数学4.2 直线与圆锥曲线的综合问题同步达标检测题

这是一份数学4.2 直线与圆锥曲线的综合问题同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了已知双曲线E等内容，欢迎下载使用。
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题1.椭圆=1的两个焦点为F1,F2,过F2的直线交椭圆于A,B两点.若|AB|=8,则|AF1|+|BF1|的值为(　　).A.10 B.12 C.16 D.18解析:∵|AB|+|AF1|+|BF1|=4a,∴|AF1|+|BF1|=4×5-8=12.答案:B2.已知双曲线=1的左、右焦点分别是F1,F2,过F1的直线l与双曲线相交于A,B两点,则满足|AB|=3的直线l有(　　).A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为(-,0),易得过F1且斜率不存在的直线为x=-,该直线与双曲线的交点为-,-,-,则|AB|=3,满足题意.又因为双曲线的两顶点分别为(-,0),(,0),所以实轴长为2,2<3,结合图象(图略),可知满足条件的直线还有2条,故共有3条直线满足条件.答案:C3.已知焦点在x轴上的椭圆方程为=1,随着a的增大,该椭圆的形状(　　).A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆解析:由题意知4a>a2+1且a>0,解得2-<a<2+,又e2=1-=1-a+,因此当a∈(2-,1)时,e越来越大,当a∈(1,2+)时,e越来越小.故椭圆形状变化为先越扁后接近于圆.答案:D4.过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于点C.若|AF|=6,=λ(λ>0),则λ的值为(　　).A. B. C. D.3解析:设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2),C(-2,y3),则x1+2=6,解得x1=4.则y1=4,直线AB的方程为y=2(x-2).令x=-2,得C(-2,-8),联立方程解得B(1,-2),所以|BF|=1+2=3,|BC|=9,所以λ=3.答案:D5.已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1(a>0,b<0)的渐近线交于A,B两点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-,则的值为(　　).A.- B.-C.- D.-解析:由双曲线ax2+by2=1(a>0,b<0)知其渐近线方程为ax2+by2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有a+b=0①,a+b=0②,由①-②得a()=-b(),即a(x1+x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2).由题意可知x1≠x2,且x1+x2≠0,所以=-,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM==-,又直线AB的斜率kAB=-1,所以-×(-1)=-,所以=-,故选A.答案:A6.点P(1,1)为椭圆=1内一定点,经过点P引一弦,使此弦被点P平分,则此弦所在的直线方程为 　　　. 解析:(方法一)易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,则x1+x2=,又∵x1+x2=2,∴=2,解得k=-,符合题意.故弦所在直线的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.(方法二)由题意可知,此弦所在直线的斜率存在,设斜率为k,且设弦的两个端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则=1,=1,两式相减得=0.∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴+y1-y2=0,∴k==-.∴此弦所在直线的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.答案:x+2y-3=07.已知双曲线E:=1,直线l交双曲线E于A,B两点.若线段AB的中点坐标为,-1,则直线l的方程为　　　　　　　　. 解析:依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得,即.又因为线段AB中点的坐标是,-1,则=-,所以=-,即直线AB的斜率为-,故直线l的方程为y+1=-(x-),即2x+8y+7=0.答案:2x+8y+7=08.已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=λ,且2≤λ<3,求直线l的斜率k的取值范围.解:(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),则由解得故椭圆C的方程为=1.(2)由题意得直线l的方程为y=k(x+1)(k>0),联立方程,得整理得y2-y-9=0,Δ=+144>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,又因为=λ,所以y1=-λy2.所以,即λ+-2=.因为2≤λ<3,所以≤λ+-2<,即,且k>0,解得0<k≤.故直线l的斜率k的取值范围是0,.