南通市崇川区启秀中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份南通市崇川区启秀中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

南通市崇川区启秀中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题
一、选择题（每题3分，共18分）
1. 下列说法：①都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 若的小数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
3. 如果+有意义，那么代数式|x－1|+的值为（ ）
A. ±8 B. 8
C. 与x的值无关 D. 无法确定
4. 下列结论正确的是(　　)
A. 不相交的两条直线叫做平行线
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
5. 一个点的横、纵坐标都是整数，并且他们的乘积为，满足条件的点共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2019次相遇地点的坐标是（　　）

A. （1，﹣1） B. （2，0） C. （﹣1，1） D. （﹣1，﹣1）
二、填空题（每题2分，共20分）
7 已知，则________________
8. 2a﹣3与5﹣a是同一个正数x的平方根，则x＝_____．
9. 如图，已知，将直线平行移动到直线位置，则__

10. 如图，点坐标为，，、分别交轴和轴于点和点，则四边形的面积为___．

11. 已知，与的度数之比为，则等于___．
12. 如图，将一个矩形纸片沿折叠，若，则的度数为_______．

13. 已知的平方根是，的算术平方根是5，则的立方根是 __．
14. 在平面直角坐标系中，为原点，，．若且，则点坐标是__．
15. 设，是有理数，且，满足等式，则__．
16. 对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[72]＝8[]＝2[2]＝1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是__________．
三、简答题（共62分）
17. 解方程
（1）；
（2）．
18. 利用网格画图，每个小正方形边长均为1

（1）过点C画AB的平行线CD；
（2）仅用直尺,过点C画AB的垂线，垂足为E；
（3）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段______最短，理由___________．
（4）直接写出△ABC的面积为 _________．
19. 定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数.
若，则[x]=x-2:若x<0，则[x]=x+2.例：[1]=1-2=-1，[-2]=-2+2=0
（1）求[]，[-1]值；
（2）已知有理数a>0.b<0，且满足[a]=[b]，试求代数式值：
（3）解方程：[2x]+[x+1]=1
20. 在直角坐标平面内，为坐标原点，已知，，将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点．
（1）点的坐标为 ；
（2）求的面积；
（3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
21. 已知，如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°
（1）判断BD和CE的位置关系并说明理由；
（2）判断AC和BD是否垂直并说明理由．

22. 天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离（单位：）可用公式来估计，其中h（单位：m）是眼睛离海平面的高度．

（1）如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
（2）若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的3倍，已知眼睛到脚底的高度为1.5米，求观望台离海平面的高度？
（3）如图，货轮与观望台相距35海里，如何用方向和距离描述观望台相对于货轮的位置 ．
23. 已知实数，，满足等式，．
（1）若，求的值；
（2）若实数，求的平方根．
24. 如图，已知直线．

（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若，，则______；
（2）如图2，若FN平分，延长GE交FN于点M，EM平分，当时，求的度数；
（3）如图3，直线MF平分，直线NE平分相交于点H，试猜想与的数量关系，并说明理由．



答案与解析
一、选择题（每题3分，共18分）
1. 下列说法：①都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据立方根的定义和性质逐一判断即可.
【详解】解：一个数的立方根只有一个，故①不对；
，所以②是正确的；
，8的立方根是2，所以③是正确的；
，所以④不对；
综上，只有②③正确，故选B.
【点睛】本题考查了实数的立方根，熟知立方根的定义是判断的关键.
2. 若的小数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．
【详解】解：，
，
．，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3. 如果+有意义，那么代数式|x－1|+的值为（ ）
A. ±8 B. 8
C. 与x的值无关 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【详解】∵+有意义,
∴x-1≥0,9-x≥0,解得:1≤x≤9,
∴|x－1|+=x-1+9-x=8,故选B.
4. 下列结论正确的是(　　)
A. 不相交的两条直线叫做平行线
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行公理及推论，可得答案．
【详解】解：A、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，故A不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B不符合题意；
C、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C不符合题意；
D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行公里及推论，熟记平行公里及推论是解题关键．
5. 一个点的横、纵坐标都是整数，并且他们的乘积为，满足条件的点共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】设这个点的坐标为（a，b），则ab=6，然后根据a、b都是整数进行求解即可．
【详解】解：设这个点的坐标为（a，b），
由题意得ab=6，
∴，
∵a、b都是整数，
∴当b=6时，a=1，
当b=3时，a=2，
当b=2时，a=3，
当b=1时，a=6，
当b=－6时，a=－1，
当b=－3时，a=－2，
当b=－2时，a=－3，
当b=－1时，a=－6，
∴一共有8个点满足题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了坐标系中各象限内点的坐标符号，正确理解题意是解题的关键．
6. 如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2019次相遇地点的坐标是（　　）

A. （1，﹣1） B. （2，0） C. （﹣1，1） D. （﹣1，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】如图所示，

由题意可得：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，
由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2019÷3=673，
∴两个物体运动后的第2019次相遇地点的是A点，
此时相遇点的坐标为：（2，0）.
故选B.
【点睛】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
二、填空题（每题2分，共20分）
7. 已知，则________________
【答案】
【解析】
【分析】当被开方数的小数点向右或向左每移动3位，立方根的小数点就向右或向左移动一位，根据以上规律即可求解．
【详解】解：∵，
∴0.06993，
故答案为：0.06993．
【点睛】此题考查立方根应用，能理解立方根的移动规律是解题的关键．
8. 2a﹣3与5﹣a是同一个正数x的平方根，则x＝_____．
【答案】49或
【解析】
【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数，求出a的值，即可确定出x的值．
【详解】解：∵2a﹣3与5﹣a是同一个正数x的平方根，
∴2a﹣3+5﹣a＝0或2a﹣3＝5﹣a，
解得：a＝﹣2或，
则或．
故答案为：49或．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
9. 如图，已知，将直线平行移动到直线的位置，则__

【答案】110
【解析】
【分析】延长，交直线于点．根据平行线的性质得出，再利用三角形外角的性质以及对顶角相等的性质即可求出．
【详解】解：如图，延长，交直线于点．
（平移的性质），
，
，，
．
故答案为110．

【点睛】本题主要考查了平移的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
10. 如图，点坐标为，，、分别交轴和轴于点和点，则四边形的面积为___．

【答案】9
【解析】
【分析】过分别作轴和轴的垂线，交轴和轴与和，构造全等三角形、正方形；所以．
【详解】解：过分别作轴和轴的垂线，交轴和轴于点和．

点坐标为，
；
又，
；
又，
，
在和中

，
，
，
即．
故答案是：9．
【点睛】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积、三角形全等的判定及性质．解题的关键是，利用了“割补法”的思想求四边形的面积．
11. 已知，与的度数之比为，则等于___．
【答案】或
【解析】
【分析】根据垂直定义知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解．
【详解】解：，
，
，即∠AOB：90°=3：5,
．
分两种情况：
①当OB在内时，如图，

∴；
②当OB在外时，如图，

∴．
故答案是：或．
【点睛】本题考查垂直定义，角的和差运算，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
12. 如图，将一个矩形纸片沿折叠，若，则的度数为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，根据折叠可得，然后再算的度数即可．
【详解】解：如图，

，
，
由折叠得：，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
13. 已知的平方根是，的算术平方根是5，则的立方根是 __．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平方根和算术平方根的概念列方程求得和的值，然后代入求得其立方根即可．
【详解】解：的平方根是，的算术平方根是5，
，，
解得：，，
，
的立方根是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键．
14. 在平面直角坐标系中，为原点，，．若且，则点的坐标是__．
【答案】或##（-1,2）或（-5,2）
【解析】
【分析】直接利用已知画出图形，再利用且得出点位置．
【详解】解：如图所示：

，，且，
点坐标是：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，正确分情况讨论是解此题的关键．
15. 设，是有理数，且，满足等式，则__．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题中等式列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，即可求出所求．
【详解】解：，是有理数，且，满足等式，
，
解得：，
则原式


．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了实数的性质，二元一次方程组的应用，掌握实数的性质构造二元一次方程组是解题的关键．
16. 对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[72]＝8[]＝2[2]＝1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据可用[a]表示不超过a的最大整数，反推回去每次求最大整数可得答案．
【详解】∵表示不超过a的最大整数
∴设，则a的最大值为
∵第三次结果为1，
∴此时最大
∴第二次结果为3
∵
∴第一次最大结果为15
∵，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，反推是解题的关键．
三、简答题（共62分）
17 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据立方根的定义即可求出答案．
（2）根据平方根的定义即可求出答案．
【小问1详解】
（，
，
，
，
，
∴；
【小问2详解】
，
，
，
，
或，
∴或．
【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．
18. 利用网格画图，每个小正方形边长均为1

（1）过点C画AB的平行线CD；
（2）仅用直尺,过点C画AB的垂线，垂足为E；
（3）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段______最短，理由___________．
（4）直接写出△ABC的面积为 _________．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）CE，垂线段最短；（4）8．
【解析】
【分析】(1)取点D作直线CD即可;
(2)取点F作直线CF交AB与E即可;
(3)根据垂线段最短即可解决问题;
(4)用割补法，大长方形的面积减去三个小三角形的面积即可;
【详解】解：
（1）直线CD即为所求；
（2）直线CE即为所求；
（3）在线段CA、CB、CE中，线段CE最短，理由：垂线段最短；
故答案为CE，垂线段最短；
（4） S△ABC=18﹣×1×5﹣×1×3﹣×2×6=8，
∴△ABC的面积为8.
【点睛】本题主要考查垂线、平行线及其做图，注意作图的准确性.
19. 定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数.
若，则[x]=x-2:若x<0，则[x]=x+2.例：[1]=1-2=-1，[-2]=-2+2=0
（1）求[]，[-1]的值；
（2）已知有理数a>0.b<0，且满足[a]=[b]，试求代数式的值：
（3）解方程：[2x]+[x+1]=1
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】（1）利用题中新定义计算即可得到结果
（2）根据已知条件及新定义计算得到，对原式化简整理再整体代入计算即可；
（3）分三种情况讨论：；；
【详解】（1）[][-1]；
（2）∵a>0.b<0，且满足[a]=[b]，
∴，即：
∴


；
（3）当时：
∴，符合题意，∴
当时：
∴，不在之中，不符合题意，舍去；
当时：
∴，符合题意，∴
综上方程的解是：或.
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、整式的加减及有理数的混合运算，第(3)小题解题的关键是掌握分类讨论的方法.
20. 在直角坐标平面内，为坐标原点，已知，，将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点．
（1）点的坐标为 ；
（2）求的面积；
（3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）4 （3）或或或
【解析】
【分析】（1）根据平移中点的变化规律求解即可；
（2）过点作轴于，根据列式计算即可；
（3）分点在轴上与点在轴上两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：，将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点．
点的坐标为，即．
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，过点作轴于．
∴


；
【小问3详解】
解：①当点在轴上时，
，
，
，
或；
②当点在轴上时，
，
又，
或．
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了点的平移，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．
21. 已知，如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°
（1）判断BD和CE的位置关系并说明理由；
（2）判断AC和BD是否垂直并说明理由．

【答案】(1) BD∥CE,理由见解析;(2) AC⊥BD,理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据平行线性质得出∠ABC=∠DCF，根据角平分线定义求出∠2=∠4，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线性质得出∠DGC+∠ACE=180°，根据∠ACE=90°，求出∠DGC=90°，根据垂直定义推出即可．
【详解】(1)BD∥CE.
理由：如图，

因为AB∥CD，
所以∠ABC＝∠DCF.
因为BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，
所以∠2＝∠ABC，∠4＝∠DCF，
所以∠2＝∠4，
所以BD∥CE(同位角相等，两直线平行)．
(2)AC⊥BD.
理由：因为BD∥CE，所以∠DGC＋∠ACE＝180°.
因为∠ACE＝90°，所以∠DGC＝180°－90°＝90°，即AC⊥BD.
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定，垂直定义等知识点，注意：①同位角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．
22. 天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离（单位：）可用公式来估计，其中h（单位：m）是眼睛离海平面的高度．

（1）如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
（2）若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的3倍，已知眼睛到脚底的高度为1.5米，求观望台离海平面的高度？
（3）如图，货轮与观望台相距35海里，如何用方向和距离描述观望台相对于货轮的位置 ．
【答案】（1）能看到远
（2）观望台离海平面的高度为米
（3）南偏西60方向，相距35海里
【解析】
【分析】（1）求出时的值即可得；
（2）求出时值，再减去1.5米即可得答案；
（3）根据方位角定义可得．
【小问1详解】
解：当时，，
（舍或，
答：当眼睛离海平面的高度是时，能看到远；
【小问2详解】
解：当时，可得，
解得，
则观望台离海平面的高度为米；
【小问3详解】
解：观望台A在货轮的南偏西60方向，相距35海里位置，
故答案为：南偏西60方向，相距35海里．
【点睛】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题关键．
23. 已知实数，，满足等式，．
（1）若，求的值；
（2）若实数，求的平方根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入已知的两个等式，列出关于，的二元一次方程组进行计算即可；
（2）由二次根式被开方数的非负性得出，从而得，然后代入已知的两个等式中，列出关于与的二元一次方程组进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：当时，可列方程组：
，
①②得：
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
把代入等式，中并化简，
可得：，
①得：③，
③②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：，
，
，
，
，
的平方根是：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根，解三元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质与二次根式的双重非负性、加减消元法和代入消元法．
24. 如图，已知直线．

（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若，，则______；
（2）如图2，若FN平分，延长GE交FN于点M，EM平分，当时，求的度数；
（3）如图3，直线MF平分，直线NE平分相交于点H，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）45° （2）
（3）∠EGF＝2∠EHF；理由见解析
【解析】
【分析】（1）过G作，依据，即可得到∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，进而得出∠2的度数；
（2）过G作，过N作，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠AEN的度数；
（3）过H作，过G作，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠G与∠H的数量关系．
【小问1详解】
解：过G作，如图所示：

∵，
∴，
∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，
∴∠1＋∠2＝∠EGF，即30°＋∠2＝75°，
∴∠2＝45°．
故答案为：45°．
【小问2详解】
∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，
∴可设∠AEM＝∠NEM＝α，∠CFN＝∠GFN＝β，
过G作，过N作，

∵，
∴，
∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AEN＝2α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°−2β，
∴∠FNE＝∠QNF-∠QNE＝β−2α，∠FGE＝∠PGE＋∠PGF＝α＋180°−2β，
又∵∠FNE＋∠FGE＝54°，
∴β−2α＋（α＋180°−2β）＝54°，
∴α＝24°，
∴∠AEN＝2α＝48°．
【小问3详解】
猜想：∠G＝2∠H．理由：
∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG，
∴可设∠AEN＝∠NEG＝α，∠CFM＝∠GFM＝β，
过H作，过G作，如图所示：

∵，
∴，
∴∠QGE＝∠AEG＝2α，∠QGF＝∠CFG＝2β，∠PHM＝∠CFM＝β，∠PHN＝∠AEN＝α，
∴∠EGF＝∠QGE−∠QGF＝2α−2β，∠EHF＝∠PHN−∠PHM＝α−β，
∴∠EGF＝2∠EHF．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角或同位角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．