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七年级数学下册专题01 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型）
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这是一份七年级数学下册专题01 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型），共41页。
专题01 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型）
专题说明
几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的。现在初一的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决实际问题，会起到事半功倍的效果。本次课主要学习平行线模型-“猪蹄”模型（M模型），为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型一“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2021秋•船山区期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．请利用所学知识解决问题：
（1）探究证明：如图1，试探究∠MGN与∠AMG、∠CNG之间有什么数量关系，并说明理由．
（2）拓展应用：如图2，若∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P，请直接写出∠MGN与∠MPN之间的数量关系．
（3）迁移提升：如图3，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，请直接写出∠MGN+∠MPN的度数．
【变式1-1】（2021秋•九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．
【变式1-2】（2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．则∠EPF＝ ；
（2）【问题归纳】如图1，若AB∥CD，请猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？直接写出结论．
【变式1-3】（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
【典例2】（2021秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【变式2】（2021秋•平顶山期末）（1）如图1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接写出∠BED的度数．
（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接写出∠BED的度数．
【夯实基础】
1．（2022秋•阳曲县校级期末）如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（ ）
A．45° B．60° C．73° D．90°
2．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2
3．（2022秋•肃州区校级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为 ．
4．如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠AEC的度数是 ．
5．（2022春•交城县期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠BAM＝45°，∠DCM＝37°，求∠AMC的度数．
（1）请你用两种不同的方法解答这个问题；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点M在直线BD上运动，∠BAM＝∠α，∠DCM＝∠β．
①当点M在线段BD上运动时（不与点B，D重合），∠AMC、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②如果点M在线段BD之外运动时，请你直接写出∠AMC、∠α、∠β之间的数量关系．
6．（2022春•西城区校级期中）如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC；
（3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）．
7．（2021秋•叙州区期末）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度数；
（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，试求∠BED的度数（用含m、n的代数式表示）．
8．（2022春•崇川区期中）已知AB∥CD，连接A，C两点．
（1）如图1，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC等于 度；
（2）如图2，点M在射线AB反向延长线上，点N在射线CD上．∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．若∠AMN＝45°，∠ACN＝70°，求∠MEC的度数；
（3）如图3，图4，M，N分别为射线AB，射线CD上的点，∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．设∠AMN＝α，∠ACN＝β（α≠β），请直接写出图中∠MEC的度数（用含α，β的式子表示）．
【能力提升】
9．（2022秋•道里区校级月考）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
（I）如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ．
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DBA＝5∠ACE，∠PAG＝30°，求证AB⊥AC；
（3）点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG＝∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．
10．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
（3）如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM＝∠N，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
11．（2021秋•桐柏县期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上．
（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝ ；
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°．
①如图2，当点B在点A的右侧时，求∠AEC的度数；
②如图3，当点B在点A的左侧时，直接写出∠AEC的度数．
12．（2022春•江岸区校级月考）如图，AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠MON＝90°．
（1）求∠1+∠2的值；
（2）如图2，直线EF交∠BMO、∠CNO的角平分线分别于点F、E，求∠NEF﹣∠MFE的值；
（3）如图3，∠AMP＝n∠OMP，∠DNQ＝n∠ONQ，若∠P﹣∠Q＝t°，则n＝ （用t表示）．
13.（2022春•双流区校级期中）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
①若∠H＝20°，∠END＝75°，则∠MEN的度数为 ；
②探究∠MEN与∠MHN的数量关系，并给予证明；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度数．
专题01 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型）
专题说明
几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的。现在初一的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决实际问题，会起到事半功倍的效果。本次课主要学习平行线模型-“猪蹄”模型（M模型），为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型一“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2021秋•船山区期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．请利用所学知识解决问题：
（1）探究证明：如图1，试探究∠MGN与∠AMG、∠CNG之间有什么数量关系，并说明理由．
（2）拓展应用：如图2，若∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P，请直接写出∠MGN与∠MPN之间的数量关系．
（3）迁移提升：如图3，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，请直接写出∠MGN+∠MPN的度数．
【解答】解：（1）∠MGN＝∠AMG+∠CNG，理由如下：
如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，GH∥AB，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∴∠MGN＝∠HGM+∠HGN＝∠AMG+∠CNG；
（2）∠MPN＝∠MGN，理由如下：
由（1）得∠MPN＝∠AMP+∠CNP，∠MGN＝∠AMG+∠CNG，
∵∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P，
∴∠AMP＝∠AMG，∠CNP＝∠CNG，
∴∠MPN＝∠AMP+∠CNP
＝∠AMG+∠CNG
＝（∠AMG+∠CNG）
＝∠MGN，
即∠MPN＝∠MGN；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝30°+α，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
即∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝60°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°，
即∠MGN+∠MPN的度数是90°．
【变式1-1】（2021秋•九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．
【解答】解：过点C作CF∥BA，如图，
∵CF∥BA，
∴∠BCF＝∠B＝30°，
∵BA∥DE，CF∥BA，
∴CF∥DE．
∵∠D＝40°，
∴∠FCD＝∠D＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．
【变式1-2】（2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．则∠EPF＝ ；
（2）【问题归纳】如图1，若AB∥CD，请猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？直接写出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠BEP＝25°，∠2＝∠PFD＝30°，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝25°+30°＝55°．
故答案为：55°；
（2）∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
理由如下：如图1，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠BEP，∠2＝∠PFD，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD；
（3）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，
理由如下：如图2，过P点作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠FPN＝∠NPE+∠EPF＝∠PEA+∠EPF．
【变式1-3】（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，
∴∠BGM＝2×25°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠GPH＝∠BGM＝50°；
②如图1，过点O作ON∥AB，
则∠MON＝∠BOM＝50°，
∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，
∴∠EHD＝∠BGE＝75°，
∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，
∵AB∥CD，ON∥AB，
∴ON∥CD，
∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，
∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；
（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：
如图2，过点Q作QN∥AB，
则∠GQN＝∠AGQ，
∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，
∴∠AGS＝2∠FGS，
∵GQ平分∠AGP，
∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，
∵AB∥CD，
∴∠GIH＝∠IHC，
∵HQ平分∠IHC，
∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，
∵QN∥AB，AB∥CD，
∴QN∥CD，
∴∠NQH＝∠QHC，
∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，
∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．
【典例2】（2021秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，过点E作EH//AB，
∵AB//CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）如图3，过点E作EG//AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，
∴，，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EG，
∴，，
∴．
【变式2】（2021秋•平顶山期末）（1）如图1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接写出∠BED的度数．
（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接写出∠BED的度数．
【解答】解：（1）如图，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠ABE＝∠MEB，∠CDE＝∠MED，
∵∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，
∴∠MEB＝45°，∠MED＝21°，
∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝66°；
（2）∠BED＝2∠F，理由如下：
过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD，
∴∠5＝∠1+∠2，∠6＝∠3+∠4，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2＝∠1，∠3＝∠4，
∴∠BED＝2（∠2+∠3），
∵∠F+∠3＝∠BHD，∠BHD+∠2＝∠BED，
∴∠2+∠3+∠F＝∠BED，
∴∠BED＝∠BED+∠F，
∴∠BED＝2∠F；
（3）如图，延长DE交BF于点M，
则有∠BED＝∠EBM+∠BMD＝∠EBM+∠BFD+∠MDF，
∠BED＝∠EBG+∠BMD＝∠EDG+BGD+∠EBG，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠EBG＝2∠EBM，∠EDG＝2∠MDF，
∴∠BED＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，
∴∠EBM+∠BFD+∠MDF＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，
∴∠EBM+∠MDF+95°＝2（∠EBM+∠MDF）+60°，
∴∠EBM+∠MDF＝35°，
∴∠BED＝∠EBM+∠MDF+95°＝35°+95°＝130°．
【夯实基础】
1．（2022秋•阳曲县校级期末）如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（ ）
A．45° B．60° C．73° D．90°
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作直线c∥a，则∠1＝28°．
又∵a∥b，
∴c∥b，
∴∠2＝45°，
∴∠ACD＝28°+45°＝73°．
故选：C．
2．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2
【答案】D
【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．
故选：D．
3．（2022秋•肃州区校级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为 ．
【答案】94°
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，
∴∠APE＝∠CAP＝36°，
∵BD∥EF，∠DBP＝58°，
∴∠BPE＝∠DBP＝58°，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．
故答案为：94°．
4．如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠AEC的度数是 ．
【答案】110°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠A＝50°，
∵∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠C+∠ADC＝60°+50°＝110°．
故答案为：110°．
5．（2022春•交城县期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠BAM＝45°，∠DCM＝37°，求∠AMC的度数．
（1）请你用两种不同的方法解答这个问题；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点M在直线BD上运动，∠BAM＝∠α，∠DCM＝∠β．
①当点M在线段BD上运动时（不与点B，D重合），∠AMC、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②如果点M在线段BD之外运动时，请你直接写出∠AMC、∠α、∠β之间的数量关系．
【解答】解：（1）方法一：如图，过点M作MN∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝45°，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠CMN＝∠DCM＝37°，
∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝45°+37°＝82°．
方法二：如图，延长AM交CD于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEM＝∠BAM＝45°，
∵∠DCM＝37°，
∴∠CME＝180°﹣∠DCM﹣∠CEM＝98°，
∴∠AMC＝180°﹣∠CME＝82°，
（2）①∠AMC＝∠α+∠β．
如图，过点M作MN∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝∠α，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠CMN＝∠DCM＝∠β，
∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝∠α+∠β．
②当点M在点B的上方时：∠AMC＝∠β﹣∠α；
当点M在点B的下方时：∠AMC＝∠α﹣∠．
6．（2022春•西城区校级期中）如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC；
（3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）．
【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图2．∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；
（3）如图2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…
以此类推，∠En＝∠BEC，
∴当∠En＝α度时，∠BEC＝2nα°．
7．（2021秋•叙州区期末）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度数；
（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，试求∠BED的度数（用含m、n的代数式表示）．
【解答】解：（1）过E作EF∥AB，
∴ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝25°，
∴∠BEF＝25°，
∵a∥b，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵∠ADC＝70°，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝60°；
（2）∵EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝n°，
∴∠BEF＝，
∵a∥b，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵∠ADC＝m°，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠DEF＝m°，
∴∠DEF＝，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝，
即∠BED＝．
8．（2022春•崇川区期中）已知AB∥CD，连接A，C两点．
（1）如图1，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC等于 度；
（2）如图2，点M在射线AB反向延长线上，点N在射线CD上．∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．若∠AMN＝45°，∠ACN＝70°，求∠MEC的度数；
（3）如图3，图4，M，N分别为射线AB，射线CD上的点，∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．设∠AMN＝α，∠ACN＝β（α≠β），请直接写出图中∠MEC的度数（用含α，β的式子表示）．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AE，CE分别平分∠BAC，∠ACD，
∴∠CAE＝∠BAC，∠ACE＝∠ACD，
∴∠CAE+∠ACE＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝90°；
故答案为：90．
（2）如图2，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴FE∥CD，
∴∠BME＝∠MEF，∠FMC＝∠ECD，
∵ME，CE分别平分∠BMN，∠ACD，
∴∠BME＝∠BMN＝22.5°，∠ECD＝∠ACD＝35°，
∴∠MEC＝∠MEF+∠CEF＝22.5°+35°＝57.5°；
（3）①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴FE∥CD，
∴∠AME+∠MEF＝180°，
∵∠AME＝∠AMN＝α，
∴∠MEF＝180°﹣α，
∵∠ECD＝∠ACD＝β，
∴∠FEC＝∠ECD＝β，
∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝180°﹣α+β；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴FE∥CD，
∴∠AME＝∠MEF＝α，
∠FEC+∠ECD＝180°，
∵∠ECD＝∠ACD＝β，
∴∠FEC＝180°﹣β，
∴∠MEC＝∠MEF+∠CEF＝180°﹣β+α．
【能力提升】
9．（2022秋•道里区校级月考）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
（I）如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ．
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DBA＝5∠ACE，∠PAG＝30°，求证AB⊥AC；
（3）点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG＝∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．
【解答】（1）解：∠BAP＝∠PAG+∠ACE．
理由：如图1，∵AP平分∠BAC，DM∥FG∥EN，
∴∠BAP＝∠PAC，∠GAC＝∠ACE，
∴∠BAP＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE，
故答案为：∠BAP＝∠PAG+∠ACE．
（2）证明：如图2，∵DM∥FG∥EN，
∴∠DBA＝∠BAG，∠GAC＝∠ACE，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE，
∴∠DBA＝∠BAG＝∠BAP+∠PAG＝2∠PAG+∠ACE，
∵∠PAG＝30°，∠DBA＝5∠ACE，
∴5∠ACE＝∠ACE+60°，
∴∠ACE＝15°，
∴∠BAP＝∠PAG+∠ACE＝30°+15°＝45°，∠GAC＝15°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠PAG+∠GAC＝45°+30°+15°＝90°，
∵AB与AC都相交于直线FG上的A点，并且在同一平面内，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC
（3）解：所画图形如图3、图4所示，
设∠DBA＝x，
在图3中，∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝45°，
∵DM∥FG，
∴∠BAG＝∠DBA＝x，
∴∠PAG＝∠PAB+∠BAG＝45°+x，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAC＝90°﹣∠BAG＝90°﹣x，
∵∠PAG＝∠FAC，
∴45°+x＝90°﹣x，
解得：x＝22.5°，
∴∠DBA＝22.5°；
在图4中，，∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠P′AB＝∠P′AC＝∠BAC＝45°，
∵DM∥FG，
∴∠BAG＝∠DBA＝x，
∴∠P′AG＝∠BAG﹣∠P′AB＝x﹣45°，
∴∠PAG＝180°﹣∠P′AG＝180°﹣（x﹣45°）＝225°﹣x，
∵∠CAG＝90°﹣x，
∴∠FAC＝180°﹣∠CAG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x，
∵∠PAG＝∠FAC，
∴225°﹣x＝90°+x，
解得：x＝67.5°，
∴∠DBA＝67.5°；
综上所述，∠DBA的度数为22.5°或67.5°．
10．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
（3）如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM＝∠N，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
【解答】（1）证明：如图1，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（2）解：∴∠M+∠HQG＝180°，
理由：∵MH是∠CHG的平分线，
∴∠CHM＝∠MHG，
由（1）知∠M＝∠AGM+∠MHC，
∵∠MQG＝∠HGQ+∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M＝∠MQG，
∵∠MQG+∠HQG＝180°，
∴∠M+∠HQG＝180°．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠M＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
11．（2021秋•桐柏县期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上．
（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝ ；
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°．
①如图2，当点B在点A的右侧时，求∠AEC的度数；
②如图3，当点B在点A的左侧时，直接写出∠AEC的度数．
【解答】解：（1）∵直线l1∥l2，
∴∠ACD+∠CDB＝180°，
即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2
又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；
∵∠1＝23°，∠2＝34°，
∴∠3＝23°+34°＝57°，
故答案为：57°；
（2）∠3＝∠1+∠2，
理由：∵直线l1∥l2，
∴∠ACD+∠CDB＝180°，
即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2
又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；
（3）①过E点作EF∥l1∥l2，
∴∠AEF＝∠EAB，∠FEC＝∠ECD，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAB+∠ECD，
∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，
∴∠BAD＝∠β＝32°，∠BCD＝∠α＝74°，
∴∠EAB＝∠BAD＝×32°＝16°，
∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD＝16°+37°＝53°；
∴∠AEC的度数为53°；
②∠AEC的度数为：143°；
过E点作EF∥l1∥l2，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD，
∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，
∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°，
∴∠EAB＝∠BAD＝×148°＝74°，
∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，
∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°，
∴∠AEC的度数为143°．
12．（2022春•江岸区校级月考）如图，AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠MON＝90°．
（1）求∠1+∠2的值；
（2）如图2，直线EF交∠BMO、∠CNO的角平分线分别于点F、E，求∠NEF﹣∠MFE的值；
（3）如图3，∠AMP＝n∠OMP，∠DNQ＝n∠ONQ，若∠P﹣∠Q＝t°，则n＝ （用t表示）．
【解答】解：（1）过点O作OE∥AB，如图：
∵AB∥CD，
∴OE∥AB∥CD，
∴∠EON＝∠1，∠EOM＝∠2，
∴∠1+∠2＝∠EON+∠EOM＝∠MON＝90°；
（2）过点E作EP∥CD，过点F作FQ∥AB，如图：
∵AB∥CD，
∴EP∥FQ∥AB∥CD，
∵MF平分∠OMB，
∴设∠BMF＝∠OMF＝α，
∵EN平分∠ONC，
∴设∠CNE＝∠ONE＝β，∠OND＝180°﹣2β，
由（1）得：∠DNO+∠BMO＝90°，
∴180°﹣2β+2α＝90°，
∴β﹣α＝45°，
又∵∠NEP＝∠CNE＝β，∠MFQ＝∠BMF＝α，∠PEF＝∠QFE，
∴∠NEF﹣∠MFE＝（∠NEP+∠PEF）﹣（∠MFQ+∠QFE）＝∠CNE﹣∠BMF＝β﹣α＝45°；
（3）过点P作PS∥AB，过点Q作QT∥AB，如图：
∵PS∥AB，
∴∠SPM＝∠AMP，
∵QT∥AB，
∴QT∥PS，
∴∠TQP＝∠QPS，
∵AB∥CD，
∴QT∥CD，
∴∠DNQ＝∠NQT，
由（1）可知：∠BMO+∠DNO＝∠MON＝90°，
又∵∠MPQ﹣∠NQP＝（∠MPS+∠QPS）﹣（∠NQT+∠PQT）＝t°，
∴∠MPS﹣∠NQT＝t°，
∴∠AMP﹣∠DNQ＝t°，
∵∠AMP＝n∠OMP，∠AMP+∠OMP+∠BMO＝180°，
∴∠AMP＝（180°﹣∠BMO），
∵∠DNQ＝n∠ONQ，∠DNQ+∠ONQ＝∠DNO，
∴∠DNQ＝∠DNO，
∴（180°﹣∠BMO）﹣∠DNO＝t°，
∴﹣（∠BMO+∠DNO）＝﹣＝t°，
∴n＝．
故答案为：．
13.（2022春•双流区校级期中）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
①若∠H＝20°，∠END＝75°，则∠MEN的度数为 ；
②探究∠MEN与∠MHN的数量关系，并给予证明；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度数．
【解答】解：（1）①如图，过点E作EP∥AB交MH于点Q，
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，
又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND，
∴∠MEN＝∠MEQ+∠QEN＝∠BMH+∠GND＝（∠BMH+∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH+∠GND．
∵∠GND+∠DNH＝180°，∠DNH+∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠MHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND+∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°，
∵∠MHN＝20°，
∴∠MEN＝100°．
故答案为：100°；
②2∠MEN﹣∠MHN＝180°，理由如下：
如图，过点E作EP∥AB交MH于点Q，
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，
又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND，
∴∠MEN＝∠MEQ+∠QEN＝∠BMH+∠GND＝（∠BMH+∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH+∠GND．
∵∠GND+∠DNH＝180°，∠DNH+∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠MHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND+∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）过点H作GI∥AB，如答图2．
由（1）可得∠MEN＝（∠BMH+∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI+∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH+∠HNC＝180°﹣∠BMH+180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH+∠HND）．
又∵∠AMH+∠HNC＝∠MHI+∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH+∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN+∠MHN＝360°．
∵∠H＝∠MHN＝150°，
∴2∠MEN＝360°﹣150°＝210°．
∴∠MEN＝105°．
过点H作HT∥MP．
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ+∠ENH+∠NHT＝180°，
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝∠AMH＝（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ+∠ENH+140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝∠HND．
∴∠ENQ+∠HND+140°﹣90°+∠BMH＝180°．
∴∠ENQ+（HND+∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ+∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣105°＝15°．
专题01 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型）
专题说明
几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的。现在初一的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决实际问题，会起到事半功倍的效果。本次课主要学习平行线模型-“猪蹄”模型（M模型），为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型一“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2021秋•船山区期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．请利用所学知识解决问题：
（1）探究证明：如图1，试探究∠MGN与∠AMG、∠CNG之间有什么数量关系，并说明理由．
（2）拓展应用：如图2，若∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P，请直接写出∠MGN与∠MPN之间的数量关系．
（3）迁移提升：如图3，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，请直接写出∠MGN+∠MPN的度数．
【变式1-1】（2021秋•九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．
【变式1-2】（2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．则∠EPF＝ ；
（2）【问题归纳】如图1，若AB∥CD，请猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？直接写出结论．
【变式1-3】（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
【典例2】（2021秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【变式2】（2021秋•平顶山期末）（1）如图1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接写出∠BED的度数．
（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接写出∠BED的度数．
【夯实基础】
1．（2022秋•阳曲县校级期末）如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（ ）
A．45° B．60° C．73° D．90°
2．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2
3．（2022秋•肃州区校级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为 ．
4．如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠AEC的度数是 ．
5．（2022春•交城县期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠BAM＝45°，∠DCM＝37°，求∠AMC的度数．
（1）请你用两种不同的方法解答这个问题；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点M在直线BD上运动，∠BAM＝∠α，∠DCM＝∠β．
①当点M在线段BD上运动时（不与点B，D重合），∠AMC、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②如果点M在线段BD之外运动时，请你直接写出∠AMC、∠α、∠β之间的数量关系．
6．（2022春•西城区校级期中）如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC；
（3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）．
7．（2021秋•叙州区期末）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度数；
（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，试求∠BED的度数（用含m、n的代数式表示）．
8．（2022春•崇川区期中）已知AB∥CD，连接A，C两点．
（1）如图1，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC等于 度；
（2）如图2，点M在射线AB反向延长线上，点N在射线CD上．∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．若∠AMN＝45°，∠ACN＝70°，求∠MEC的度数；
（3）如图3，图4，M，N分别为射线AB，射线CD上的点，∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．设∠AMN＝α，∠ACN＝β（α≠β），请直接写出图中∠MEC的度数（用含α，β的式子表示）．
【能力提升】
9．（2022秋•道里区校级月考）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
（I）如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ．
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DBA＝5∠ACE，∠PAG＝30°，求证AB⊥AC；
（3）点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG＝∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．
10．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
（3）如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM＝∠N，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
11．（2021秋•桐柏县期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上．
（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝ ；
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°．
①如图2，当点B在点A的右侧时，求∠AEC的度数；
②如图3，当点B在点A的左侧时，直接写出∠AEC的度数．
12．（2022春•江岸区校级月考）如图，AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠MON＝90°．
（1）求∠1+∠2的值；
（2）如图2，直线EF交∠BMO、∠CNO的角平分线分别于点F、E，求∠NEF﹣∠MFE的值；
（3）如图3，∠AMP＝n∠OMP，∠DNQ＝n∠ONQ，若∠P﹣∠Q＝t°，则n＝ （用t表示）．
13.（2022春•双流区校级期中）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
①若∠H＝20°，∠END＝75°，则∠MEN的度数为 ；
②探究∠MEN与∠MHN的数量关系，并给予证明；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度数．
专题01 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型）
专题说明
几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的。现在初一的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决实际问题，会起到事半功倍的效果。本次课主要学习平行线模型-“猪蹄”模型（M模型），为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型一“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【典例1】（2021秋•船山区期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．请利用所学知识解决问题：
（1）探究证明：如图1，试探究∠MGN与∠AMG、∠CNG之间有什么数量关系，并说明理由．
（2）拓展应用：如图2，若∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P，请直接写出∠MGN与∠MPN之间的数量关系．
（3）迁移提升：如图3，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，请直接写出∠MGN+∠MPN的度数．
【解答】解：（1）∠MGN＝∠AMG+∠CNG，理由如下：
如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，GH∥AB，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∴∠MGN＝∠HGM+∠HGN＝∠AMG+∠CNG；
（2）∠MPN＝∠MGN，理由如下：
由（1）得∠MPN＝∠AMP+∠CNP，∠MGN＝∠AMG+∠CNG，
∵∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P，
∴∠AMP＝∠AMG，∠CNP＝∠CNG，
∴∠MPN＝∠AMP+∠CNP
＝∠AMG+∠CNG
＝（∠AMG+∠CNG）
＝∠MGN，
即∠MPN＝∠MGN；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝30°+α，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
即∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝60°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°，
即∠MGN+∠MPN的度数是90°．
【变式1-1】（2021秋•九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．
【解答】解：过点C作CF∥BA，如图，
∵CF∥BA，
∴∠BCF＝∠B＝30°，
∵BA∥DE，CF∥BA，
∴CF∥DE．
∵∠D＝40°，
∴∠FCD＝∠D＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．
【变式1-2】（2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．则∠EPF＝ ；
（2）【问题归纳】如图1，若AB∥CD，请猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？直接写出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠BEP＝25°，∠2＝∠PFD＝30°，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝25°+30°＝55°．
故答案为：55°；
（2）∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
理由如下：如图1，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠BEP，∠2＝∠PFD，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD；
（3）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，
理由如下：如图2，过P点作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠FPN＝∠NPE+∠EPF＝∠PEA+∠EPF．
【变式1-3】（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，
∴∠BGM＝2×25°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠GPH＝∠BGM＝50°；
②如图1，过点O作ON∥AB，
则∠MON＝∠BOM＝50°，
∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，
∴∠EHD＝∠BGE＝75°，
∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，
∵AB∥CD，ON∥AB，
∴ON∥CD，
∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，
∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；
（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：
如图2，过点Q作QN∥AB，
则∠GQN＝∠AGQ，
∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，
∴∠AGS＝2∠FGS，
∵GQ平分∠AGP，
∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，
∵AB∥CD，
∴∠GIH＝∠IHC，
∵HQ平分∠IHC，
∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，
∵QN∥AB，AB∥CD，
∴QN∥CD，
∴∠NQH＝∠QHC，
∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，
∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．
【典例2】（2021秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，过点E作EH//AB，
∵AB//CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）如图3，过点E作EG//AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，
∴，，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EG，
∴，，
∴．
【变式2】（2021秋•平顶山期末）（1）如图1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接写出∠BED的度数．
（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接写出∠BED的度数．
【解答】解：（1）如图，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠ABE＝∠MEB，∠CDE＝∠MED，
∵∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，
∴∠MEB＝45°，∠MED＝21°，
∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝66°；
（2）∠BED＝2∠F，理由如下：
过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD，
∴∠5＝∠1+∠2，∠6＝∠3+∠4，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2＝∠1，∠3＝∠4，
∴∠BED＝2（∠2+∠3），
∵∠F+∠3＝∠BHD，∠BHD+∠2＝∠BED，
∴∠2+∠3+∠F＝∠BED，
∴∠BED＝∠BED+∠F，
∴∠BED＝2∠F；
（3）如图，延长DE交BF于点M，
则有∠BED＝∠EBM+∠BMD＝∠EBM+∠BFD+∠MDF，
∠BED＝∠EBG+∠BMD＝∠EDG+BGD+∠EBG，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠EBG＝2∠EBM，∠EDG＝2∠MDF，
∴∠BED＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，
∴∠EBM+∠BFD+∠MDF＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，
∴∠EBM+∠MDF+95°＝2（∠EBM+∠MDF）+60°，
∴∠EBM+∠MDF＝35°，
∴∠BED＝∠EBM+∠MDF+95°＝35°+95°＝130°．
【夯实基础】
1．（2022秋•阳曲县校级期末）如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（ ）
A．45° B．60° C．73° D．90°
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作直线c∥a，则∠1＝28°．
又∵a∥b，
∴c∥b，
∴∠2＝45°，
∴∠ACD＝28°+45°＝73°．
故选：C．
2．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2
【答案】D
【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．
故选：D．
3．（2022秋•肃州区校级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为 ．
【答案】94°
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，
∴∠APE＝∠CAP＝36°，
∵BD∥EF，∠DBP＝58°，
∴∠BPE＝∠DBP＝58°，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．
故答案为：94°．
4．如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠AEC的度数是 ．
【答案】110°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠A＝50°，
∵∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠C+∠ADC＝60°+50°＝110°．
故答案为：110°．
5．（2022春•交城县期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠BAM＝45°，∠DCM＝37°，求∠AMC的度数．
（1）请你用两种不同的方法解答这个问题；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点M在直线BD上运动，∠BAM＝∠α，∠DCM＝∠β．
①当点M在线段BD上运动时（不与点B，D重合），∠AMC、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②如果点M在线段BD之外运动时，请你直接写出∠AMC、∠α、∠β之间的数量关系．
【解答】解：（1）方法一：如图，过点M作MN∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝45°，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠CMN＝∠DCM＝37°，
∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝45°+37°＝82°．
方法二：如图，延长AM交CD于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEM＝∠BAM＝45°，
∵∠DCM＝37°，
∴∠CME＝180°﹣∠DCM﹣∠CEM＝98°，
∴∠AMC＝180°﹣∠CME＝82°，
（2）①∠AMC＝∠α+∠β．
如图，过点M作MN∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝∠α，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠CMN＝∠DCM＝∠β，
∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝∠α+∠β．
②当点M在点B的上方时：∠AMC＝∠β﹣∠α；
当点M在点B的下方时：∠AMC＝∠α﹣∠．
6．（2022春•西城区校级期中）如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC；
（3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）．
【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图2．∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；
（3）如图2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…
以此类推，∠En＝∠BEC，
∴当∠En＝α度时，∠BEC＝2nα°．
7．（2021秋•叙州区期末）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度数；
（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，试求∠BED的度数（用含m、n的代数式表示）．
【解答】解：（1）过E作EF∥AB，
∴ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝25°，
∴∠BEF＝25°，
∵a∥b，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵∠ADC＝70°，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝60°；
（2）∵EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝n°，
∴∠BEF＝，
∵a∥b，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵∠ADC＝m°，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠DEF＝m°，
∴∠DEF＝，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝，
即∠BED＝．
8．（2022春•崇川区期中）已知AB∥CD，连接A，C两点．
（1）如图1，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC等于 度；
（2）如图2，点M在射线AB反向延长线上，点N在射线CD上．∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．若∠AMN＝45°，∠ACN＝70°，求∠MEC的度数；
（3）如图3，图4，M，N分别为射线AB，射线CD上的点，∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．设∠AMN＝α，∠ACN＝β（α≠β），请直接写出图中∠MEC的度数（用含α，β的式子表示）．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AE，CE分别平分∠BAC，∠ACD，
∴∠CAE＝∠BAC，∠ACE＝∠ACD，
∴∠CAE+∠ACE＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝90°；
故答案为：90．
（2）如图2，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴FE∥CD，
∴∠BME＝∠MEF，∠FMC＝∠ECD，
∵ME，CE分别平分∠BMN，∠ACD，
∴∠BME＝∠BMN＝22.5°，∠ECD＝∠ACD＝35°，
∴∠MEC＝∠MEF+∠CEF＝22.5°+35°＝57.5°；
（3）①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴FE∥CD，
∴∠AME+∠MEF＝180°，
∵∠AME＝∠AMN＝α，
∴∠MEF＝180°﹣α，
∵∠ECD＝∠ACD＝β，
∴∠FEC＝∠ECD＝β，
∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝180°﹣α+β；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴FE∥CD，
∴∠AME＝∠MEF＝α，
∠FEC+∠ECD＝180°，
∵∠ECD＝∠ACD＝β，
∴∠FEC＝180°﹣β，
∴∠MEC＝∠MEF+∠CEF＝180°﹣β+α．
【能力提升】
9．（2022秋•道里区校级月考）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
（I）如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ．
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DBA＝5∠ACE，∠PAG＝30°，求证AB⊥AC；
（3）点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG＝∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．
【解答】（1）解：∠BAP＝∠PAG+∠ACE．
理由：如图1，∵AP平分∠BAC，DM∥FG∥EN，
∴∠BAP＝∠PAC，∠GAC＝∠ACE，
∴∠BAP＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE，
故答案为：∠BAP＝∠PAG+∠ACE．
（2）证明：如图2，∵DM∥FG∥EN，
∴∠DBA＝∠BAG，∠GAC＝∠ACE，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE，
∴∠DBA＝∠BAG＝∠BAP+∠PAG＝2∠PAG+∠ACE，
∵∠PAG＝30°，∠DBA＝5∠ACE，
∴5∠ACE＝∠ACE+60°，
∴∠ACE＝15°，
∴∠BAP＝∠PAG+∠ACE＝30°+15°＝45°，∠GAC＝15°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠PAG+∠GAC＝45°+30°+15°＝90°，
∵AB与AC都相交于直线FG上的A点，并且在同一平面内，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC
（3）解：所画图形如图3、图4所示，
设∠DBA＝x，
在图3中，∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝45°，
∵DM∥FG，
∴∠BAG＝∠DBA＝x，
∴∠PAG＝∠PAB+∠BAG＝45°+x，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAC＝90°﹣∠BAG＝90°﹣x，
∵∠PAG＝∠FAC，
∴45°+x＝90°﹣x，
解得：x＝22.5°，
∴∠DBA＝22.5°；
在图4中，，∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠P′AB＝∠P′AC＝∠BAC＝45°，
∵DM∥FG，
∴∠BAG＝∠DBA＝x，
∴∠P′AG＝∠BAG﹣∠P′AB＝x﹣45°，
∴∠PAG＝180°﹣∠P′AG＝180°﹣（x﹣45°）＝225°﹣x，
∵∠CAG＝90°﹣x，
∴∠FAC＝180°﹣∠CAG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x，
∵∠PAG＝∠FAC，
∴225°﹣x＝90°+x，
解得：x＝67.5°，
∴∠DBA＝67.5°；
综上所述，∠DBA的度数为22.5°或67.5°．
10．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
（3）如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM＝∠N，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
【解答】（1）证明：如图1，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（2）解：∴∠M+∠HQG＝180°，
理由：∵MH是∠CHG的平分线，
∴∠CHM＝∠MHG，
由（1）知∠M＝∠AGM+∠MHC，
∵∠MQG＝∠HGQ+∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M＝∠MQG，
∵∠MQG+∠HQG＝180°，
∴∠M+∠HQG＝180°．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠M＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
11．（2021秋•桐柏县期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上．
（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝ ；
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°．
①如图2，当点B在点A的右侧时，求∠AEC的度数；
②如图3，当点B在点A的左侧时，直接写出∠AEC的度数．
【解答】解：（1）∵直线l1∥l2，
∴∠ACD+∠CDB＝180°，
即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2
又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；
∵∠1＝23°，∠2＝34°，
∴∠3＝23°+34°＝57°，
故答案为：57°；
（2）∠3＝∠1+∠2，
理由：∵直线l1∥l2，
∴∠ACD+∠CDB＝180°，
即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2
又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；
（3）①过E点作EF∥l1∥l2，
∴∠AEF＝∠EAB，∠FEC＝∠ECD，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAB+∠ECD，
∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，
∴∠BAD＝∠β＝32°，∠BCD＝∠α＝74°，
∴∠EAB＝∠BAD＝×32°＝16°，
∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD＝16°+37°＝53°；
∴∠AEC的度数为53°；
②∠AEC的度数为：143°；
过E点作EF∥l1∥l2，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD，
∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，
∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°，
∴∠EAB＝∠BAD＝×148°＝74°，
∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，
∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°，
∴∠AEC的度数为143°．
12．（2022春•江岸区校级月考）如图，AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠MON＝90°．
（1）求∠1+∠2的值；
（2）如图2，直线EF交∠BMO、∠CNO的角平分线分别于点F、E，求∠NEF﹣∠MFE的值；
（3）如图3，∠AMP＝n∠OMP，∠DNQ＝n∠ONQ，若∠P﹣∠Q＝t°，则n＝ （用t表示）．
【解答】解：（1）过点O作OE∥AB，如图：
∵AB∥CD，
∴OE∥AB∥CD，
∴∠EON＝∠1，∠EOM＝∠2，
∴∠1+∠2＝∠EON+∠EOM＝∠MON＝90°；
（2）过点E作EP∥CD，过点F作FQ∥AB，如图：
∵AB∥CD，
∴EP∥FQ∥AB∥CD，
∵MF平分∠OMB，
∴设∠BMF＝∠OMF＝α，
∵EN平分∠ONC，
∴设∠CNE＝∠ONE＝β，∠OND＝180°﹣2β，
由（1）得：∠DNO+∠BMO＝90°，
∴180°﹣2β+2α＝90°，
∴β﹣α＝45°，
又∵∠NEP＝∠CNE＝β，∠MFQ＝∠BMF＝α，∠PEF＝∠QFE，
∴∠NEF﹣∠MFE＝（∠NEP+∠PEF）﹣（∠MFQ+∠QFE）＝∠CNE﹣∠BMF＝β﹣α＝45°；
（3）过点P作PS∥AB，过点Q作QT∥AB，如图：
∵PS∥AB，
∴∠SPM＝∠AMP，
∵QT∥AB，
∴QT∥PS，
∴∠TQP＝∠QPS，
∵AB∥CD，
∴QT∥CD，
∴∠DNQ＝∠NQT，
由（1）可知：∠BMO+∠DNO＝∠MON＝90°，
又∵∠MPQ﹣∠NQP＝（∠MPS+∠QPS）﹣（∠NQT+∠PQT）＝t°，
∴∠MPS﹣∠NQT＝t°，
∴∠AMP﹣∠DNQ＝t°，
∵∠AMP＝n∠OMP，∠AMP+∠OMP+∠BMO＝180°，
∴∠AMP＝（180°﹣∠BMO），
∵∠DNQ＝n∠ONQ，∠DNQ+∠ONQ＝∠DNO，
∴∠DNQ＝∠DNO，
∴（180°﹣∠BMO）﹣∠DNO＝t°，
∴﹣（∠BMO+∠DNO）＝﹣＝t°，
∴n＝．
故答案为：．
13.（2022春•双流区校级期中）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
①若∠H＝20°，∠END＝75°，则∠MEN的度数为 ；
②探究∠MEN与∠MHN的数量关系，并给予证明；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度数．
【解答】解：（1）①如图，过点E作EP∥AB交MH于点Q，
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，
又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND，
∴∠MEN＝∠MEQ+∠QEN＝∠BMH+∠GND＝（∠BMH+∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH+∠GND．
∵∠GND+∠DNH＝180°，∠DNH+∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠MHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND+∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°，
∵∠MHN＝20°，
∴∠MEN＝100°．
故答案为：100°；
②2∠MEN﹣∠MHN＝180°，理由如下：
如图，过点E作EP∥AB交MH于点Q，
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，
又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND，
∴∠MEN＝∠MEQ+∠QEN＝∠BMH+∠GND＝（∠BMH+∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH+∠GND．
∵∠GND+∠DNH＝180°，∠DNH+∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠MHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND+∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）过点H作GI∥AB，如答图2．
由（1）可得∠MEN＝（∠BMH+∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI+∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH+∠HNC＝180°﹣∠BMH+180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH+∠HND）．
又∵∠AMH+∠HNC＝∠MHI+∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH+∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN+∠MHN＝360°．
∵∠H＝∠MHN＝150°，
∴2∠MEN＝360°﹣150°＝210°．
∴∠MEN＝105°．
过点H作HT∥MP．
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ+∠ENH+∠NHT＝180°，
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝∠AMH＝（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ+∠ENH+140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝∠HND．
∴∠ENQ+∠HND+140°﹣90°+∠BMH＝180°．
∴∠ENQ+（HND+∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ+∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣105°＝15°．
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