数学4.1 二项分布课后作业题

§4　二项分布与超几何分布

4.1　二项分布

1.某一试验中事件A发生的概率为p,则在n次这样的试验中,发生k次的概率为(　　).

A.1-pk B.(1-p)kpn-k

C.(1-p)k D.(1-p)kpn-k

解析:在n次独立重复试验中,事件恰好发生k次,符合二项分布,而P(A)=p,则P()=1-p,故P(X=k)=(1-p)kpn-k.

答案:D

2.若随机变量ξ~B(n,0.6),且Eξ=3,则P(ξ=1)的值为(　　).

A.2×0.44 B.2×0.45

C.3×0.44 D.3×0.64

解析:∵Eξ=0.6n=3,∴n=5,∴ξ~B(5,0.6),

∴P(ξ=1)=×0.6×0.44=3×0.44.

答案:C

3.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,设ξ为途中遇到红灯的次数,则随机变量ξ的方差为(　　).

A. B. C. D.

解析:由随机变量ξ服从二项分布,

即ξ~B,可得Dξ=3×.

答案:B

4.(多选题)一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,则下列结论正确的有(　　).

A.3位病人都被治愈的概率为0.93

B.3人中恰有2人被治愈的概率是3×0.92×0.1

C.3人中恰有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12

D.3人中恰有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1

解析:选项A中,事件为3重伯努利试验恰有3次发生的概率,其概率为0.93,故A正确;选项B中,恰有2人被治愈的概率为×0.92×(1-0.9)=3×0.92×0.1,故B正确;选项C中,恰好有2人未被治愈相当于恰好1人被治愈,故概率为×0.9×0.12=3×0.9×0.12,故C正确;选项D中,恰有2人被治愈且甲被治愈,可分为甲、乙被治愈,丙未被治愈或甲、丙被治愈,乙未被治愈,其概率为0.9×0.9×0.1+0.9×0.1×0.9=2×0.92×0.1,故D错误.

答案:ABC

5.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(　　).

A. B.

C. D.

解析:由题可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于做了5重伯努利试验向右恰好发生2次的概率.所求概率为P=.

　(第5题答图)

答案:B

6.已知随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B(n,p),且Eξ=7,Dξ=6,则p=　　　　. 

解析:根据服从二项分布的随机变量均值和方差的计算公式,可得np=7,np(1-p)=6,解得p=.

答案:

7.已知两名射击运动员的射击水平,甲击中目标靶的概率是0.7,乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次,则

(1)甲恰好击中目标2次的概率是　　　　; 

(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是　　　　.(结果精确到0.01) 

解析:由题意,甲向目标靶射击1次,击中目标靶的概率为0.7,乙向目标靶射击1次,击中目标靶的概率为0.6,两人射击均服从二项分布.(1)甲向目标靶射击3次,恰好击中2次的概率是×0.72×(1-0.7)≈0.44.(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次,恰好都击中2次的概率是[×0.72×(1-0.7)]×[×0.62×(1-0.6)]≈0.19.

答案:(1)0.44　(2)0.19

8.某地区为失业人员免费提供财会和计算机培训,以提高失业人员的再就业能力,每名失业人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的占60%,参加过计算机培训的占75%,假设每人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

(1)任选1名失业人员,求该人参加过培训的概率;

(2)任选3名失业人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的分布列.

解:(1)任选1名失业人员,记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,则事件A与B相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75.

所以,该失业人员没有参加过培训的概率是P()=P()P()=(1-0.6)×(1-0.75)=0.1.

所以该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.

(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9).

所以P(ξ=k)=0.9k×0.13-k(k=0,1,2,3).

所以ξ的分布列是