中考数学二轮复习专题《相似三角形探究》练习(含答案)

中考数学二轮复习专题

《相似三角形探究》练习

一              、选择题

1.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有(   )

A.1条              B.2条            C.3条             D.4条

2.如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(     )

A.1个                                B.2个             C.3个                          D.4个

3.如图1，在三角形纸片ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有(　　)

A.①②③            B.①②④           C.①③④         D.②③④

4.一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有(　 　)

A.一种       B.两种      C.三种       D.四种或四种以上

5.如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△BDA相似，可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是( 　     )

A.∠ACD＝∠DAB      B.AD＝DE      C.AD·AB＝CD·BD        D.AD2＝BD·CD

6.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上,这块三角板绕O点旋转,两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F,连接EF,则在运动过程中,△OEF与△ABC的关系是（  ）

 A.一定相似        B.当E是AC中点时相似      C.不一定相似    D.无法判断

7.如图，正方形ABCD的边长为2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为(    )时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.

A.         B.         C.或         D.或

8.P是△ABC一边上的一点(P不与A、B、C重合)，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？(    )

A.1条       B.2条         C.3条       D.4条

二              、填空题

9.A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准.将一张A4纸沿着长边中点对折后，得到的矩形与原矩形相似，则A4纸长与宽的比值是      .

10.已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝           ．

11.在△ABC中，AB＝9，AC＝6．点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．当AN＝　   　时，△AMN与原三角形相似．

12.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=        时,△CPQ与△CBA相似．

13.如图，两个相似的等腰△ABC、△DEF的底边BC、EF均平行于y轴，BC：EF=1：2，D是BC的中点，点A、C，F都在反比例函数y=(k＞0)在第一象限内的图象上，且A的纵坐标是3，则BC的长是      ．

14.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为         ．

三              、解答题

15.如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

16.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x>0)的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点.

(1)求点D的坐标；

(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标.

17.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,则∠ACB=   °．

（2）如图,在△ABC中,AC=2,BC=，CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长．

18.如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△DOC，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A、B、C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C、E、F 为顶点三角形与△COD 相似时点 P 的坐标．

参考答案

1.C

2.C

3.B.

4.B.

5.C.

6.A

7.C.

8.C

9.答案为：.

10.答案为：．

11.答案为：2或4.5．

12.答案为4.8或．

13.答案为：．

14.答案为：113°或92°.

15.解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，

则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t(cm)，

当△APQ∽△ABC时，，

即，解得：t＝；

当△APQ∽△ACB时，，即，

解得：t＝4；

故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s.

16.解：(1)∵四边形OABC为矩形，

∴AB⊥x轴.

∵E为AB的中点，点B的坐标为(2，3)，

∴点E的坐标为(2,).

∵点E在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝3，

∴反比例函数的解析式为y＝.

∵四边形OABC为矩形，

∴点D与点B的纵坐标相同，将y＝3代入y＝可得x＝1，

∴点D的坐标为(1，3).

(2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，

∴BD＝BC－CD＝1.

∵E为AB的中点，

∴BE＝.

若△FBC∽△DEB，

则＝，即＝，

∴CF＝，

∴OF＝CO－CF＝3－＝，

∴点F的坐标为(0,).

若△FBC∽△EDB，

则＝，即＝，

∴CF＝3，此时点F和点O重合.

综上所述，点F的坐标为(0,)或(0，0).

17.解：（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

（2）由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC，

∴=，

设BD=x，

∴（）2=x（x+2），

∵x＞0，

∴x=﹣1，

∵△BCD∽△BAC，

∴==

18.解：(1)在 Rt△AOB 中，OA＝1，tan∠BAO＝3，

∴OB＝3OA＝3

∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．

∴A，B，C 的坐标分别为(1，0)，(0，3)，(﹣3，0)，

代入解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；

(2)∵抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x＋3，

∴对称轴为 l＝﹣1，

∴E 点坐标为(﹣1，0)，如图，

①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，

此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P(﹣1，4)；

②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点 P 作 PM⊥x 轴于 M 点，△EFC∽△EMP，

∴ ＝ ＝ ＝

∴MP＝3ME，

∵点 P 的横坐标为 t，

∴P(t，﹣t2﹣2t＋3)，

∵P 在第二象限，

∴PM＝﹣t2﹣2t＋3，ME＝﹣1﹣t，

∴﹣t2﹣2t＋3＝3(﹣1﹣t)，

解得 t1＝﹣2，t2＝3，(与 P 在二象限，横坐标小于 0 矛盾，舍去)，

当 t＝﹣2 时，y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)＋3＝3

∴P(﹣2，3)，