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初中数学苏科版八年级下册12.3 二次根式的加减课时训练
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这是一份初中数学苏科版八年级下册12.3 二次根式的加减课时训练，共15页。
12.3二次根式的加减
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•安溪县月考）下列计算正确的是（ ）
A．32+2=42 B．52−32=5−3
C．18÷3=6 D．8−3=5
2．（2022秋•崇川区校级月考）下列运算正确的是（ ）
①2+3=5，②18=32，③2⋅3=6，④2÷12=2，⑤(−3)2=−3，⑥33=3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022•亭湖区校级开学）下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．24 B．18 C．20 D．12
4．（2022秋•洪泽区校级月考）下列计算不正确的是（ ）
A．316=34 B．32+32=32
C．32−22=2 D．2×5=10
5．（2021春•建湖县月考）计算(5−2)2020(5+2)2021的结果为（ ）
A．5+2 B．5−2 C．1 D．−5+2
6．（2020春•凉山州期末）已知x1=3+2，x2=3−2，则x12+x22等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2022•吴中区模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．32 B．3 C．7 D．11
8．（2022•靖江市二模）若x＝a，代数式x2+2x+n−2的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式x2+2x+n−2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•宿豫区期末）计算55−20的结果为 ．
10．（2022春•润州区校级期末）写两个不同的a的值 ，使得a−4与3是同类二次根式．
11．（2022秋•高新区校级月考）若最简二次根式1−2a和b−17是同类二次根式，那么a+b的值是 ．
12．（2022春•泰州期末）若20与最简二次根式1−m能合并成一项，则m＝ ．
13．（2022春•江都区期末）已知实数a、b满足a−3+|b−1|=0，则ba的值为 ．
14．（2022春•邗江区期末）若a+42=(m+n2)2，当a，m，n均为正整数时，则a的值为 ．
15．（2019秋•崇川区校级期末）若（a+b+1）（a+b−1）＝63，则a+b= ．
16．（2021•荆州）已知：a＝（12）﹣1+（−3）0，b＝（3+2）（3−2），则a+b= ．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021秋•方城县期中）计算：
（1）（8−12）×6；
（2）（5−2）（5+2）+（3−1）2．
18．（2021秋•龙华区期末）计算题
（1）3×62+3−8；
（2）(3+2)(3−2)−12+273．
19．（2022秋•渠县校级期末）化简：
（1）(2−6)×18−313．
（2）计算：27+483+(2+3)(2−3)．
20．（2021春•沙坪坝区校级期末）计算：
（1）8（6−32）；
（2）12+18−（12−48）；
（3）27−2123；
（4）（2+5）（2−5）﹣（3−13）2．
21．（2022春•随州期中）已知a=7+2，b=7−2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
22．（2022春•庐阳区校级期中）已知：a=12−1，b=12+1，求
（1）ab﹣a+b的值；
（2）a2+b2+ab的值．
23．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）m，宽为（13−1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
24．（2021秋•莲池区期末）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：3×3=3，(6−2)(6+2)=6−2=4，我们称3的一个有理化因式是3，6−2的一个有理化因式是6+2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：13=1×33×3=33，86−2=83×3(6−2)(6+2)=8(6+2)4=26+22．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）13的有理化因式为 ，7+5的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）将下列各式分母有理化：
①315；
②1125−3；（要求；写出变形过程）
（3）计算：11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021的结果 ．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•安溪县月考）下列计算正确的是（ ）
A．32+2=42 B．52−32=5−3
C．18÷3=6 D．8−3=5
【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、32与2不是同二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式=16=4，故B不符合题意．
C、原式=6，故C符合题意．
D、8与3不是同类二次根式，故不能合并，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2022秋•崇川区校级月考）下列运算正确的是（ ）
①2+3=5，②18=32，③2⋅3=6，④2÷12=2，⑤(−3)2=−3，⑥33=3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】运用二次根式的加减、乘除法法则、二次根式的性质逐个计算得结论．
【解答】解：①2、3不是同类二次根式，不能加减，故①运算错误；
②18=9×2=32，故②运算正确；
③2×3=6，故③运算正确；
④2÷12=2÷12=2×2=2，故④运算正确；
⑤(−3)2=|﹣3|＝3，故⑤运算错误；
⑥33=33，故⑥运算错误．
故选：C．
3．（2022•亭湖区校级开学）下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．24 B．18 C．20 D．12
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、24=4×6=26，与3不是同类二次根式，不符合题意；
B、18=9×2=32，与3不是同类二次根式，不符合题意；
C、20=4×5=25，与3不是同类二次根式，不符合题意；
D、12=4×3=23，与3是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
4．（2022秋•洪泽区校级月考）下列计算不正确的是（ ）
A．316=34 B．32+32=32
C．32−22=2 D．2×5=10
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：316=34，故选项A正确，不符合题意；
32+32=3+3＝6≠32，故选项B不正确，故选项B符合题意；
32−22=2，故选项C正确，不符合题意；
2×5=10，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
5．（2021春•建湖县月考）计算(5−2)2020(5+2)2021的结果为（ ）
A．5+2 B．5−2 C．1 D．−5+2
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而结合乘法公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝[（5−2）（5+2）]2020×（5+2）
＝1×（5+2）
=5+2．
故选：A．
6．（2020春•凉山州期末）已知x1=3+2，x2=3−2，则x12+x22等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】先计算出x1+x2＝23，x1•x2＝1，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1=3+2，x2=3−2，
∴x1+x2＝23，x1•x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（23）2﹣2×1＝10．
故选：C．
7．（2022•吴中区模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．32 B．3 C．7 D．11
【分析】根据公式计算出b+c＝5，再表示成c＝5﹣b，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，
∴p=12（a+b+c）＝4，
∴c＝5﹣b，
∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)
=4(4−3)(4−b)(4−c)
＝2(4−b)(b−1)
＝294−(b−52)2，
当b=52时，S有最大值为294=3，
故选：B．
8．（2022•靖江市二模）若x＝a，代数式x2+2x+n−2的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式x2+2x+n−2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】由x＝a，代数式x2+2x+n−2的值为﹣1，可得（a+1）2+n−2=0，即得a＝﹣1，n＝2，即可得到答案．
【解答】解：∵x＝a，代数式x2+2x+n−2的值为﹣1，
∴a2+2a+n−2=−1，
∴（a+1）2+n−2=0，
∴a＝﹣1，n＝2，
∴当x＝﹣a时，
x2+2x+n−2
＝（﹣a）2﹣2a+n−2
＝12+2+0
＝3．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•宿豫区期末）计算55−20的结果为 −5 ．
【分析】先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：55−20
=5−25
=−5，
故答案为：−5．
10．（2022春•润州区校级期末）写两个不同的a的值 16或7（答案不唯一） ，使得a−4与3是同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答．
【解答】解：由题意得：
当a﹣4＝3时，
∴a＝7，
当a﹣4＝12时，
∴a＝16，
∴当a＝16或7时，a−4与3是同类二次根式，
故答案为：16或7（答案不唯一）．
11．（2022秋•高新区校级月考）若最简二次根式1−2a和b−17是同类二次根式，那么a+b的值是 0 ．
【分析】由同类二次根式的概念即可求解．
【解答】解：∵最简二次根式1−2a和b−17是同类二次根式，
∴b﹣1＝2，1﹣2a＝7，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
12．（2022春•泰州期末）若20与最简二次根式1−m能合并成一项，则m＝ ﹣4 ．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：20=25，
∵20与最简二次根式1−m能合并成一项，
∴5＝1﹣m，
∴m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
13．（2022春•江都区期末）已知实数a、b满足a−3+|b−1|=0，则ba的值为 33 ．
【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性得出a﹣3＝0且b﹣1＝0，求出a、b的值，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵实数a、b满足a−3+|b−1|=0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴ba=13=33，
故答案为：33．
14．（2022春•邗江区期末）若a+42=(m+n2)2，当a，m，n均为正整数时，则a的值为 9或6 ．
【分析】先利用完全平方公式将(m+n2)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【解答】解：∵a+42=(m+n2)2=m2+2n2+22mn，
∴a＝m2+2n2，2mn＝4，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，
当m＝1，n＝2时，a＝12+2×22＝9；
当m＝2，n＝1时，a＝22+2×12＝6，
故答案为：9或6．
15．（2019秋•崇川区校级期末）若（a+b+1）（a+b−1）＝63，则a+b= 8 ．
【分析】设a+b=t＞0，则（t+1）（t﹣1）＝63，再解关于t的方程，然后利用t＞0确定a+b的值．
【解答】解：设a+b=t＞0，则（t+1）（t﹣1）＝63，
∴t2﹣1＝63，即t2＝64，解得t1＝8，t2＝﹣8（舍去），
即a+b=8．
故答案为8．
16．（2021•荆州）已知：a＝（12）﹣1+（−3）0，b＝（3+2）（3−2），则a+b= 2 ．
【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．
【解答】解：∵a＝（12）﹣1+（−3）0＝2+1＝3，b＝（3+2）（3−2）＝3﹣2＝1，
∴a+b
=3+1
=4
＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021秋•方城县期中）计算：
（1）（8−12）×6；
（2）（5−2）（5+2）+（3−1）2．
【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式=8×6−12×6
=48−3
＝43−3
＝33；
（2）原式＝5﹣2+3﹣23+1
＝7﹣23．
18．（2021秋•龙华区期末）计算题
（1）3×62+3−8；
（2）(3+2)(3−2)−12+273．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可；
（2）按照运算顺序，先算乘除，后算加减，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）3×62+3−8
＝3+（﹣2）
＝1；
（2）(3+2)(3−2)−12+273
＝9﹣2﹣（2+3）
＝7﹣5
＝2．
19．（2022秋•渠县校级期末）化简：
（1）(2−6)×18−313．
（2）计算：27+483+(2+3)(2−3)．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
【解答】解：（1）(2−6)×18−313
=36−63−3
＝6﹣63−3
＝6﹣73；
（2）27+483+(2+3)(2−3)
=9+16+2﹣3
＝3+4+2﹣3
＝6．
20．（2021春•沙坪坝区校级期末）计算：
（1）8（6−32）；
（2）12+18−（12−48）；
（3）27−2123；
（4）（2+5）（2−5）﹣（3−13）2．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）根据二次根式的除法法则运算；
（4）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝22（6−42）
＝22×6−8×2
＝43−16；
（2）原式＝23+32−22+43
＝63+522；
（3）原式=273−2123
＝3﹣2×2
＝3﹣4
＝﹣1；
（4）原式＝4﹣5﹣（3﹣2+13）
＝﹣1−43
=−73；
21．（2022春•随州期中）已知a=7+2，b=7−2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【解答】解：∵a=7+2，b=7−2，
∴a+b=7+2+7−2＝27，
a﹣b＝（7+2）﹣（7−2）＝4，
（1）a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝42
＝16；
（2）a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝27×4
＝87．
22．（2022春•庐阳区校级期中）已知：a=12−1，b=12+1，求
（1）ab﹣a+b的值；
（2）a2+b2+ab的值．
【分析】先分母有理化得到a=2+1，b=2−1，再计算出a+b，a﹣b，ab的值，接着把ab﹣a+b变形为ab﹣（a﹣b），把a2+b2+ab变形为（a+b）2﹣ab，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a=12−1=2+1，b=12+1=2−1，
∴a+b＝22，a﹣b＝2，ab＝2﹣1＝1，
（1）ab﹣a+b＝ab﹣（a﹣b）＝1﹣2＝﹣1；
（2）a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝（22）2﹣1＝8﹣1＝7．
23．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）m，宽为（13−1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（162+128）（m）；
（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（162+128）＝2（92+82）＝342（m），
答：长方形ABCD的周长是342（m）；
（2）购买地砖需要花费＝50×[92×82−（13+1）（13−1）]
＝50×（144﹣12）
＝50×132
＝6600（元）；
答：购买地砖需要花费6600元．
24．（2021秋•莲池区期末）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：3×3=3，(6−2)(6+2)=6−2=4，我们称3的一个有理化因式是3，6−2的一个有理化因式是6+2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：13=1×33×3=33，86−2=83×3(6−2)(6+2)=8(6+2)4=26+22．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）13的有理化因式为 13 ，7+5的有理化因式为 7−5 ；（均写出一个即可）
（2）将下列各式分母有理化：
①315；
②1125−3；（要求；写出变形过程）
（3）计算：11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021的结果 2021−1 ．
【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出13的有理化因式和7+5的有理化因式；
（2）①分子分母同时乘15，然后化简即可；
②分子分母同时乘25+3，然后化简即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
13的有理化因式为13，7+5的有理化因式为7−5，
故答案为：13，7−5；
（2）①315=3×1515×15=31515=155；
②1125−3=11×(25+3)(25−3)×(25+3)=11×(25+3)20−9=11×(25+3)11=25+3；
（3）11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021
=2−1+3−2+4−3+⋯+2021−2020
=2021−1，
故答案为：2021−1．
12.3二次根式的加减
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•安溪县月考）下列计算正确的是（ ）
A．32+2=42 B．52−32=5−3
C．18÷3=6 D．8−3=5
2．（2022秋•崇川区校级月考）下列运算正确的是（ ）
①2+3=5，②18=32，③2⋅3=6，④2÷12=2，⑤(−3)2=−3，⑥33=3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022•亭湖区校级开学）下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．24 B．18 C．20 D．12
4．（2022秋•洪泽区校级月考）下列计算不正确的是（ ）
A．316=34 B．32+32=32
C．32−22=2 D．2×5=10
5．（2021春•建湖县月考）计算(5−2)2020(5+2)2021的结果为（ ）
A．5+2 B．5−2 C．1 D．−5+2
6．（2020春•凉山州期末）已知x1=3+2，x2=3−2，则x12+x22等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2022•吴中区模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．32 B．3 C．7 D．11
8．（2022•靖江市二模）若x＝a，代数式x2+2x+n−2的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式x2+2x+n−2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•宿豫区期末）计算55−20的结果为 ．
10．（2022春•润州区校级期末）写两个不同的a的值 ，使得a−4与3是同类二次根式．
11．（2022秋•高新区校级月考）若最简二次根式1−2a和b−17是同类二次根式，那么a+b的值是 ．
12．（2022春•泰州期末）若20与最简二次根式1−m能合并成一项，则m＝ ．
13．（2022春•江都区期末）已知实数a、b满足a−3+|b−1|=0，则ba的值为 ．
14．（2022春•邗江区期末）若a+42=(m+n2)2，当a，m，n均为正整数时，则a的值为 ．
15．（2019秋•崇川区校级期末）若（a+b+1）（a+b−1）＝63，则a+b= ．
16．（2021•荆州）已知：a＝（12）﹣1+（−3）0，b＝（3+2）（3−2），则a+b= ．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021秋•方城县期中）计算：
（1）（8−12）×6；
（2）（5−2）（5+2）+（3−1）2．
18．（2021秋•龙华区期末）计算题
（1）3×62+3−8；
（2）(3+2)(3−2)−12+273．
19．（2022秋•渠县校级期末）化简：
（1）(2−6)×18−313．
（2）计算：27+483+(2+3)(2−3)．
20．（2021春•沙坪坝区校级期末）计算：
（1）8（6−32）；
（2）12+18−（12−48）；
（3）27−2123；
（4）（2+5）（2−5）﹣（3−13）2．
21．（2022春•随州期中）已知a=7+2，b=7−2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
22．（2022春•庐阳区校级期中）已知：a=12−1，b=12+1，求
（1）ab﹣a+b的值；
（2）a2+b2+ab的值．
23．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）m，宽为（13−1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
24．（2021秋•莲池区期末）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：3×3=3，(6−2)(6+2)=6−2=4，我们称3的一个有理化因式是3，6−2的一个有理化因式是6+2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：13=1×33×3=33，86−2=83×3(6−2)(6+2)=8(6+2)4=26+22．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）13的有理化因式为 ，7+5的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）将下列各式分母有理化：
①315；
②1125−3；（要求；写出变形过程）
（3）计算：11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021的结果 ．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•安溪县月考）下列计算正确的是（ ）
A．32+2=42 B．52−32=5−3
C．18÷3=6 D．8−3=5
【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、32与2不是同二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式=16=4，故B不符合题意．
C、原式=6，故C符合题意．
D、8与3不是同类二次根式，故不能合并，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2022秋•崇川区校级月考）下列运算正确的是（ ）
①2+3=5，②18=32，③2⋅3=6，④2÷12=2，⑤(−3)2=−3，⑥33=3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】运用二次根式的加减、乘除法法则、二次根式的性质逐个计算得结论．
【解答】解：①2、3不是同类二次根式，不能加减，故①运算错误；
②18=9×2=32，故②运算正确；
③2×3=6，故③运算正确；
④2÷12=2÷12=2×2=2，故④运算正确；
⑤(−3)2=|﹣3|＝3，故⑤运算错误；
⑥33=33，故⑥运算错误．
故选：C．
3．（2022•亭湖区校级开学）下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．24 B．18 C．20 D．12
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、24=4×6=26，与3不是同类二次根式，不符合题意；
B、18=9×2=32，与3不是同类二次根式，不符合题意；
C、20=4×5=25，与3不是同类二次根式，不符合题意；
D、12=4×3=23，与3是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
4．（2022秋•洪泽区校级月考）下列计算不正确的是（ ）
A．316=34 B．32+32=32
C．32−22=2 D．2×5=10
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：316=34，故选项A正确，不符合题意；
32+32=3+3＝6≠32，故选项B不正确，故选项B符合题意；
32−22=2，故选项C正确，不符合题意；
2×5=10，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
5．（2021春•建湖县月考）计算(5−2)2020(5+2)2021的结果为（ ）
A．5+2 B．5−2 C．1 D．−5+2
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而结合乘法公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝[（5−2）（5+2）]2020×（5+2）
＝1×（5+2）
=5+2．
故选：A．
6．（2020春•凉山州期末）已知x1=3+2，x2=3−2，则x12+x22等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】先计算出x1+x2＝23，x1•x2＝1，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1=3+2，x2=3−2，
∴x1+x2＝23，x1•x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（23）2﹣2×1＝10．
故选：C．
7．（2022•吴中区模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．32 B．3 C．7 D．11
【分析】根据公式计算出b+c＝5，再表示成c＝5﹣b，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，
∴p=12（a+b+c）＝4，
∴c＝5﹣b，
∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)
=4(4−3)(4−b)(4−c)
＝2(4−b)(b−1)
＝294−(b−52)2，
当b=52时，S有最大值为294=3，
故选：B．
8．（2022•靖江市二模）若x＝a，代数式x2+2x+n−2的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式x2+2x+n−2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】由x＝a，代数式x2+2x+n−2的值为﹣1，可得（a+1）2+n−2=0，即得a＝﹣1，n＝2，即可得到答案．
【解答】解：∵x＝a，代数式x2+2x+n−2的值为﹣1，
∴a2+2a+n−2=−1，
∴（a+1）2+n−2=0，
∴a＝﹣1，n＝2，
∴当x＝﹣a时，
x2+2x+n−2
＝（﹣a）2﹣2a+n−2
＝12+2+0
＝3．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•宿豫区期末）计算55−20的结果为 −5 ．
【分析】先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：55−20
=5−25
=−5，
故答案为：−5．
10．（2022春•润州区校级期末）写两个不同的a的值 16或7（答案不唯一） ，使得a−4与3是同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答．
【解答】解：由题意得：
当a﹣4＝3时，
∴a＝7，
当a﹣4＝12时，
∴a＝16，
∴当a＝16或7时，a−4与3是同类二次根式，
故答案为：16或7（答案不唯一）．
11．（2022秋•高新区校级月考）若最简二次根式1−2a和b−17是同类二次根式，那么a+b的值是 0 ．
【分析】由同类二次根式的概念即可求解．
【解答】解：∵最简二次根式1−2a和b−17是同类二次根式，
∴b﹣1＝2，1﹣2a＝7，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
12．（2022春•泰州期末）若20与最简二次根式1−m能合并成一项，则m＝ ﹣4 ．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：20=25，
∵20与最简二次根式1−m能合并成一项，
∴5＝1﹣m，
∴m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
13．（2022春•江都区期末）已知实数a、b满足a−3+|b−1|=0，则ba的值为 33 ．
【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性得出a﹣3＝0且b﹣1＝0，求出a、b的值，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵实数a、b满足a−3+|b−1|=0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴ba=13=33，
故答案为：33．
14．（2022春•邗江区期末）若a+42=(m+n2)2，当a，m，n均为正整数时，则a的值为 9或6 ．
【分析】先利用完全平方公式将(m+n2)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【解答】解：∵a+42=(m+n2)2=m2+2n2+22mn，
∴a＝m2+2n2，2mn＝4，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，
当m＝1，n＝2时，a＝12+2×22＝9；
当m＝2，n＝1时，a＝22+2×12＝6，
故答案为：9或6．
15．（2019秋•崇川区校级期末）若（a+b+1）（a+b−1）＝63，则a+b= 8 ．
【分析】设a+b=t＞0，则（t+1）（t﹣1）＝63，再解关于t的方程，然后利用t＞0确定a+b的值．
【解答】解：设a+b=t＞0，则（t+1）（t﹣1）＝63，
∴t2﹣1＝63，即t2＝64，解得t1＝8，t2＝﹣8（舍去），
即a+b=8．
故答案为8．
16．（2021•荆州）已知：a＝（12）﹣1+（−3）0，b＝（3+2）（3−2），则a+b= 2 ．
【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．
【解答】解：∵a＝（12）﹣1+（−3）0＝2+1＝3，b＝（3+2）（3−2）＝3﹣2＝1，
∴a+b
=3+1
=4
＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021秋•方城县期中）计算：
（1）（8−12）×6；
（2）（5−2）（5+2）+（3−1）2．
【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式=8×6−12×6
=48−3
＝43−3
＝33；
（2）原式＝5﹣2+3﹣23+1
＝7﹣23．
18．（2021秋•龙华区期末）计算题
（1）3×62+3−8；
（2）(3+2)(3−2)−12+273．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可；
（2）按照运算顺序，先算乘除，后算加减，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）3×62+3−8
＝3+（﹣2）
＝1；
（2）(3+2)(3−2)−12+273
＝9﹣2﹣（2+3）
＝7﹣5
＝2．
19．（2022秋•渠县校级期末）化简：
（1）(2−6)×18−313．
（2）计算：27+483+(2+3)(2−3)．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
【解答】解：（1）(2−6)×18−313
=36−63−3
＝6﹣63−3
＝6﹣73；
（2）27+483+(2+3)(2−3)
=9+16+2﹣3
＝3+4+2﹣3
＝6．
20．（2021春•沙坪坝区校级期末）计算：
（1）8（6−32）；
（2）12+18−（12−48）；
（3）27−2123；
（4）（2+5）（2−5）﹣（3−13）2．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）根据二次根式的除法法则运算；
（4）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝22（6−42）
＝22×6−8×2
＝43−16；
（2）原式＝23+32−22+43
＝63+522；
（3）原式=273−2123
＝3﹣2×2
＝3﹣4
＝﹣1；
（4）原式＝4﹣5﹣（3﹣2+13）
＝﹣1−43
=−73；
21．（2022春•随州期中）已知a=7+2，b=7−2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【解答】解：∵a=7+2，b=7−2，
∴a+b=7+2+7−2＝27，
a﹣b＝（7+2）﹣（7−2）＝4，
（1）a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝42
＝16；
（2）a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝27×4
＝87．
22．（2022春•庐阳区校级期中）已知：a=12−1，b=12+1，求
（1）ab﹣a+b的值；
（2）a2+b2+ab的值．
【分析】先分母有理化得到a=2+1，b=2−1，再计算出a+b，a﹣b，ab的值，接着把ab﹣a+b变形为ab﹣（a﹣b），把a2+b2+ab变形为（a+b）2﹣ab，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a=12−1=2+1，b=12+1=2−1，
∴a+b＝22，a﹣b＝2，ab＝2﹣1＝1，
（1）ab﹣a+b＝ab﹣（a﹣b）＝1﹣2＝﹣1；
（2）a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝（22）2﹣1＝8﹣1＝7．
23．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）m，宽为（13−1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（162+128）（m）；
（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（162+128）＝2（92+82）＝342（m），
答：长方形ABCD的周长是342（m）；
（2）购买地砖需要花费＝50×[92×82−（13+1）（13−1）]
＝50×（144﹣12）
＝50×132
＝6600（元）；
答：购买地砖需要花费6600元．
24．（2021秋•莲池区期末）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：3×3=3，(6−2)(6+2)=6−2=4，我们称3的一个有理化因式是3，6−2的一个有理化因式是6+2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：13=1×33×3=33，86−2=83×3(6−2)(6+2)=8(6+2)4=26+22．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）13的有理化因式为 13 ，7+5的有理化因式为 7−5 ；（均写出一个即可）
（2）将下列各式分母有理化：
①315；
②1125−3；（要求；写出变形过程）
（3）计算：11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021的结果 2021−1 ．
【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出13的有理化因式和7+5的有理化因式；
（2）①分子分母同时乘15，然后化简即可；
②分子分母同时乘25+3，然后化简即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
13的有理化因式为13，7+5的有理化因式为7−5，
故答案为：13，7−5；
（2）①315=3×1515×15=31515=155；
②1125−3=11×(25+3)(25−3)×(25+3)=11×(25+3)20−9=11×(25+3)11=25+3；
（3）11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021
=2−1+3−2+4−3+⋯+2021−2020
=2021−1，
故答案为：2021−1．
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