数学北师大版 (2019)1.2 椭圆的简单几何性质练习题

这是一份数学北师大版 (2019)1.2 椭圆的简单几何性质练习题，共21页。试卷主要包含了已知椭圆的左，已知椭圆左等内容，欢迎下载使用。
【基础】1.2 椭圆的简单几何性质作业练习一．填空题1．椭圆的离心率为 ，则实数_______.2．已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________．3．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，，椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点.已知线段，，，的长分别为2，4，6，12，则的面积为___________. 4．已知椭圆的左．右焦点分别为，，为第二象限内椭圆上的一点，连接交轴于点，若，，其中为坐标原点，则该椭圆的离心率为______．5．已知，是椭圆（）的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则与的面积之比为________．6．已知椭圆左．右焦点分别为．，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且．则椭圆的离心率________．7．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面？截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.8．已知椭圆的左右两个焦点分别为，，是椭圆上一点，且，则的面积为______.9．已知椭圆的方程为.如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰为椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为________.10．如图，圆O与椭圆相切，已知，是椭圆的左．右焦点，点P在椭圆上，线段与圆O相切于点Q，且点Q为线段的中点，则椭圆的离心率为__________．11．已知椭圆的左右焦点分别为，，P是椭圆上的一点，且，则的面积是________．12．在直角三角形中，，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边上，并且椭圆经过点，则椭圆的长轴长等于______.13．焦点在x轴上的椭圆过点，焦距为2，则椭圆的离心率为_______．14．已知为椭圆的两个焦点，若在椭圆上，且满足，则椭圆的方程为_________.15．若实数x，y满足方程，则的取值范围为___________．16．已知椭圆的左？右焦点分别为，直线与椭圆C相交于点A，B.给出下列三个命题：①存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；②存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；③存在m，使的周长最大.其中，所有真命题的序号为_________.17．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达最小时，长等于半焦距，则该椭圆的离心率为______.18．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点.当的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率________．
参考答案与试题解析1．【答案】或【解析】分析：利用椭圆的简单性质，离心率写出方程即可求出的值，需注意分类讨论．详解：解：因为椭圆的离心率为，当焦点在轴时，可知，，，可得，解得．当焦点在轴时，可知，，，可得，解得．故答案为：或．2．【答案】【解析】分析：由题意，利用直角三角形的边角关系可得，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出．详解：设直线的倾斜角为，则，．在直角三角形中，令，则由椭圆定义得椭圆的离心率．故答案为：．【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系．椭圆的定义．离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．3．【答案】【解析】分析：根据图形以及线段，，，的长求出，将代入，可得，然后利用三角形面积公式可得答案.详解：因为椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点，线段，，，的长分别为2，4，6，12，由图可知，是第一象限的点，根据椭圆的对称性可得，，，即，将代入，可得，解得，，则的面积为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质，解题的关键是利用对称性求出，然后代入椭圆方程确定的值.4．【答案】【解析】分析：由题意可得，则，因为，，化简即可得出离心率．详解：因为，所以，由题意可得，则，因为，所以，所以.因为，所以，，所以，可得，解得．故答案为：5．【答案】【解析】分析：根据椭圆的定义，运用勾股定理．三角形面积公式进行求解即可.详解：设，由椭圆的定义可知：所以因为，所以,即，解得或，当时，所以不符合题意，故舍去，因此，所以，与的面积之比为：，故答案为：【点睛】关键点睛：根据椭圆的定义结合勾股定理，选择合适的三角形面积公式是解题的关键.6．【答案】【解析】分析：用表示．，利用椭圆的定义可得出关于．的关系式，由此可求得椭圆的离心率的值.详解：如下图所示：由已知条件可知，在中，，，，则，由椭圆的定义可得，即，.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得．的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于．的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7．【答案】【解析】分析：设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，利用求得离心率，再利用平面几何知识求得得解详解：如图，圆锥面与其内切球 分别相切与，连接，则，过作于，连接交于点，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在△中, , , , △△ , 解得, ,即 , 所以椭圆离心率为在△中解得,故答案为：【点睛】利用求得离心率是解题关键.8．【答案】【解析】分析：先设，，根据椭圆定义，得，再由余弦定理，根据题意，求出，进而可得出结果.详解：设，，根据椭圆定义可得，由椭圆可得，其焦距为，又，所以，即所以的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查椭圆的简单应用，以及解三角形的问题，熟记椭圆的定义与标准方程，余弦定理与三角形面积公式即可，属于常考题型.9．【答案】【解析】分析：椭圆方程右焦点坐标，则，把点代入椭圆方程能求出，即可求出椭圆的离心率．详解：解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为，直线与椭圆的一个交点在轴的射影恰为椭圆的右焦点得到轴，的横坐标为，代入到直线方程得到的纵坐标为，则把的坐标代入椭圆方程得：，化简得：，即解得，（舍去），，．所以椭圆方程为，所以，，则所以故答案为：．10．【答案】【解析】分析：连接，，先利用三角形中位线定理证明，，从而得焦半径，再利用椭圆的定义，得，证明，利用勾股定理得到．．间的等式，进而计算离心率即可详解：如图：连接，，点为线段的中点，点为线段的中点，，，为圆的半径，，由椭圆定义，，线段与圆相切于点，，，且，所以，化为，可得，故选：B．【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11．【答案】【解析】分析：根据椭圆的定义，得到的值，再由，在中，用余弦定理，求出，根据三角形面积公式，即可得出结果.详解：根据椭圆定义，可得，且椭圆的焦距为，又，在中，由余弦定理，可得，所以，即，所以，因此的面积是.故答案为：.12．【答案】【解析】分析：利用勾股定理求出，然后在焦点三角形中，利用椭圆的定义表示出和，根据列式计算长轴长.详解：解：如图，设椭圆的长轴长为，因为，则，，，则，所以.故答案为：13．【答案】【解析】分析：由条件焦点在x轴上的椭圆过点,则，又焦距为2,则，从而可得答案.详解：由条件设椭圆的标准方程为由椭圆过点,则，又焦距为2,则所以椭圆的离心率为故答案为：14．【答案】【解析】分析：由椭圆的定义和点在椭圆上，可建立方程组，解之可得椭圆的标准方程．详解：由得，解得，又在椭圆上，所以椭圆，解得，所以椭圆的方程为．故答案为：．15．【答案】【解析】分析：由题可知，可表示为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和，设其椭圆的下焦点为，再由椭圆定义转化为求解的范围.详解：可表示为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和，即，设其椭圆的下焦点为，又由椭圆定义得，所以，又，所以，故.故答案为：【点睛】关键点睛：本题解决的关键是能够将求解转化为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和的问题.16．【答案】①③【解析】分析：首先根据题意得到，，，，设，.对①，分类讨论，，和，以及，即可判断①为真命题.对②，根据椭圆的对称性可知，，利用，解方程即可判断②为假命题，对③，利用椭圆的定义即可判断③为真命题.详解：由题知：，，，，设，.对①，若，则，此时.，，则，所以，满足为等腰直角三角形.若，则，此时，，不满足等腰三角形.若，则，此时，，不满足等腰三角形.所以存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形，故①为真命题.对②，根据椭圆的对称性可知，，满足等腰三角形.当时，根据椭圆的对称性可知：直线的倾斜角为，，即.又因为，所以，解得或，都在内，故存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形为假命题.对③，的周长为，又因为，，所以，即的周长为，又因为，当且仅当时取等号，所以，即的周长为.当且仅当时，的周长最大.故③为真命题.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的定义，解决本题①的关键为分类讨论，，和，以及，②的关键为代入椭圆的对称性，③的关键为椭圆的定义，属于中档题.17．【答案】【解析】分析：先由几何关系确定当外接圆的半径为时，面积最小，从而在直角三角形中利用勾股定理得出离心率.详解：设的外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上又在上，在轴上，即当的外接圆的半径为时，面积最小由题意可知，在直角三角形中，，即故答案为：【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据外心的性质确定半径，进而由勾股定理得出离心率.18．【答案】【解析】分析：首先根据椭圆定义分析，分析当的周长最大时，直线的位置，再求的面积，得到椭圆的离心率.详解：设椭圆的右焦点为，，当直线过右焦点时，等号成立，的周长，此时直线过右焦点，，，得.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.