北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 组合当堂达标检测题

§3　组合问题

1.(多选题)下列四个问题属于组合问题的有(　　).

A.从4名志愿者中选出2名分别担任导游和翻译的工作

B.把5本不同的书分给5名同学,每人一本

C.从全班同学中选出3名同学参加县运动会开幕式

D.从7本不同的书中取出5本给同学甲

解析:A,B选项均为排列问题,C,D选项均为组合问题.

答案:CD

2.若=12,则n等于(　　).

A.8 B.5或6 C.3或4 D.4

解析:=n(n-1)(n-2),n(n-1),

所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1).

又n≥3,且n∈N+,所以n=8.

答案:A

3.下列等式不正确的是(　　).

A. B.

C. D.

解析:根据组合数公式及性质,知A,B正确;因为,所以C正确;因为,所以D不正确.

答案:D

4.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动,若男生甲和女生乙不能同时参加,则不同的选派方案共有(　　).

A.25种 B.35种 C.820种 D.840种

解析:分为3类:男生甲参加,女生乙不参加,只需在其余5人中选3人,有=10种选法;男生甲不参加,女生乙参加,只需在其余5人中选3人,有=10种选法;两人都不参加,只需在其余5人中选4人,有=5种选法.由分类加法计数原理共有10+10+5=25种不同的选派方案.

答案:A

5.已知甲、乙、丙3名同学从4门课程中选修课程,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有(　　).

A.36种 B.48种 C.96种 D.192种

解析:甲选修2门有=6种选法,乙、丙各有=4种选法.由分步乘法计数原理可知,共有6×4×4=96种选法.

答案:C

6.计算:+…+=(　　).

A. B.

C.-1 D.-1

解析:原式=+…++…+-1=…=-1=-1.

答案:C

7.若=20,则整数n=　　　　　. 

解析:由题意得=20,

所以=20=,所以n+1=3,解得n=2.

答案:2

8.将10人分成甲、乙两组,甲组4人,乙组6人,则不同的分组种数为　　　　　.(用数字作答) 

解析:从10人中任选出4人作为甲组,则剩余的6人即为乙组,这是组合问题,共有=210种分法.

答案:210

9.某科技小组有女同学2名、男同学x名,现从中选出3人去参观展览.若恰有1名女同学入选的不同选法有20种,则该科技小组中男同学的人数为　　　　　. 

解析:由题意得=20,x≥2,且x∈N+,解得x=5,所以该科技小组有5名男同学.

答案:5

10.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这3个数组成的最小三位数,则可以得到　　　　　个不同的这样的最小三位数. 

解析:从6个不同数字中任选3个组成最小三位数,相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合,故共有=20个,即可以得到20个不同的这样的最小三位数.

答案:20

11.求式子中x的值.

解:原式可化为,

所以x2-23x+42=0.

又因为0≤x≤5,且x∈N,

所以x=21(舍去)或x=2,即x=2为原方程的解.

12.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.

(1)有多少种不同的抽法?

(2)抽出的3件中恰有1件是次品的抽法有多少种?

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?

解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中抽出3件的组合数,所以共有=161700种.

(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种,从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种,因此,抽出的3件中恰有1件是次品的抽法有=9506种.

(3)(方法一)抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有种,因此,根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有=9604种.

(方法二)抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数,也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法种数,即=161700-152096=9604种.