北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 圆的一般方程练习

2.2　圆的一般方程

1.已知方程x2+y2-2x+2k+3=0表示圆,则k的取值范围是(　　).

A.(-∞,-1)

B.(3,+∞)

C.(-∞,-1)∪(3,+∞)

D.

解析:方程可化为(x-1)2+y2=-2k-2,只有-2k-2>0,即k<-1时方程表示圆.

答案:A

2.当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则(　　).

A.这些圆的圆心都在直线y=x上

B.这些圆的圆心都在直线y=-x上

C.这些圆的圆心都在直线y=x或在直线y=-x上

D.这些圆的圆心不在同一条直线上

解析:方程表示圆心为(-a,-a),半径为的圆,故圆心都在直线y=x上.

答案:A

3.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为(　　).

A.8 B.-4

C.6 D.无法确定

解析:因为圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,所以直线x-y+3=0过圆心-,0,即-+3=0,解得m=6.

答案:C

4.已知点(a+1,a-1)在圆x2+y2-x+y-4=0的外部,则a的取值范围是(　　).

A.(-∞,-)∪(-,+∞)

B.(-∞,2)∪(2,+∞)

C.(-∞,-)∪(,+∞)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析:将圆的一般方程配方得,因为点(a+1,a-1)在圆外,所以,解得a∈(-∞,-)∪(,+∞).

答案:C

5.如果动点P到点A(8,0)的距离是到点(2,0)的距离的2倍,那么点P的轨迹方程为(　　).

A.x2+y2=32

B.x2+y2=16

C.(x-1)2+y2=16

D.x2+(y-1)2=16

解析:设P(x,y),根据题意,有2,整理得x2+y2=16.

故点P的轨迹方程为x2+y2=16.

答案:B

6.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为　　　　　. 

解析:已知圆的圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式,得圆心到直线x-y-2=0的距离d=.

答案:

7.若实数x,y满足x2+y2-6x+8y+24=0,则x2+y2的最大值等于　　　　　. 

解析:依题意,点P(x,y)在圆x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1上.

x2+y2表示点P与原点O距离的平方.

因为圆的圆心为C(3,-4),半径r=1,|OC|=5,

所以点P与原点O距离的最大值为1+5=6.

从而x2+y2的最大值是36.

答案:36

8.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积是　　　　　. 

解析:将x2+y2+kx+2y-4=0化为+(y+1)2=5+,故圆心坐标是.由题意,知直线x-y+1=0过圆心,则-+1+1=0,解得k=4,此时圆的半径为3,圆的面积是9π.

答案:9π

9.求经过两点A(4,2),B(-1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程.

解:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

令y=0,得x2+Dx+F=0,

所以圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D;

令x=0,得y2+Ey+F=0,

所以圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E;

由题设,得x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,

所以D+E=-2.①

又A(4,2),B(-1,3)两点在圆上,

所以16+4+4D+2E+F=0,②

1+9-D+3E+F=0,③

由①②③可得D=-2,E=0,F=-12,

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.

10.已知圆C的方程为x2+y2+(m-2)x+(m+1)y+m-2=0,分别根据下列条件确定实数m的取值,并写出相应的圆心坐标和半径.

(1)圆的面积最小;

(2)圆心距离坐标原点最近.

解:因为(m-2)2+(m+1)2-4(m-2)=2m2-6m+13=2>0恒成立,所以无论m为何值,方程总表示圆,且圆心坐标为,圆的半径r=.

(1)当圆的半径最小时,圆的面积最小.

r=,当且仅当m=时,等号成立.

所以当圆的面积最小时,圆心坐标为,半径r=.

(2)圆心到坐标原点的距离d=,当且仅当m=时,圆心到坐标原点的距离最近.

此时,圆心坐标为,半径r=.