即可.

详解：解：由双曲线的焦距是8，则，

又，得，

解得，

则双曲线方程为，

即双曲线渐近线方程是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了双曲线方程的求法，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属基础题.

9．【答案】

【解析】分析：由条件得到，然后即可算出答案.

详解：因为的渐近线方程为，所以，

则的离心率.

故答案为：

【点睛】

本题考查的是双曲线的几何性质，属于基础题.

10．【答案】2+

【解析】分析：利用双曲线的定义，转化求解P到直线y＝2x的距离与P到点F（﹣2，0）的距离之和，再根据平面几何知识求解．

详解：由知，，

所以双曲线的焦点坐标（±2，0），

因为，

显然三点共线，并且垂直直线y＝2x时，

P到直线y＝2x的距离与P到点F（﹣2，0）的距离之和的最小值：2+＝2+．

故答案为： 2+．

11．【答案】

【解析】分析：根据题意坐标原点到直线的小于，得到不等量关系，结合关系，得出的范围，再由直线与轴交点在以为直径的圆外，得到，进而求出结论.

详解：直线化为，

与坐标轴交于和,

以为直径的圆是以原点为圆心,半径为的圆,

该圆与直线在第一象限有两个不同公共点，

所以在圆外，得，

坐标原点到直线距离小于半径，

即,因为,

则整理可得， ，

解得，又，

故答案为:

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的范围,考查直线与圆的位置关系的应用,考查运算能力.

12．【答案】

【解析】分析：将双曲线化成标准方程，可得它的焦点在轴且，得它的上焦点坐标为，抛物线化成标准方程，得它的焦点为，结合题意得，解方程即可求得实数的值．

详解：解：双曲线化成标准方程，得，

∴双曲线的焦点在轴，且，

∴双曲线的半焦距，得上焦点坐标为，

抛物线即，得它的焦点为，且为双曲线的一个焦点，

∴，解得，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查抛物线和双曲线的方程和简单的几何性质，属于基础题．

13．【答案】

【解析】分析：由题意可知，直线与直线的距离大于或等于，可得出关于．的齐次不等式，进而可求得该双曲线离心率的取值范围.

详解：如下图所示：

直线与双曲线的渐近线平行，

且点在直线上，由于圆与双曲线的右支没有公共点，

则直线与直线间的距离大于或等于，

即，，又，.

因此，该双曲线离心率的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线离心率取值范围的求解，将问题转化为渐近线与其平行线间的距离相关的不等式求解是解题的关键.

14．【答案】(答案不唯一)

【解析】分析：根据渐近线方程求得，从而可写出符合题意的标准方程.

详解：依题意，双曲线C的渐近线方程为，

不妨设双曲线焦点在轴上，则，

可令，可得双曲线C的一个标准方程为.

也可令等等.

故答案为：(答案不唯一)

15．【答案】

【解析】分析：求得FH的方程为与渐近线方程联立方程组，求得H，再由中点公式得到点，代入双曲线方程求得，即可求解.

详解：由题意，不妨设过右焦点F作渐近线的垂线FH，可得FH的方程为，

联立方程组，解得，即点H的坐标为，

由中点公式得到点，代入双曲线方程，

得到，整理的，即，所以.

故答案为：.

【点睛】

求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

16．【答案】

【解析】分析：由双曲线的性质可知，，，由等差中项的性质及双曲线参数关系即可求离心率.

详解：由题设知：，，成等差数列，

∴，又，

∴且，解得.

故答案为：.

17．【答案】

【解析】分析：写出双曲线的渐近线方程，易知，结合O，P，A，B四点共圆，设该圆的半径为R，由正弦定理可得，从而，故只需求R的最小值，显然当点P位于双曲线的顶点时，直径最小，即R最小，求出R的最小值，即可得解.

详解：由题意知，双曲线的渐近线方程为，

易知O，P，A，B四点共圆，

设该圆的半径为R，易知，

由正弦定理可得，

故，

故要求的最小值，只需求R的最小值即可，

显然当点P位于双曲线的顶点时，最小，即R最小，且，

所以．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了双曲线的标准方程和几何性质．直线与圆的位置关系以及正弦定理的应用，考查了数形结合思想及化归与转化思想，属于中档题．

18．【答案】(答案不唯一)

【解析】分析：焦点在上的双曲线方程为，离心率为，则，只要满足，均符合要求．

详解：设双曲线方程为，因为双曲线离心率为2，所以，故双曲线方程为中的任意一个，可取.

故答案为：.（答案不唯一）．