北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系课时训练

2.3　直线与圆的位置关系

1.直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系是(　　).

A.相离 B.相切

C.相交 D.不确定

解析:因为直线y=kx+1过点(0,1),且该点在圆x2+y2=4内,所以直线与圆相交.

答案:C

2.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R,n≠m)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是(　　).

A.(0,1) B.(0,-1)

C.(-∞,1) D.(-∞,-1)

解析:圆的方程x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+2n-4=0,即m+n=2,所以mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1,当m=1时等号成立,此时n=1,与“m≠n”矛盾,所以mn<1.

答案:C

3.若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则k的取值范围是(　　).

A.k<-3或k>2

B.k<-3或2<k<

C.k>2或-<k<-3

D.-<k<-3或2<k<

解析:因为把圆的方程化为标准方程得+(y+1)2=16-k2,所以16-k2>0,解得-<k<.由题意,可知点(1,2)应在圆的外部,所以1+4+k+4+k2-15>0,即(k-2)(k+3)>0,解得k>2或k<-3.所以实数k的取值范围为.

答案:D

4.过点(2,1)的直线中被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最长的直线的方程是(　　).

A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0

C.x+3y-5=0 D.x-3y+5=0

解析:∵过点(2,1)的直线中被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最长的直线经过圆心,∴该直线过点(2,1)和圆心(1,-2),其方程为,整理得3x-y-5=0.故选A.

答案:A

5.P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是(　　).

A. B.2

C. D.2

解析:圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S△APC=2××|PA|×r=|PA|=.要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,|PC|的最小值为圆心C到直线l:3x-4y+11=0的距离,即为=2,所以四边形PACB面积的最小值为.

答案:C

6.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是　. 

解析:易知所求直线过圆心且与直线AB垂直,于是可设所求直线方程为3x-2y+c=0,又圆心坐标为(1,0),则3×1-2×0+c=0,得c=-3.故所求直线方程为3x-2y-3=0.

答案:3x-2y-3=0

7.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l:x+y+1=0的距离为的点的个数是　　　　　. 

解析:圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=8,圆心为(-1,-2),圆的半径为2,圆心到直线l的距离为.

因此和l平行的圆的直径的两端点及与l平行的圆的一条切线的切点到l的距离都为,共3个点.

答案:3

8.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为　　　　　. 

解析:圆C:x2+y2+2x-4y-4=0的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心为C(-1,2),半径为3.

因为AC⊥BC,所以圆心C到直线x-y+a=0的距离为,即,解得a=0或a=6.

答案:0或6

9.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(0,3),设圆C的半径为1,圆心C(a,b)在直线l:y=2x-4上.

(1)若圆心C也在直线y=-x+5上,求圆C的方程;

(2)在上述条件下,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(3)若圆C上存在点M,使|MA|=|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解:(1)由

解得即圆心为C(3,2),

因为圆C的半径为1,

所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.

(2)由题意,知切线的斜率一定存在,

设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,

则由=1,解得k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.

(3)设M(x,y),

由|MA|=|MO|,得,

整理得y=.则点M在直线m:y=上.

于是点M既在圆C上又在直线m上,

即圆C和直线m有公共点.

因而≤1,

解得≤a≤.

综上所述,a的取值范围为.