南京秦淮外国语学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份南京秦淮外国语学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

南京秦淮外国语学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题
一、选择题：（每题2分，共计12分）
1. 下列计算正确的是(　　)
A. 2a+a2=3a3 B. a6÷a2=a3 C. (a2)3=a6 D. 3a2-2a=a2
2. 下列图形中∠1与∠2是同位角的是（ ）
A B. C. D.
3. 若从长度分别为2 cm、3 cm、4 cm、6 cm的四根木棒中，任意选取三根首尾顺次相连搭成三角形，则搭成的不同三角形共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
5. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （ ）

A. 28 B. 32 C. 30 D. 29
二、填空题：（每题2分，共计20分）
7. 小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.000175秒，将这个数字用科学记数法表示为________．
8. 命题：“对顶角相等”的逆命题是_____________________________．
9. 已知BD、CE是△ABC的两条角平分线，且∠A＝50°，则BD、CE所夹的锐角是________°．
10. 若∠A与∠B一组边平行，另一组边垂直，且∠A＝80°，则∠B的度数为________．
11. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=23°，那么∠2=______°．

12. 一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为_______
13. 如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝83°，要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转________度．

14. 若，则x的值为________．
15. 如图，在四边形中，， 、分别是，上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点，若有两个角相等，则___．

16. 如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①ABCD；②∠AEB＋∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠MAF＋∠NDA＝135°；⑤∠F＝135°，其中正确的有________（填写序号）

三、解答题：
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．

（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格，请在图中画出平移后的；
（2）利用网格线在图中画出△ABC的中线CD，高BE；
（3）的面积为 ；AC扫过的面积是 ．
19. 已知：如图，AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE=40°，求∠BHF的度数．

20. （1）已知，，
①求的值．
②求的值．
（2）2x－5y－3＝0 ，则＝ ．
21. 如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：．

解：∵，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴（ ）
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ．
（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．
22. 请用文字语言叙述三角形内角和定理，并给出证明．
定理内容： ．
23. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数．

24 根据题意解答：

（1）如图1，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，，若∠ECA为度，求∠GFB的度数（用关于的代数式表示），并说明理由．
（2）如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1＋∠2的度数，并说明理由．
（3）如图3，若∠3＝40°，∠5＝50°，∠7＝70°，则∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＝ 度．
25. 如果三角形的两个内角与满足2+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

（1）如图①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分线．
求证：ABD是“准直角三角形”．
（2）关于“准直角三角形”，下列说法：
①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则ABC是“准直角三角形”；
②若ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 　 　．（填写序号）
（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
26. 如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．

（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °；
（2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
（3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．
（4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ．
答案与解析
一、选择题：（每题2分，共计12分）
1. 下列计算正确的是(　　)
A. 2a+a2=3a3 B. a6÷a2=a3 C. (a2)3=a6 D. 3a2-2a=a2
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，可判断A、D，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的乘方，可判断C．
【详解】A、不是同类项不能合并，故A错误；
B、底数不变指数相减，故B错误；
C、底数不变指数相乘，故C正确；
D、不是同类项不能合并，故D错误；
故选C．
【点睛】本题考查了幂的运算，根据法则计算是解题关键．同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.
2. 下列图形中∠1与∠2是同位角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】解：根据同位角的定义，可得D选项中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而A选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的内错角，
B选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，
C选项中，与不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同位角的定义，解题时注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．
3. 若从长度分别为2 cm、3 cm、4 cm、6 cm的四根木棒中，任意选取三根首尾顺次相连搭成三角形，则搭成的不同三角形共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形．
【详解】三角形三边可以为：①2cm、3cm、4cm；②3cm、4cm、6cm．
所以，可以围成的三角形共有2个．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4. 如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设这个正多边形的边数为n，由“如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是7：2”，得出此多边形的外角和为（n-2）×180°，又根据多边形的外角和为360°，由此列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得：（n-2）×180=360，
解得：n=9，
故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式及多边形的外角和是360°是解题的关键．
5. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行的性质、互余的定义、直角的定义、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意；
②等角的余角相等的逆命题为余角相等的两个角相等，正确，是真命题，符合题意；
③直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题，不符合题意；
④相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，符合题意；
综上分析可知，真命题有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、互余的定义、直角的定义及对顶角的知识，难度不大．
6. 如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （ ）

A. 28 B. 32 C. 30 D. 29
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，来计算．设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，根据BE=4EC，D为AB中点，找到相关等量关系，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可求解．
【详解】设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，
∵BE=4EC，
∴根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，
有：，，
∴，
∵D为AB中点，
∴，，
∵，，
∴，即，
∵四边形BEFD面积为14，
∴，
∴，解得，
∵△ABC的面积为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要主要考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，确定等量关系是解答本题的关键．
二、填空题：（每题2分，共计20分）
7. 小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.000175秒，将这个数字用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将数0.000175用科学记数法表示正确的是，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8. 命题：“对顶角相等”的逆命题是_____________________________．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
【详解】解：命题“对顶角相等”逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
9. 已知BD、CE是△ABC的两条角平分线，且∠A＝50°，则BD、CE所夹的锐角是________°．
【答案】65
【解析】
【分析】由三角形内角和得∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A＝130°，根据角平分线定义得∠1＋∠2＝（∠ABC＋∠ACB），进而得到∠BOC的度数，即可得到∠BOE的度数．
【详解】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A＝130°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB＝（∠ABC＋∠ACB）＝65°，
∴∠BOC＝180°−65°＝115°，
∴∠BOE＝180°−115°＝65°．
故答案为：65°．

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键．
10. 若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A＝80°，则∠B的度数为________．
【答案】170°或10°
【解析】
【分析】首先由两个角的两边分别平行，另一组边互相垂直，分两种情况画出图形，根据两直线平行同旁内角互补，两直线平行同位角相等，以及垂直的定义，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】解：如图所示：

∵，
∴∠1=∠A＝80°，
∵AC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴，
∴；
如图所示：

∵AE∥BF，
∴∠1=∠A＝80°，
∵AC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴；
综上所述，∠B的度数为170°或10°．
故答案为：170°或10°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及垂直的定义，本题容易丢解，分类讨论是关键．
11. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=23°，那么∠2=______°．

【答案】67
【解析】
【详解】解：
∵∠1=23°，
∴∠3=90°-23°=67°.
∵a∥b
∴∠1=∠3＝67°.
12. 一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为_______
【答案】14
【解析】
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，
故第三边是6．
∴该三角形的周长是：2+6+6=14．
故答案为：14．
【点睛】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定第三边的长．
13. 如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝83°，要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转________度．

【答案】13
【解析】
【分析】反向推理，若OD旋转到时，则，求，进而解决此题．
【详解】解：若OD旋转到时，则，
∵，
∴，
∴，
∴要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转13度．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定，是解决本题的关键．
14. 若，则x的值为________．
【答案】3或1或-1
【解析】
【分析】分底数为1或-1，指数为0几种情况，分类讨论，列方程求解即可．
【详解】解：当，解得：，
此时，
当，解得：，
此时，
当，解得：，此时，
综上所述：的值为：3或1或-1．
故答案为：3或1或-1．
【点睛】本题考查了乘方的性质、0指数的性质，解题关键是根据底数和指数进行分类讨论，注意：0指数底数不为0．
15. 如图，在四边形中，， 、分别是，上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点，若有两个角相等，则___．

【答案】40或50
【解析】
【分析】根据题意分类讨论计算即可.
【详解】解：①当∠GFE=∠FGE=∠EFC=α时，
∠FED=2α，∠EFC=α，
故3α=360°-210°，
可得∠EFG=50°.
②当∠FEG=∠FGE=α时，
180°-2α+180°-α=360°-210°，
故α=70°，
故∠EFG=40°.
故答案为40°或50°.
【点睛】本题考查多边形内角和，解题关键是能够正确列出角度之间的转换关系.
16. 如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①ABCD；②∠AEB＋∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠MAF＋∠NDA＝135°；⑤∠F＝135°，其中正确的有________（填写序号）

【答案】①③⑤
【解析】
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：标注角度如图所示：

∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴ABCD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵AE⊥DE
∴∠4+∠3=90°，
又∵∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵ABCD
∴∠MAD＋∠NDA＝180°
即∠MAF＋∠FAD ＋∠NDA＝180°
∴∠MAF＋∠NDA＝180°-∠FAD
∵∠FAD大小不确定，
∴∠MAF＋∠NDA不是定值，故④错误．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180°-45°=135°，故⑤正确．
故答案是：①③⑤．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
三、解答题：
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）-7
【解析】
【分析】（1）利用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方运算，再合并即可求解；
（2）根据有理数的乘方、零次幂、有理数的乘法和减法可以解答本题．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：

=-7．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键，还考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．
18. 画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．

（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格，请在图中画出平移后的；
（2）利用网格线在图中画出△ABC的中线CD，高BE；
（3）的面积为 ；AC扫过的面积是 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）8；12
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质先作出△ABC向左平移8格，再向下平移1格后，点、、，然后顺次连接即可；
（2）找出AB的中点D，连接CD即可得出中线，延长AC，连接BN，交CM于一点，该点为点E，即可画出高线BE；
（3）根据网格得出底和高，然后根据三角形面积公式即可求出的面积；用割补法求出平行四边形的面积，即可求出AC扫过的面积．
【小问1详解】
解：即为所求，如图所示：
【小问2详解】
解：中线CD，高线BE即为所求，如图所示：
【小问3详解】
解：连接，，如图所示：

，
，
∴AC扫过的面积为12．
故答案为：8；12．
【点睛】本题主要考查格点作图和三角形面积求法，利用好格点画出垂线，得出底和高是解题的关键．
19. 已知：如图，AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE=40°，求∠BHF的度数．

【答案】
【解析】
【分析】先根据对顶角相等求出∠HGF的度数，再由平行线的定义得出∠DFG的度数，根据角平分线的性质得出∠HFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠EGB=180°-∠AGE=180°-40°=140°．
又∵FH平分∠EFD，
∴
又∵AB∥CD，
∴，
∴
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
20. （1）已知，，
①求的值．
②求的值．
（2）2x－5y－3＝0 ，则＝ ．
【答案】（1）①4；②；（2）8
【解析】
【分析】（1）①逆用幂的乘方公式进行计算即可；②逆用幂的乘方和同底数幂的除法进行计算即可；
（2）根据2x－5y－3＝0得出，再根据幂的乘方和同底数幂的除法进行计算即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴．
②∵，，
∴．
（2）∵2x－5y－3＝0，
∴，
∴





故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了利用整式运算公式进行计算，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的除法法则，是解题的关键．
21. 如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：．

解：∵，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴（ ）
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ．
（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．
【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等
【解析】
【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明；
（1）根据上面的推理过程得出结论即可；
（2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题．
【详解】解：∵，（已知）
∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等），
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知），
∴∠EMN=∠AMN，
∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义），
∴∠EMN=∠FNM（等量代换）
∴，（内错角相等两直线平行）．
故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行．
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行；
故答案为：内错；平行．
（2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行．
22. 请用文字语言叙述三角形内角和定理，并给出证明．
定理内容： ．
【答案】三角形的内角和为180°，证明见解析
【解析】
【分析】可以把三角形三个角转移到一个平角上，利用平角的性质解答．
【详解】解：定理：三角形的内角和是180°；
已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C；
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：过点A作直线MN，使MNBC．

∵MNBC，
∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC，
∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°，
即∠BAC+∠B+∠C=180°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°，利用平行线的性质是解题关键．
23. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数．

【答案】（1）60°；（2）20°
【解析】
【分析】（1）由题意根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）由题意根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，进而根据三角形的内角定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG＝90°，
∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE＝40°+30°＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝20°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理与垂直的定义以及角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
24. 根据题意解答：

（1）如图1，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，，若∠ECA为度，求∠GFB的度数（用关于的代数式表示），并说明理由．
（2）如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1＋∠2的度数，并说明理由．
（3）如图3，若∠3＝40°，∠5＝50°，∠7＝70°，则∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＝ 度．
【答案】（1）∠GFB＝90°−α；理由见解析
（2）∠1＋∠2＝270°
（3）160
【解析】
【分析】（1）根据平角定义表示∠ECB＝180°−α，由角平分线定义得：∠DCB＝90°−α，最后根据平行线性质得结论；
（2）作平行线，根据平行线的性质得：∠BAE＝∠ABH＝90°和∠1＋∠CBH＝180°，所以∠1＋∠2＝∠1＋∠CBH＋∠ABH＝270°；
（3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和360°列式后可得结论．
【小问1详解】
解：∵∠ACE＝α，
∴∠ECB＝180°−α，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB＝∠ECB＝（180°−α）＝90°−α，
∵，
∴∠GFB＝∠DCB＝90°−α．
【小问2详解】
解：过B作，如图所示：

∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝∠ABH＝90°，
∵，
∴，
∴∠1＋∠CBH＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠1＋∠CBH＋∠ABH＝180°＋90°＝270°．
【小问3详解】
解：延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形，

由三角形外角定理得：∠9＝∠1＋∠2，
∠BAC＝∠9＋∠8＝∠1＋∠2＋∠8，
∵∠5＝50°，∠7＝70°，
∴，，
∴，
∴，
∵∠3＝40°，
∴∠AFE＝140°，
∵∠BAC＋∠4＋180°−∠GDH＋140°＝360°，
∴∠BAC＋∠4−∠GDH＝40°，
∴∠1＋∠2＋∠4＋∠8−120°＋∠6＝40°，
∴∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＝160°，
故答案为：160．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，构建恰当的辅助线是解答本题的关键；熟练掌握外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知道四边形的内角和为360°．
25. 如果三角形的两个内角与满足2+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

（1）如图①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分线．
求证：ABD是“准直角三角形”．
（2）关于“准直角三角形”，下列说法：
①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则ABC是“准直角三角形”；
②若ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 　 　．（填写序号）
（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
【答案】（1）见解析 （2）①③
（3）当，，，时，ABP满足条件，是“准直角三角形”．
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABD，只要再证明2∠ABD+∠A=90°，即可判断．
（2）根据“准直角三角形”的定义即可判断．
（3）根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【小问1详解】
证明：如图①中，
∵在RtABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∴2∠ABD+∠A＝90°，
∴ABD是“准直角三角形”．
【小问2详解】
解：①∵∠B=70°，∠C=10°，
∴∠B+2∠C=90°，
∴ABC是“准直角三角形”．故①正确．
②∵∠C＞90°，∠A＝60°+2∠B＝100°
∴显然ABC不符合条件，故②错误，
③∵三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，
∴α+β＜90°，
∴三角形第三个角大于90°，
∴“准直角三角形”一定是钝角三角形，故③正确．
故答案为①③．
【小问3详解】
解：如图②中，
当时，则，
此时+2，符合题意；
同理可求，，时，ABP满足条件，是“准直角三角形”．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
26. 如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．

（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °；
（2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
（3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．
（4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ．
【答案】（1）80，40
（2）∠A=∠O；理由见解析
（3）∠ACB=60°；
（4）120°
【解析】
【分析】（1）由三角形内角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形内角和定理即可求出结论；
（2）由题中角平分线可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC，进而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出结论；
（3）AC与BO交于点E，由OCAB，证得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，进而证得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可证得结论；
（4）连接，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵∠ABC=66°，∠ACB=34°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC=33°，∠OCD=（180°-34°）=73°，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°，
故答案为：80、40；
【小问2详解】
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACD，
如图，AC与BO交于点E，

∵∠AEB=∠CEO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACD，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠A+∠ABO，
∴∠A=∠O；
【小问3详解】
解：如图，AC与BO交于点E，

∵OCAB，
∴∠ABO=∠O，
∵AC⊥BO，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABO=90°，
∴2∠O+∠O=90°，
∴∠O=30°，
∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°，
∴∠ACB=60°；
【小问4详解】
解：如图，连接，

∵平分∠ABC，平分∠ACB，
∴=∠ABC，=∠ACB，
∵=120°，
∴=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴，，
∵∠1=，∠2=，
∴∠1+∠2=2=2∠BAC=2×60°=120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．