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八年级数学下册专题03 矩形、菱形、正方形的性质与判定
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这是一份八年级数学下册专题03 矩形、菱形、正方形的性质与判定，共64页。
专题03 矩形、菱形、正方形的性质与判定
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用矩形的性质求角度】 1
【考点二 利用矩形的性质求线段长】 3
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】 6
【考点四 利用菱形的性质求角度】 10
【考点五 利用菱形的性质求线段长】 12
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】 15
【考点七 利用正方形的性质求角度】 19
【考点八 利用正方形的性质求线段长】 20
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】 25
【过关检测】 29
【典型例题】
【考点一 利用矩形的性质求角度】
例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．
2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．
(1)求证：；
(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．
【考点二 利用矩形的性质求线段长】
例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．
2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．
(1)若，，求的长．
(2)求证：．
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．
(1)求证：；
(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．
【考点四 利用菱形的性质求角度】
例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．
【变式训练】
1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．
2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．
【考点五 利用菱形的性质求线段长】
例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．
2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为 _____．
3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求菱形的面积．
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】
例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长；
【变式训练】
1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当______时，四边形是矩形，请说明理由．
【考点七 利用正方形的性质求角度】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．
【变式训练】
1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．
2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
【考点八 利用正方形的性质求线段长】
例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．
【变式训练】
1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．
2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．
3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．
(1)若正方形的边长为，且，求的长；
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的长．
2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．
(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．
(2)如图2，连接．若．
①当点E是的中点时，____________；
②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点F，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为（ ）
A．10 B． C． D．5
5．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题
6．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）已知菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积__________．
7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______
8．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在矩形中，点是对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，图中阴影部分的面积和为8，则矩形的周长为_____．
9．（2022秋·全国·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为 ____．
10．（2022秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点B的落点依次为，则的横坐标为___________．
三、解答题
11．（2022秋·江西抚州·九年级校考期末）已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考开学考试）已知，如图，在菱形中，为对角线，E是上的点，分别连结，并延长交于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
13．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，分别过点A，C作的平行线交于点E，连接交于点O，求证：
(1)四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
14．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）如图，在中，，为的中点，，．
(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)当________°时，四边形为正方形．
15．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，点为边上一点，连接，交于点．
(1)当时，求证：四边形为菱形；
(2)当______时，则四边形为矩形．
16．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)①若，，则四边形的面积＝ ．
②若，则 时，四边形是正方形．
17．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C，D重合）．运动时间设为t秒．
(1)若点P，Q均以的速度移动，则___________；___________．（用含t的代数式表示）
(2)在（1）的条件下，t为何值时，P，Q间的距离为？
(3)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(4)若点P，Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？
18．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示）
(2)点P在上，∥时，求t的值．
(3)当直线平分的面积时，求t的值．
(4)若点Q的运动速度改变为每秒a个单位．当，的某两个顶点与P、Q所围成的四边形为菱形时，直接写出a的值．
答案与解析
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用矩形的性质求角度】 1
【考点二 利用矩形的性质求线段长】 3
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】 6
【考点四 利用菱形的性质求角度】 10
【考点五 利用菱形的性质求线段长】 12
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】 15
【考点七 利用正方形的性质求角度】 19
【考点八 利用正方形的性质求线段长】 20
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】 25
【过关检测】 29
【典型例题】
【考点一 利用矩形的性质求角度】
例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．
【答案】##50度
【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果．
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．
【答案】45或135
【分析】根据题意分当的平分线交线段于点E和当的平分线交线段外于点E，然后根据矩形的性质及角平分线的定义可进行求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
由题意可分：
①当的平分线交线段于点E，如图所示：
∴；
②当的平分线交线段外于点E，如图所示：
∴；
综上所述：或；
故答案为45或135．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．
(1)求证：；
(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据平行四边形性质得出，推出，再由即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、证明是解题的关键．
【考点二 利用矩形的性质求线段长】
例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．
【答案】6
【分析】利用矩形的对角线平分且相等来进行计算即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边
对等角的性质可得，再结合两直线平行，内错角相等可得，再
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到
，再利用等角对等边的性质得到，然后利用勾股定理列式计算即可得
解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
在中，，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出是解题的关键．
2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．
(1)若，，求的长．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由已知可求得的长及，由勾股定理求得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得，从而问题解决．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，，
；
平分，
，
，
∴；
由勾股定理得，
；
（2）证明：四边形是矩形，
，，，
，
、分别平分、，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．
【详解】（1）证明：∵、，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．
(1)求证：；
(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，见解析
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∵，．
∵，
∴．
∵，
∴，，
在与中，
，
∴（ASA）；
∴，，
在与中，
∴（SAS）；
（2）四边形是矩形，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件先证明四边形 为平行四边形，再根据即可得证；
（2）由平分，可求得，在中，，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，再求出，由已知进而即可求得即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，即，
∵，，
四边形为平行四边形，
又 ∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键．
【考点四 利用菱形的性质求角度】
例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．
【答案】##140度
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．
【详解】解：∵菱形中，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．
【答案】3
【分析】利用含30角的直角三角形的性质求出，利用等角对等边求出，即可解决问题．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识解决问题．
2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质，得到，，再根据垂直平分线性质，得到，从而得到，最后利用三角形外角性质即可求出的度数．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握菱形的基本性质是解题关键．
【考点五 利用菱形的性质求线段长】
例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．
【答案】4
【分析】由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵菱形的周长是16，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，则为等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出的长，由，可得出，进而可求出的长．
【详解】解：连接，则为等边三角形，如图所示．
是中点，，
，，
．
又，
，
，即：，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质，找出为等边三角形是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为 _____．
【答案】
【分析】取的中点H，连接，根据菱形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵点H是的中点，点F是的中点，
∴，
∴，
∵点E是的中点，点H是的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质，得，；根据于点，于点，则，即可；
（2）根据菱形的性质，得，根据，，勾股定理，求出，即可求出菱形的面积．
【详解】（1）证明，如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵于点，于点，
∴，
∴，
∴．
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】
例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长；
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明得到进而证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∵，点O为的中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；
（2）由菱形的性质可得，，，可求，，即可得出答案．
【详解】（1）解：证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
．
，
平行四边形是矩形，
．
．
平行四边形是菱形
（2）由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形，
，，，，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键．
2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当______时，四边形是矩形，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②7，理由见解析．
【分析】（1）证明，推出，根据平行四边形的判定即可得出结论；
（2）①当四边形是菱形时，证明是等边三角形，可得，进而可得的长度；
②过A作于M，求出，可得，然后证明四边形是矩形，即可得到的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①当时，四边形是菱形，
理由：∵，，，
∴，，，
当四边形是菱形时，有，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：4；
②当时，四边形是矩形，
理由：过A作于M，
∵，，
∴，
∴，
当四边形是矩形时，有，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识，注意：菱形的四条边都相等，矩形的四个角都是直角．
【考点七 利用正方形的性质求角度】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．
【答案】65
【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：，即可求出．
【详解】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，
，，，
又是的外角，
，
故答案为：65．
【点睛】本题综合考查正方形的对称性质和三角形外角性质，解题关键是利用正方形的对称性快速得出结论．
【变式训练】
1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．
【答案】##度
【分析】根据正方形的性质得出，根据已知条件可得，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键．
【考点八 利用正方形的性质求线段长】
例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．
【答案】
【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，，再证明，可推出为等腰直角三角形，求得长，设，由勾股定理建立方程即可求的长．
【详解】解：连接、，过点E作于点M，如图所示，
∵四边形为正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
设，
在中，，
∴，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．
【答案】
【分析】延长、交、于、，由正方形的性质，得到，再由等腰三角形的性质及正方形的性质得到，，由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图，延长、交、于、．
四边形为正方形，
，
，，
则 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理．求出，的长是解答本题的关键．
2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转可得，，
∴，，
又∵，
∴H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴中，，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．
【答案】的长为．
【分析】利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，于是可判断点G在的延长线上，接着证明平分得到，然后计算就可得到的长．
【详解】解：∵正方形的边长为4，点E是的中点，
∴，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得，
∴，，，，
而，
∴点G在的延长线上，
∵平分交于点F，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理．
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．
(1)若正方形的边长为，且，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】由正方形的边长为，在中，由，即可求得的长，然后由勾股定理求得的长，又由，即可求得的长；
先在上截取，然后证得≌，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得，进而得出．
（1）
解：四边形是正方形，且边长为，
，，
在中，，
，
，
，
；
（2）
证明：在上截取，连接，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是14．
【分析】（1）由，得，由旋转得，，即可证明四边形是正方形；
（2）根据勾股定理列方程，求得符合题意的的值，即可求得的长为14．
【详解】（1）证明：∵，
∴
由旋转得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵正方形的边长为10，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
∴，
∴BE的长是14．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用等知识与方法，正确理解和运用旋转的性质是解题的关键．
2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．
(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．
(2)如图2，连接．若．
①当点E是的中点时，____________；
②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①；②不变化，理由见解析
【分析】（1）证明即可得到；
（2）先证明四边形是正方形，延长，相交于点H．①当点E是的中点时，四边形的边长等于，然后根据求解即可；②设四边形的边长为b，根据求解即可．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴．
在和中
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
①∵E是的中点，
∴，
∴
．
故答案为：．
②不变化，设四边形的边长为b，
．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，整式的加减，数形结合是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，
∴，
∴ ，
同理可得：
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点F，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由菱形的性质和可证明是等边三角形，继而得出，，再由等边三角形三线合一的性质得出，通过证明，可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．证得是等边三角形是解题的关键．
3．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为（ ）
A．10 B． C． D．5
【答案】B
【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到．
【详解】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得：，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是推导得出．
5．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答．
【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
二、填空题
6．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）已知菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积__________．
【答案】120
【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，由菱形面积公式即可得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
菱形的面积；
故答案为：120．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．
7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______
【答案】
【分析】先求出，再利用四边形的内角和求解即可．
【详解】解：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的内角和为，旋转的性质，矩形的性质，其中掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在矩形中，点是对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，图中阴影部分的面积和为8，则矩形的周长为_____．
【答案】
【分析】作于，交于，根据矩形的判定和性质，易得，根据三角形的面积及勾股定理即可求解．
【详解】解：作于，交于，如图所示：
则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，
，，，，，
，且，
，且，
，
，，
，，
，，
，
，
矩形的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是证明．
9．（2022秋·全国·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为 ____．
【答案】
【分析】连接，首先证明出，得到，然后得到垂直平分，，，则，，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵
∴
∴
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴中，，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
10．（2022秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点B的落点依次为，则的横坐标为___________．
【答案】
【分析】连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移，由于，因此点向右平移（即），即可到达点，根据点的坐标就可求出点的横坐标．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示：
由图可知：每翻转次，图形向右平移，点B的纵坐标保持不变，
∵，
∴点向右平移即到点，
结合图形，根据等边三角形的性质可求出的坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力，发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·江西抚州·九年级校考期末）已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质推出，证明，即可推出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，证明，得到，证得四边形是平行四边形，结合推出，即可证得平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考开学考试）已知，如图，在菱形中，为对角线，E是上的点，分别连结，并延长交于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据SAS证明后,再证明后，即可证明．
(2)连接交于点O,由菱形的性质得出,结合，证明是等边三角形，继而得出,由直角三角形斜边.上中线的性质得出，即可求出的长度.
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
13．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，分别过点A，C作的平行线交于点E，连接交于点O，求证：
(1)四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，再证四边形平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，则，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
在中，为边上的中线，
∴．
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，平行四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴；
在中，为边上的中线，
∴，
∴，
∴四边形的面积
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
14．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）如图，在中，，为的中点，，．
(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)当________°时，四边形为正方形．
【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行可以证明四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可求得，进而得出四边形为菱形
（2）根据题意可知当四边形为正方形时，等腰直角三角形的三线合一性即可求得
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：
∵，
∴四边形为平行四边形
∵，为的中点
∴
∴平行四边形为菱形
（2）解：若四边形为正方形
∴
∵为的中点
∴
∴是等腰直角三角形
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，点为边上一点，连接，交于点．
(1)当时，求证：四边形为菱形；
(2)当______时，则四边形为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可得为等边三角形，继而可得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得；
（2）当时，为矩形，理由：若为矩形则有，再根据，，则可得，继而可得
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边，
∵，
∴为等边三角形，，，
即：，
∴平行四边形为菱形；
（2）当时，为矩形，理由如下：
若为矩形得：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．
16．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)①若，，则四边形的面积＝ ．
②若，则 时，四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)①120；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形是平行四边形，根据垂直推出，根据矩形的判定得出即可；
（2）①求出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出即可．②利用等腰三角形的性质和正方形的性质解答即可．
【详解】（1）解：证明：点是中点，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
是等腰底边上的高，
，
四边形是矩形；
（2）①是等腰底边上的高，，，
，，，
由勾股定理得：，
四边形的面积是．
②当，时，四边形是正方形，理由如下：
，，
，
，
四边形是正方形；
故答案为：120；．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中．
17．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C，D重合）．运动时间设为t秒．
(1)若点P，Q均以的速度移动，则___________；___________．（用含t的代数式表示）
(2)在（1）的条件下，t为何值时，P，Q间的距离为？
(3)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(4)若点P，Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题；
（2）根据题意分两种情况当和，分别根据勾股定理求解即可；
（3）过点P作于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，，列出方程即可解决问题；
（4）当时，四边形是菱形，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）∵点P，Q均以的速度移动，
∴．
故答案为：；
（2）∵，点P，Q均以的速度移动，
∴当点P和点Q分别运动到和的中点时,
∴当时,过点P作于点E
∴,
∵
∴四边形是矩形,
∴,
∴,
∵
∴在中,,
即,解得或（舍去）,
当时,作交于点M,
同理可得,,,
∴在中,
∴
∴解得或（舍去）,
综上所述,当或时，P，Q间的距离为；
（3）过点P作于点E
∴
∵
∴
在矩形中，，
∴ 四边形是矩形
∴
又∵
∴
∴ 由
∴
∴
∴ 当时，，为等腰三角形；
（4）在矩形中，，，，依题知
∴
∴ 四边形是平行四边形
当时，四边形是菱形
∴
在中，
由
∴
即：
解得：
∴ 当时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查四形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知决解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示）
(2)点P在上，∥时，求t的值．
(3)当直线平分的面积时，求t的值．
(4)若点Q的运动速度改变为每秒a个单位．当，的某两个顶点与P、Q所围成的四边形为菱形时，直接写出a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）分为点P在BC上或点P在上两种情况解题即可；
（2）当点P在上，点Q在上时，可得四边形是平行四边形，从而即可解题；
（3）过平行四边形的中心时，平分四边形的面积，即与关于的对称中心对称或和关于的对称中心对称，进而得出结果；
（4）可得，则点P在上，点Q在上时，分为四边形和为菱形时解题即可．
【详解】（1）当点P在BC上时，
∵，
∴，
当点P在上时，
，
故答案为：，
（2）解：当点P在上，点Q在上时，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴，
∴；
（3）解：当时，
当时，直线平分四边形的面积，
∴，
∴，
当时，
当时，直线平分四边形的面积，
∴，
∴，
综上所述，或时，直线平分四边形的面积；
（4）∵当
，
点P在上，点Q在上，
①当四边形为菱形时，
此时，
∴，
∴，
②当四边形为菱形时，
此时，
∴，
∴，
∴这种情况不存在，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．
专题03 矩形、菱形、正方形的性质与判定
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用矩形的性质求角度】 1
【考点二 利用矩形的性质求线段长】 3
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】 6
【考点四 利用菱形的性质求角度】 10
【考点五 利用菱形的性质求线段长】 12
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】 15
【考点七 利用正方形的性质求角度】 19
【考点八 利用正方形的性质求线段长】 20
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】 25
【过关检测】 29
【典型例题】
【考点一 利用矩形的性质求角度】
例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．
2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．
(1)求证：；
(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．
【考点二 利用矩形的性质求线段长】
例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．
2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．
(1)若，，求的长．
(2)求证：．
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．
(1)求证：；
(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．
【考点四 利用菱形的性质求角度】
例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．
【变式训练】
1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．
2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．
【考点五 利用菱形的性质求线段长】
例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．
2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为 _____．
3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求菱形的面积．
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】
例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长；
【变式训练】
1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当______时，四边形是矩形，请说明理由．
【考点七 利用正方形的性质求角度】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．
【变式训练】
1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．
2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
【考点八 利用正方形的性质求线段长】
例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．
【变式训练】
1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．
2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．
3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．
(1)若正方形的边长为，且，求的长；
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的长．
2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．
(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．
(2)如图2，连接．若．
①当点E是的中点时，____________；
②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点F，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为（ ）
A．10 B． C． D．5
5．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题
6．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）已知菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积__________．
7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______
8．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在矩形中，点是对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，图中阴影部分的面积和为8，则矩形的周长为_____．
9．（2022秋·全国·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为 ____．
10．（2022秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点B的落点依次为，则的横坐标为___________．
三、解答题
11．（2022秋·江西抚州·九年级校考期末）已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考开学考试）已知，如图，在菱形中，为对角线，E是上的点，分别连结，并延长交于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
13．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，分别过点A，C作的平行线交于点E，连接交于点O，求证：
(1)四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
14．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）如图，在中，，为的中点，，．
(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)当________°时，四边形为正方形．
15．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，点为边上一点，连接，交于点．
(1)当时，求证：四边形为菱形；
(2)当______时，则四边形为矩形．
16．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)①若，，则四边形的面积＝ ．
②若，则 时，四边形是正方形．
17．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C，D重合）．运动时间设为t秒．
(1)若点P，Q均以的速度移动，则___________；___________．（用含t的代数式表示）
(2)在（1）的条件下，t为何值时，P，Q间的距离为？
(3)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(4)若点P，Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？
18．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示）
(2)点P在上，∥时，求t的值．
(3)当直线平分的面积时，求t的值．
(4)若点Q的运动速度改变为每秒a个单位．当，的某两个顶点与P、Q所围成的四边形为菱形时，直接写出a的值．
答案与解析
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用矩形的性质求角度】 1
【考点二 利用矩形的性质求线段长】 3
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】 6
【考点四 利用菱形的性质求角度】 10
【考点五 利用菱形的性质求线段长】 12
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】 15
【考点七 利用正方形的性质求角度】 19
【考点八 利用正方形的性质求线段长】 20
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】 25
【过关检测】 29
【典型例题】
【考点一 利用矩形的性质求角度】
例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．
【答案】##50度
【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果．
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．
【答案】45或135
【分析】根据题意分当的平分线交线段于点E和当的平分线交线段外于点E，然后根据矩形的性质及角平分线的定义可进行求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
由题意可分：
①当的平分线交线段于点E，如图所示：
∴；
②当的平分线交线段外于点E，如图所示：
∴；
综上所述：或；
故答案为45或135．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．
(1)求证：；
(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据平行四边形性质得出，推出，再由即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、证明是解题的关键．
【考点二 利用矩形的性质求线段长】
例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．
【答案】6
【分析】利用矩形的对角线平分且相等来进行计算即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边
对等角的性质可得，再结合两直线平行，内错角相等可得，再
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到
，再利用等角对等边的性质得到，然后利用勾股定理列式计算即可得
解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
在中，，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出是解题的关键．
2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．
(1)若，，求的长．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由已知可求得的长及，由勾股定理求得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得，从而问题解决．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，，
；
平分，
，
，
∴；
由勾股定理得，
；
（2）证明：四边形是矩形，
，，，
，
、分别平分、，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．
【详解】（1）证明：∵、，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．
(1)求证：；
(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，见解析
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∵，．
∵，
∴．
∵，
∴，，
在与中，
，
∴（ASA）；
∴，，
在与中，
∴（SAS）；
（2）四边形是矩形，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件先证明四边形 为平行四边形，再根据即可得证；
（2）由平分，可求得，在中，，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，再求出，由已知进而即可求得即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，即，
∵，，
四边形为平行四边形，
又 ∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键．
【考点四 利用菱形的性质求角度】
例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．
【答案】##140度
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．
【详解】解：∵菱形中，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．
【答案】3
【分析】利用含30角的直角三角形的性质求出，利用等角对等边求出，即可解决问题．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识解决问题．
2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质，得到，，再根据垂直平分线性质，得到，从而得到，最后利用三角形外角性质即可求出的度数．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握菱形的基本性质是解题关键．
【考点五 利用菱形的性质求线段长】
例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．
【答案】4
【分析】由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵菱形的周长是16，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形．
【变式训练】
1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，则为等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出的长，由，可得出，进而可求出的长．
【详解】解：连接，则为等边三角形，如图所示．
是中点，，
，，
．
又，
，
，即：，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质，找出为等边三角形是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为 _____．
【答案】
【分析】取的中点H，连接，根据菱形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵点H是的中点，点F是的中点，
∴，
∴，
∵点E是的中点，点H是的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质，得，；根据于点，于点，则，即可；
（2）根据菱形的性质，得，根据，，勾股定理，求出，即可求出菱形的面积．
【详解】（1）证明，如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵于点，于点，
∴，
∴，
∴．
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】
例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长；
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明得到进而证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∵，点O为的中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；
（2）由菱形的性质可得，，，可求，，即可得出答案．
【详解】（1）解：证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
．
，
平行四边形是矩形，
．
．
平行四边形是菱形
（2）由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形，
，，，，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键．
2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当______时，四边形是矩形，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②7，理由见解析．
【分析】（1）证明，推出，根据平行四边形的判定即可得出结论；
（2）①当四边形是菱形时，证明是等边三角形，可得，进而可得的长度；
②过A作于M，求出，可得，然后证明四边形是矩形，即可得到的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①当时，四边形是菱形，
理由：∵，，，
∴，，，
当四边形是菱形时，有，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：4；
②当时，四边形是矩形，
理由：过A作于M，
∵，，
∴，
∴，
当四边形是矩形时，有，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识，注意：菱形的四条边都相等，矩形的四个角都是直角．
【考点七 利用正方形的性质求角度】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．
【答案】65
【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：，即可求出．
【详解】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，
，，，
又是的外角，
，
故答案为：65．
【点睛】本题综合考查正方形的对称性质和三角形外角性质，解题关键是利用正方形的对称性快速得出结论．
【变式训练】
1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．
【答案】##度
【分析】根据正方形的性质得出，根据已知条件可得，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键．
【考点八 利用正方形的性质求线段长】
例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．
【答案】
【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，，再证明，可推出为等腰直角三角形，求得长，设，由勾股定理建立方程即可求的长．
【详解】解：连接、，过点E作于点M，如图所示，
∵四边形为正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
设，
在中，，
∴，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．
【答案】
【分析】延长、交、于、，由正方形的性质，得到，再由等腰三角形的性质及正方形的性质得到，，由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图，延长、交、于、．
四边形为正方形，
，
，，
则 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理．求出，的长是解答本题的关键．
2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转可得，，
∴，，
又∵，
∴H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴中，，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．
【答案】的长为．
【分析】利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，于是可判断点G在的延长线上，接着证明平分得到，然后计算就可得到的长．
【详解】解：∵正方形的边长为4，点E是的中点，
∴，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得，
∴，，，，
而，
∴点G在的延长线上，
∵平分交于点F，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理．
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】
例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．
(1)若正方形的边长为，且，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】由正方形的边长为，在中，由，即可求得的长，然后由勾股定理求得的长，又由，即可求得的长；
先在上截取，然后证得≌，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得，进而得出．
（1）
解：四边形是正方形，且边长为，
，，
在中，，
，
，
，
；
（2）
证明：在上截取，连接，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是14．
【分析】（1）由，得，由旋转得，，即可证明四边形是正方形；
（2）根据勾股定理列方程，求得符合题意的的值，即可求得的长为14．
【详解】（1）证明：∵，
∴
由旋转得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵正方形的边长为10，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
∴，
∴BE的长是14．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用等知识与方法，正确理解和运用旋转的性质是解题的关键．
2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．
(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．
(2)如图2，连接．若．
①当点E是的中点时，____________；
②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①；②不变化，理由见解析
【分析】（1）证明即可得到；
（2）先证明四边形是正方形，延长，相交于点H．①当点E是的中点时，四边形的边长等于，然后根据求解即可；②设四边形的边长为b，根据求解即可．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴．
在和中
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
①∵E是的中点，
∴，
∴
．
故答案为：．
②不变化，设四边形的边长为b，
．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，整式的加减，数形结合是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，
∴，
∴ ，
同理可得：
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点F，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由菱形的性质和可证明是等边三角形，继而得出，，再由等边三角形三线合一的性质得出，通过证明，可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．证得是等边三角形是解题的关键．
3．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为（ ）
A．10 B． C． D．5
【答案】B
【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到．
【详解】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得：，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是推导得出．
5．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答．
【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
二、填空题
6．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）已知菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积__________．
【答案】120
【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，由菱形面积公式即可得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
菱形的面积；
故答案为：120．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．
7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______
【答案】
【分析】先求出，再利用四边形的内角和求解即可．
【详解】解：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的内角和为，旋转的性质，矩形的性质，其中掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在矩形中，点是对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，图中阴影部分的面积和为8，则矩形的周长为_____．
【答案】
【分析】作于，交于，根据矩形的判定和性质，易得，根据三角形的面积及勾股定理即可求解．
【详解】解：作于，交于，如图所示：
则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，
，，，，，
，且，
，且，
，
，，
，，
，，
，
，
矩形的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是证明．
9．（2022秋·全国·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为 ____．
【答案】
【分析】连接，首先证明出，得到，然后得到垂直平分，，，则，，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵
∴
∴
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴中，，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
10．（2022秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点B的落点依次为，则的横坐标为___________．
【答案】
【分析】连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移，由于，因此点向右平移（即），即可到达点，根据点的坐标就可求出点的横坐标．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示：
由图可知：每翻转次，图形向右平移，点B的纵坐标保持不变，
∵，
∴点向右平移即到点，
结合图形，根据等边三角形的性质可求出的坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力，发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·江西抚州·九年级校考期末）已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质推出，证明，即可推出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，证明，得到，证得四边形是平行四边形，结合推出，即可证得平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考开学考试）已知，如图，在菱形中，为对角线，E是上的点，分别连结，并延长交于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据SAS证明后,再证明后，即可证明．
(2)连接交于点O,由菱形的性质得出,结合，证明是等边三角形，继而得出,由直角三角形斜边.上中线的性质得出，即可求出的长度.
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
13．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，分别过点A，C作的平行线交于点E，连接交于点O，求证：
(1)四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，再证四边形平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，则，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
在中，为边上的中线，
∴．
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，平行四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴；
在中，为边上的中线，
∴，
∴，
∴四边形的面积
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
14．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）如图，在中，，为的中点，，．
(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)当________°时，四边形为正方形．
【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行可以证明四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可求得，进而得出四边形为菱形
（2）根据题意可知当四边形为正方形时，等腰直角三角形的三线合一性即可求得
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：
∵，
∴四边形为平行四边形
∵，为的中点
∴
∴平行四边形为菱形
（2）解：若四边形为正方形
∴
∵为的中点
∴
∴是等腰直角三角形
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，点为边上一点，连接，交于点．
(1)当时，求证：四边形为菱形；
(2)当______时，则四边形为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可得为等边三角形，继而可得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得；
（2）当时，为矩形，理由：若为矩形则有，再根据，，则可得，继而可得
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边，
∵，
∴为等边三角形，，，
即：，
∴平行四边形为菱形；
（2）当时，为矩形，理由如下：
若为矩形得：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．
16．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)①若，，则四边形的面积＝ ．
②若，则 时，四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)①120；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形是平行四边形，根据垂直推出，根据矩形的判定得出即可；
（2）①求出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出即可．②利用等腰三角形的性质和正方形的性质解答即可．
【详解】（1）解：证明：点是中点，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
是等腰底边上的高，
，
四边形是矩形；
（2）①是等腰底边上的高，，，
，，，
由勾股定理得：，
四边形的面积是．
②当，时，四边形是正方形，理由如下：
，，
，
，
四边形是正方形；
故答案为：120；．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中．
17．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C，D重合）．运动时间设为t秒．
(1)若点P，Q均以的速度移动，则___________；___________．（用含t的代数式表示）
(2)在（1）的条件下，t为何值时，P，Q间的距离为？
(3)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(4)若点P，Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题；
（2）根据题意分两种情况当和，分别根据勾股定理求解即可；
（3）过点P作于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，，列出方程即可解决问题；
（4）当时，四边形是菱形，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）∵点P，Q均以的速度移动，
∴．
故答案为：；
（2）∵，点P，Q均以的速度移动，
∴当点P和点Q分别运动到和的中点时,
∴当时,过点P作于点E
∴,
∵
∴四边形是矩形,
∴,
∴,
∵
∴在中,,
即,解得或（舍去）,
当时,作交于点M,
同理可得,,,
∴在中,
∴
∴解得或（舍去）,
综上所述,当或时，P，Q间的距离为；
（3）过点P作于点E
∴
∵
∴
在矩形中，，
∴ 四边形是矩形
∴
又∵
∴
∴ 由
∴
∴
∴ 当时，，为等腰三角形；
（4）在矩形中，，，，依题知
∴
∴ 四边形是平行四边形
当时，四边形是菱形
∴
在中，
由
∴
即：
解得：
∴ 当时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查四形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知决解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示）
(2)点P在上，∥时，求t的值．
(3)当直线平分的面积时，求t的值．
(4)若点Q的运动速度改变为每秒a个单位．当，的某两个顶点与P、Q所围成的四边形为菱形时，直接写出a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）分为点P在BC上或点P在上两种情况解题即可；
（2）当点P在上，点Q在上时，可得四边形是平行四边形，从而即可解题；
（3）过平行四边形的中心时，平分四边形的面积，即与关于的对称中心对称或和关于的对称中心对称，进而得出结果；
（4）可得，则点P在上，点Q在上时，分为四边形和为菱形时解题即可．
【详解】（1）当点P在BC上时，
∵，
∴，
当点P在上时，
，
故答案为：，
（2）解：当点P在上，点Q在上时，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴，
∴；
（3）解：当时，
当时，直线平分四边形的面积，
∴，
∴，
当时，
当时，直线平分四边形的面积，
∴，
∴，
综上所述，或时，直线平分四边形的面积；
（4）∵当
，
点P在上，点Q在上，
①当四边形为菱形时，
此时，
∴，
∴，
②当四边形为菱形时，
此时，
∴，
∴，
∴这种情况不存在，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．
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