北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程同步达标检测题

§2　圆与圆的方程

2.1　圆的标准方程

1.以点(2,-1)为圆心,以为半径的圆的标准方程是(　　).

A.(x+2)2+(y-1)2=

B.(x+2)2+(y-1)2=2

C.(x-2)2+(y+1)2=2

D.(x-2)2+(y+1)2=

答案:C

2.经过圆C:(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线的方程为(　　).

A.x-y+3=0 B.x-y-3=0

C.x+y-1=0 D.x+y+3=0

解析:圆C的圆心坐标为(-1,2),故所求直线方程为y-2=1·(x+1),即x-y+3=0.

答案:A

3.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是(　　).

A.(x-2)2+(y+3)2=13

B.(x+2)2+(y-3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52

D.(x+2)2+(y-3)2=52

解析:设直径的两端点分别为A(x,0),B(0,y),则圆心(2,-3)为直径的中点.

于是有解得

所以A(4,0),B(0,-6).

所以圆的半径r=|AB|=.

故圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.

答案:A

4.若直线x+2y+3=0将圆(x-a)2+(y+5)2=3的周长平分,则a等于(　　).

A.13 B.7

C.-13 D.以上答案都不对

解析:由题意,得直线x+2y+3=0过圆心,将圆心坐标(a,-5)代入直线方程x+2y+3=0,得a+2×(-5)+3=0,解得a=7.

答案:B

5.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　　).

A.(x-2)2+y2=5

B.x2+(y-3)2=5

C.(x+2)2+(y+2)2=5

D.x2+(y+2)2=5

解析:圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.

答案:A

6.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为(　　).

A.6 B.25 C.26 D.36

解析:(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方.

因为点P在圆(x-2)2+y2=1上,且点Q在圆外,所以所求最大值,即为圆C外一点Q与圆C上的点的距离的最大值的平方.

故所求最大值为(|QC|+1)2

=[+1]2=36.

答案:D

7.如果直线l将圆(x-1)2+(y-2)2=5平分且不经过第四象限,那么直线l的斜率k的取值范围是　　　　　. 

解析:由题意,知直线l过圆心(1,2).如答图,数形结合,直线l1过点(1,2),平行于x轴,其斜率k1=0;直线l2经过原点(0,0)、点(1,2),其斜率k2=2.故0≤k≤2.

(第7题答图)

答案:[0,2]

8.已知x,y满足方程x2+(y+4)2=4,则的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　. 

解析:因为点(x,y)是圆x2+(y+4)2=4上的任意一点,所以表示点A(-1,-1)与该圆上点之间的距离.因为(-1)2+(-1+4)2>4,所以点A(-1,-1)在圆外,如答图.

(第8题答图)

设圆心为C,则C(0,-4),

又设半径为r,则r=2.

于是|AC|=.

故的最大值为|AC|+r=+2,最小值为|AC|-r=-2.

答案:+2　-2

9.已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.求圆C的方程.

解:由题意,得线段AB的中点为(1,2),线段AB所在直线的斜率kAB=1,所以线段AB的垂直平分线的方程为x+y-3=0,

由解得

则圆心为C(-3,6),半径r==2,故圆C的方程为(x+3)2+(y-6)2=40.

10.求满足下列条件的圆的标准方程:

(1)圆心为C(8,-3),且过点P(5,1);

(2)圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得的线段长为8.

解:(1)(方法一)设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,∵点P(5,1)在圆上,∴(5-8)2+(1+3)2=r2.

∴r2=25.∴所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.

(方法二)∵圆的半径r=|CP|==5,圆心为C(8,-3),

∴所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.

(2)如答图,由题设知|AC|=r=5,|AB|=8,

则|AO|=4.

(第10题答图)

在Rt△AOC中,|OC|==3.设圆心C的坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,得a=±3.故所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.