高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程当堂检测题

【精编】1.1 椭圆及其标准方程-2作业练习

一．填空题

1．已知，分别为椭圆的左．右焦点，P为椭圆上任意一点，M为上的三等分点，且满足，若，则该椭圆的离心率e的取值范围是______．

2．已知椭圆 ()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 _______.

3．设椭圆：恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________.

4．椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的________倍.

5．椭圆的离心率为______________.

6．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为_______.

7．椭圆经过变换后所得曲线的焦点坐标为____________.

8．已知，为椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则_______.

9．曲线为参数）两焦点间的距离是__．

10．若椭圆的离心率为，则__________.

11．已知椭圆的离心率分别是椭圆的左．右顶点，点是椭圆上的一点，直线的倾斜角分别为，满足，则直线的斜率为__________.

12．椭圆的焦距是2，则的值是_________.

13．已知椭圆的左．右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是______.

14．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是___________．

15．若椭圆的离心率为，则_________．

16．设中心在原点的椭圆的两个焦点．在轴上，点是上一点.若使为直角三角形的点恰有个，且这个直角三角形中面积的最小值为，则的方程为______.

17．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；

18．已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：设，根据，求出点，再由可得，代入椭圆方程可得，使方程在上有解，利用零点存在性定理即可求解.

详解：设，，

则，，

，，

，，，

，，

，又，

，

，

存在，存在，

，显然恒成立，

又，在上有解，

令，对称轴，

且不在上，

，，

解得，即

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系．椭圆的离心率，解题的关键是根据，将问题转化为在上有解，考查了计算能力.

2．【答案】

【解析】分析：根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，

然后结合的自身范围解方程即可求出．

详解：∵成等比数列，∴，

∴，∴，

∴，又，∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

3．【答案】

【解析】分析：设所求，由椭圆过可得，进而化简可得，由方程有解可得，进而可得的最小值.

详解：设椭圆的焦距为，

椭圆过定点，所以

，

或

或

椭圆过定点，

所以椭圆的中心到准线的距离的最小值为：

故答案为：

【点睛】

本题考查了椭圆的几何意义，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.

4．【答案】7

【解析】分析：根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.

详解：由＝1可知，，所以，

所以F1(－3，0)，F2(3，0)，

∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，

所以，所以轴，

∴可设P(3，b)，

把P(3，b)代入椭圆＝1，得.

∴|PF1|＝，|PF2|＝.

∴.

故答案为：7

5．【答案】

【解析】分析：由椭圆的标准方程可知，，而，即可求出．

详解：由题可得，，所以，即，因此，．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用，离心率的求法，属于基础题．

6．【答案】

【解析】分析：根据椭圆标准方程的要求求解即可.

详解：解：，，即

故答案为：.

【点睛】

考查已知椭圆标准方程求参数的取值范围，基础题.

7．【答案】

【解析】分析：代入中即可得到变换后的曲线方程，进一步可得焦点坐标.

详解：由，代入得.

变换后所得曲线的焦点坐标为.

故答案为：

【点睛】

本题考查曲线的伸缩变换，要注意哪个是变换前的坐标，哪个是变换后的坐标，“谁代谁”，是一道容易题.

8．【答案】6

【解析】分析：利用椭圆的定义直接求解即可

详解：解：设椭圆的长半轴长为.由椭圆定义知，故.

故答案为：6

9．【答案】

【解析】分析：首先把参数方程转换为普通方程，根据椭圆方程的标准形式进一步求出焦距．

详解：曲线为参数），

转换为普通方程是，

故．

故答案为：

【点睛】

本题考查的知识要点：参数方程和普通方程之间的转换，椭圆的方程与焦距，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

10．【答案】或

【解析】分析：分焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解

详解：①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得，解得；

②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得，解得.

综上所述，或

故答案为：或

【点睛】

本题考查由椭圆的离心率求解参数值，属于基础题

11．【答案】或

【解析】分析：设出点坐标，求得的表达式，求得，代入直线的斜率公式可得答案.

详解：依题意.设，则，即，化简得.

由于是椭圆的左右顶点，所以，所以，

所以，所以或，

所以当时，，

当时，，所以直线的斜率为或，

故答案为：或.

【点睛】

本小题主要考查椭圆的几何性质，直线的斜率公式，关键在于求得点P的坐标，属于中档题.

12．【答案】

【解析】分析：直观根据焦距为2，得到，再根据，计算可得；

详解：解：因为椭圆的焦距是2，所以，即，因为，所以，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分析：由椭圆的定义可得，解得，由椭圆的性质可得，解不等式求得离心率的取值范围．

详解：设点的横坐标为，，

则由椭圆的定义可得，

，由题意可得，

，

，，

则该椭圆的离心率的取值范围是，，

故答案为：，．

【点睛】

本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得，是解题的关键．

14．【答案】

【解析】分析：根据题中条件，得到的最大值不小于即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点为短轴的顶点时，最大；不妨设点为短轴的上顶点，记，得出离心率的最小值，连接，得到，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出的最大值，即可得出结果.

详解：若想满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可，

由余弦定理，可得

，当且仅当 ，

即点为短轴的顶点时，的余弦值最小，即最大；

如图，不妨设点为短轴的上顶点，记，则 ，

于是离心率，

因此当椭圆的离心率取得最小值时，，则椭圆 ；

连接，根据圆的性质可得:，

所以只需研究的最大值即可；

连接，，，

当且仅当，，三点共线（点在线段的延长线上）时，不等式取得等号，

所以的最大值为 ，

因此的最大值是.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.

15．【答案】3

【解析】分析：由已知得，求出，由离心率可求得．

详解：由题意，，．

故答案为：3.

16．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的对称性，若使为直角三角形的点恰有个，则上（或下）顶点与焦点构成的三角形为直角三角形，再根据三角形中面积的最小值为求解.

详解：如图所示：

.若使为直角三角形的点恰有个，

则，，

因为或，

所以，，

所以椭圆方程为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

17．【答案】4

【解析】分析：根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出．

详解：因为，

所以.

故答案为：4

【点睛】

本题考查椭圆的定义．标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．

18．【答案】

【解析】分析：若椭圆上存在点，使得，即可得到的最大值大于等于，即当为短轴端点时，即可，

详解：解：点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得

则的最大值大于等于即可，

即当为短轴端点时，即可（如图），

，

又，所以，即

故答案为：．

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查了转化思想．计算能力．属于中档题．