中考数学二轮复习专题《定义新运算问题》练习(含答案)

中考数学二轮复习专题

《定义新运算问题》练习

一              、选择题

1.规定一种新的运算“*”：对于任意有理数x,y满足x*y＝x﹣y＋xy.例如，3*2＝3﹣2＋3×2＝7,则2*1＝(     )

A.4           B.3          C.2             D.1

2.对a，b定义运算“*”如下：已知x*3= - 1，则实数x等于(　　)

A.1　　　　　  B. - 2　　　　 C.1或 - 2　　　　  D.不确定

3.计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

例如，用十六进制表示E+D=1B，用十进制表示也就是13+14=1×16+11，则用十六进制表示A×B=(   )

A.6E                   B.72                       C.5F                        D.B0

4.a为有理数，定义运算符号“※”：当a＞﹣2时，※a=﹣a，当a＜﹣2时，※a=a，当a=﹣2时，※a=0，根据这种运算，则※[4+※(2﹣5)]的值为(     )

A.1              B.﹣1                C.7             D.﹣7

5.在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a*b=(2a+b)，则方程(2*3)(4*x)=49的解为(   )

A.－3      B.55     C.－56     D.－55

6.我们根据指数运算，得出了一种新的运算.

如表是两种运算对应关系的一组实例：

根据上表规律,某同学写出了三个式子:

①log216=4;②log525=5;③log20.5=﹣1.其中正确的是(    )

A.①②      B.①③       C.②③          D.①②③

7.对于两数a、b，定义运算：a*b=a+b—ab，则在下列等式中，正确的为(   )

①a*2=2*a；②(—2)*a=a*(—2)； ③(2*a)*3=2*(a*3)；④0*a=a

A.①③     B.①②③       C.①②③④         D.①②④

8.因为sin30°=，sin210°=－，所以sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°；

因为sin45°=，sin225°=－，所以sin225°=sin(180°+45°)=﹣sin45°，

由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα.

由此可知：sin240°=(　　)

A.－       B.－      C.－       D.－

二              、填空题

9.定义一种新的运算“@”的法则为：x@y＝xy﹣1,则(2@3)@4＝______.

10.对于任意实数a，b，定义一种运算&如下：a&b＝a(a＋b)＋b(a－b)，如3&2＝3(3＋2)＋2(3－2)＝17.那么&＝________.

11.将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，

若=6，则x=　　　　　　.

12.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为       ．

13.一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=，an=(n≥2，且n为整数)，则a2 024=____.

14.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为         ．

三              、解答题

15.规定新运算符号“☆”的运算规则为a☆b＝ab＋﹣.

例如：(﹣2)☆1＝(﹣2)×1＋﹣.

(1)求☆的值；

(2)求(＋)☆的值.

16.对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，称|x1－x2|＋|y1－y2|为P1，P2两点的直角距离，记作：d(P1，P2)．若P0(x0，y0)是一定点，Q(x，y)是直线y＝kx＋b上的一动点，称d(P0，Q)的最小值为P0到直线y＝kx＋b的直角距离．令P0(2，－3)，O为坐标原点．

(1)求d(O，P0)；

(2)若P(a，－3)到直线y＝x＋1的直角距离为6，求a.

17.定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数.

如：2的差倒数是=－1，－1的差倒数是=.已知a1=－，

(1)a2是a1的差倒数，求a2；

(2)a3是a2的差倒数，求a3；

(3)a4是a3的差倒数，…依此类推an＋1是an的差倒数，直接写出a2017.

18.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值．

(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

参考答案

1.B

2.A

3.A

4.B

5.B

6.B

7.D

8.C

9.答案为：19.

10.答案为：2＋1.

11.答案为：±.

12.答案为：30°.

13.答案为：－1

14.答案为：113°或92°.

15.解：(1)∵a☆b＝ab＋﹣，

∴☆＝3 ×＋﹣＝9.

(2)(＋)☆

＝(＋)×＋﹣

＝12＋6＋﹣

＝18﹣.

16.解：(1)∵P0(2，－3)，O为坐标原点，

∴d(O，P0)＝|0－2|＋|0－(－3)|＝5.

(2)∵P(a，－3)到直线y＝x＋1的直角距离为6，

∴设直线y＝x＋1上一点Q(x，x＋1)，则d(P，Q)＝6，

∴|a－x|＋|－3－x－1|＝6，即|a－x|＋|x＋4|＝6，

当a－x≥0，x≥－4时，原式＝a－x＋x＋4＝6，解得a＝2；

当a－x＜0，x＜－4时，原式＝x－a－x－4＝6，解得a＝－10.

综上所述，a＝2或－10.

17.解：(1)根据题意，得：a2===.

(2)根据题意，得：a3===4.

(3)由a1=－，a2=，a3=4，a4==－，2023÷3=674……1，

∴a2023=－.

18.解：(1)∵y1＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，

∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)．

∵抛物线C1与C2顶点相同，

∴＝1，－1＋m＋n＝4，解得m＝2，n＝3，

∴抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋2x＋3

(2)如图1，设点A的坐标为(a，－a2＋2a＋3)．

∵AQ＝－a2＋2a＋3，OQ＝a，

∴AQ＋OQ＝－a2＋2a＋3＋a＝－a2＋3a＋3＝－(a－)2＋.

∴当a＝时，AQ＋OQ有最大值，最大值为　

(3)如图2，连结BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.

∵B(－1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为x＝1，

∴BC⊥CM，BC＝2.

∵∠BMB′＝90°，

∴∠BMC＋∠B′MD＝90°.

∵B′D⊥MC，

∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°.

∴∠MB′D＝∠BMC.

在△BCM和△MDB′中，

∴△BCM≌△MDB′.

∴BC＝MD，CM＝B′D.

设点M的坐标为(1，a)．则B′D＝CM＝4－a，MD＝CB＝2.

∴点B′的坐标为(a－3，a－2)．

∴－(a－3)2＋2(a－3)＋3＝a－2.

整理得a2－7a－10＝0.解得a＝2或a＝5.

当a＝2时，M的坐标为(1，2)，当a＝5时，M的坐标为(1，5)．

综上所述，当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C2上.