高中数学2.1 双曲线及其标准方程同步训练题

§2　双曲线

2.1　双曲线及其标准方程

1.设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于(　　).

A.22 B.16 C.14 D.12

解析:由双曲线的定义,知|PF2|-|PF1|=6,又因为|PF1|∶|PF2|=1∶3,所以|PF1|=3,|PF2|=9.又因为|F1F2|=2=10,所以△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=22.

答案:A

2.已知双曲线=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则m的值为(　　).

A.8 B.9 C.16 D.20

解析:△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=20,

∵|AB|=4,∴|AF2|+|BF2|=16.

根据双曲线定义,知2=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,∴4=(|AF2|+|BF2|)-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,∴=3,∴m=9.故选B.

答案:B

3.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为(　　).

A.x2-=1(x>1) B.x2-=1(x>0)

C.x2-=1(x>0) D.x2-=1(x>1)

解析:如答图,设过点P的两条切线分别与圆相切于点S和点T,因为|PM|-|PN|=(|PS|+|SM|)-(|PT|+|TN|)=|SM|-|TN|=|BM|-|BN|=2=2a<|MN|,所以点P的轨迹为双曲线的右支且不能与x轴相交,且a=1,c=3,所以b2=8.

(第3题答图)

故点P的轨迹方程为x2-=1(x>1).

答案:A

4.如图,从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线的右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|等于(　　).

(第4题)

A. B.

C. D.

解析:设双曲线=1的右焦点为E,连接PE(图略).

则|OM|-|MT|=|PE|-(|MF|-|FT|)=|FT|-(|PF|-|PE|)=×2.

答案:C

5.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在直线y=x上,则双曲线C的方程为　　　　　. 

解析:因为点P(2,1)在直线y=x上,所以1=,a=2b,①.

因为双曲线的焦距为10,所以a2+b2=52.将①代入上式可得b2=5,从而a2=20,故双曲线C的方程为=1.

答案:=1

6.若双曲线以椭圆=1的两个顶点为焦点,且经过椭圆的两个焦点,则双曲线的标准方程为　　　　　. 

解析:椭圆=1的焦点在x轴上,且a=4,b=3,c=,所以焦点为(±,0),左、右顶点为(±4,0).于是双曲线经过点(±,0),焦点为(±4,0).设双曲线的标准方程为=1(a'>0,b'>0),则a'=,c'=4,所以b'2=9.故双曲线的标准方程为=1.

答案:=1

7.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.

(1)求双曲线的标准方程;

(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判断△MF1F2的形状.

解:(1)椭圆方程可化为=1,焦点在x轴上,

则可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

于是有解得

故双曲线的标准方程为=1.

(2)不妨设点M在双曲线的右支上,则有|MF1|-|MF2|=2a=2,因为|MF1|+|MF2|=6,

所以|MF1|=4,|MF2|=2.

又因为|F1F2|=2,所以在△MF1F2中,边MF1最长,而cos∠MF2F1=<0,

所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.