高中数学4.1 二项式定理的推导课后练习题

§4　二项式定理

4.1　二项式定理的推导

1.在(x-y)n的二项展开式中,第r项的二项式系数为(　　).

A. B.

C. D.(-1)r-1

解析:二项展开式中第r项的二项式系数为.

答案:C

2.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　).

A.(2x+2)5 B.2x5

C.(2x-1)5 D.32x5

解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.

答案:D

3.已知的展开式中的第4项等于5,则实数x等于(　　).

A. B.- C.7 D.-7

解析:T4=x4=5,则x=-.

答案:B

4.在的二项展开式中,常数项为(　　).

A.-20 B.20 

C.15 D.-15

解析:二项式通项为Tk+1==(-1)k22k-6·x3-k(k=0,1,2,3,4,5,6).

令3-k=0,得k=3,所以常数项为(-1)3×20×=-20.

答案:A

5.(x+y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　).

A.80 B.120 

C.240 D.320

解析:因为(x+y)(2x+y)5=x(2x+y)5+y(2x+y)5,(2x+y)5的二项式通项为Tk+1=(2x)5-k·yk=25-kx5-k·yk,故当k=3或k=2时得到x3y3项,所以展开式中x3y3的系数为22+23=40+80=120.

答案:B

6.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为　　　　　. 

解析:由二项式通项,得T7=·(-i)6=-=-210.

答案:-210

7.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展开式中x3的系数为　　　　　. 

解析:x3的系数为+…++…+=330.

答案:330

8.A=37+·35+·33+·3,B=·36+·34+·32+1,则A-B=　　　　　. 

解析:A-B=37-·36+·35-·34+·33-·32+·3-=(3-1)7=27=128.

答案:128

9.记的展开式中第m项的系数为bm.

(1)求bm的表达式;

(2)若n=6,求展开式中的常数项;

(3)若b3=2b4,求n.

解:(1)的展开式中第m项为·(2x)n-m+1·=2n+1-m··xn+2-2m,

所以bm=2n+1-m·.

(2)当n=6时,的二项式通项为Tk+1=·(2x)6-k·=26-k··x6-2k,其中k=0,1,2,…,6.

依题意,令6-2k=0,得k=3,

故展开式中的常数项为T4=23·=160.

(3)由(1)及已知b3=2b4,得2n-2·=2·2n-3·,从而,即n=5.

10.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N+).

(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项;

(2)令h(x)=f(x)+g(x),若h(x)的展开式中含x的项的系数为12,则当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?

解:(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.

(1+x)3的二项式通项为xk,k=0,1,2,3;

(1+2x)4的二项式通项为(2x)r,r=0,1,2,3,4.

f(x)g(x)的展开式中含x2的项为

1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.

(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.

因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,

所以+2=12,即m+2n=12.

所以m=12-2n.

含x2的项的系数为+4+4(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4,n∈N+,所以当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.