北师大版 (2019)2.2 圆的一般方程习题

【精选】2.2 圆的一般方程练习

一．填空题

1．我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫作“串圆”．如图所示的“串圆”中，圆的方程为，圆的方程为，则圆的方程为______．

2．圆x2+2x+y2=0关于y轴对称的圆的一般方程是__________．

3．已知圆过点，圆心在直线上，且半径为5，则圆的方程为_____

4．已知动点在圆上运动,点为定点与点距离的中点，则点的轨迹方程为__________

5．圆心既在直线x－y＝0上，又在直线x＋y－4＝0上，且经过原点的圆的方程是___.

6．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是________

7．圆的圆心为点，且经过点，则圆的方程为______________.

8．已知顶点的坐标为A(4，3)，B(5, 2)，C(1，0 )，则其外接圆的一般方程为 _________ .

9．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是_________

10．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为5，则的取值范围是____________.

11．“A=C≠0且B=0”是“方程”表示圆的________条件.

12．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．

13．经过点(2,2)，圆心为C(1,1)的圆的方程是_________

14．经过三点，，的圆的半径是______．

15．若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是_____．

16．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是_________

17．经过原点，圆心在x轴的负半轴，半径为2的圆的方程是_________

18．若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程____________________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题意可得，，，可得的直线方程为，根据圆，圆的半径可求圆的半径，设，根据，可求t,得到圆心，写出方程即可.

【详解】

依题意可得，，，于是可得的直线方程为．又，圆，圆的半径都是，所以圆的半径．设，则，解得，所以．故圆的方程为．

【点睛】

本题主要考查了圆的方程，圆的相切，属于中档题.

2．【答案】

【解析】【分析】

求出已知圆的圆心和半径，由对称可得所求圆的圆心，进而可得圆的方程．

【详解】

圆的标准方程为，

∴圆心为，半径为1,．

∴点 关于y轴对称的点的坐标为，

∴所求圆的方程为，

化成一般方程为．

【点睛】

求圆的一般方程式时，可先求出圆的标准方程，然后再化为一般方程．解答本题的关键是求出所求圆的圆心和半径，根据对称的知识可得所求结果．

3．【答案】

【解析】根据题意，由于圆过点，圆心在直线上，设圆心为（2a+1,a），且半径为5，那么圆心和点的距离为5，则根据两点的距离公式可知，故可知圆的方程为

考点：圆的方程

点评：解决的关键是确定出圆心和半径来求解，属于基础题。

4．【答案】

【解析】【分析】

设，用表示出点坐标，代入圆方程化简即可．

【详解】

设，则

把代入圆的方程可得：，

即，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了轨迹方程的求解，中点坐标公式的应用，属于基础题．

5．【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝8

【解析】由 ，解得 .

∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.

6．【答案】5＋

【解析】由圆的标准方程求得圆心与半径，最大距离是圆心与原点距离加半径。

【详解】

由题意可得圆心为（-3，1），半径r=5,圆心到原点距离为，圆上点到原点最大距离为5＋，填5＋。

【点睛】

圆上一点P到圆外一定点A距离的最大值为CA+r,最小距离为CA-r(C为圆心，r为圆的半径)。

7．【答案】

【解析】分析：根据圆心到点A的距离算出半径，根据圆心及半径得出结论

详解：圆的圆心为点，且经过点

即半径r=5

根据圆的标准方程即可得出圆C的方程为：

点晴：本题属于基础题，求圆的方程时我们需要知道圆的圆心坐标及半径即可

8．【答案】x2+y2-6x-2y+5=0

【解析】设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，把△ABC的顶点坐标代入，解方程组求得D．E．F的值，即可求得圆的方程．

【详解】

设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，把△ABC的顶点坐标A（4，3），B（5，2），C（1，0）

代入可得 ．

解得 ，故所求的△ABC的外接圆的方程为 x2+y2-6x-2y+5=0.

即答案为x2+y2-6x-2y+5=0.

【点睛】

本题主要考查用待定系数法求圆的方程，属于中档题．

9．【答案】

【解析】求出圆心关于直线的对称点坐标后可得新方程．

【详解】

圆心为，它关于直线的对称点坐标为，

∴所求圆方程为．

【点睛】

圆关于某点或某直线对称，关键是求出圆心的对称点即新圆心坐标，而半径不变．

10．【答案】

【解析】求出圆心到直线的距离等于，由，能求出半径的取值范围.

【详解】

圆心到直线的距离等于，

圆上有且仅有两个点到直线的距离为5，

由圆的几何性质可得，

解得，

半径的取值范围是，故答案为.

【点睛】

本题主要考查圆的方程与几何性质，点到直线的距离公式等基础知识，以及圆上的点到直线距离的取值范围，意在考查推理论证能力．运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.

11．【答案】必要不充分.

【解析】【分析】

把上述方程化为圆的一般方程，即可求出表示圆所需满足条件，再进行判断逻辑关系。

【详解】

方程表示圆，首先要A=C≠0且B=0，即，但还需要保证半径r>0,即，所以是必要不充分条件。填必要不充分.

【点睛】

方程表示圆的充要条件是A=C≠0且B=0且。

12．【答案】.

【解析】分析:先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.

详解：设点，因为，

所以

即，

因为，所以，

所以，

化简得

因为，所以

故答案为：

点睛:本题主要考查圆的基础知识，考查函数的思想,意在考查学生圆的基础知识的掌握能力和基本运算能力.

13．【答案】

【解析】求出圆的半径，再由圆标准方程可得结论．

【详解】

由题意，∴圆标准方程为．

【点睛】

圆心坐标为，半径为，则圆标准方程为．

也可设圆标准方程为，再代入点坐标求得．

14．【答案】5

【解析】易知圆心在线段的中垂线上，因设圆心坐标为，

由，得，即圆心为，

∴半径为，故答案为5.

点睛：已知圆上三点求圆的半径，可以设出圆的一般方程，代入三点坐标，求出圆方程，配方后可得半径，也可象本题一样，先求出圆心坐标，再得半径，圆心是圆上两弦（不平行）的垂直平分线的交点，利用直线方程可得．

15．【答案】x﹣y﹣3=0.

【解析】圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为 弦AB的中点，PC的斜率为

∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程 y+1=1×（x﹣2），即 x﹣y﹣3=0，

故答案为：x﹣y﹣3=0.

16．【答案】

【解析】由标准方程可得．

【详解】

由题意圆心坐标为．

【点睛】

圆标准方程为，其中圆心坐标为．

17．【答案】

【解析】分析出圆心坐标，写出标准方程．

【详解】

由题意圆心为，∴圆方程为．

【点睛】

本题考查圆的标准方程，属于基础题．一般地圆心坐标为，半径为，则圆标准方程为．

18．【答案】

【解析】∵圆心与点关于直线对称，∴圆心为，又∵圆的半径为，∴圆的标准方程为．

考点：圆的标准方程．