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2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A. 正方形 B. 长方形 C. 等腰三角形 D. 平行四边形
3. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ）
A. 3、4、8 B. 5、6、11 C. 5、6、10 D. 3、5、10
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线．若∠ABD＝32°，则∠A＝（ ）
A. 32° B. 52° C. 64° D. 72°
5. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
6. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向公路，经测量得知有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A 250 m B. 250 m C. m D. 250m
7. 如图，在下列条件中，没有能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A. BD=DC，AB=AC B. ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C. ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
9. 如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论没有一定成立的是（ ）
A. △ACE≌△BCD B. △BGC≌△AFC C. △DCG≌△ECF D. △ADB≌△CEA
10. 如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
12. 如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP、BP并各自延长，使PC=PA，PD=PB，连接CD，测得CD长为25m，则池塘宽AB为________ m，依据是________
13. 一个零件的形状如图所示，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，则∠BDC＝__________
14. 已知点P(1，a)与Q(b，2)关于x轴成轴对称，又有点Q(b，2)与点M(m，n)关于y轴成轴对称，则m－n的值为__________
15. 如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．
16. 平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________.
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？有多少条对角线？
18. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
19. 用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成有一边的长是5 cm的等腰三角形吗？如果能，求出其他两边的长；如果没有能，说明理由
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图形中作出△ABC 关于 y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（3）是否存在一点P到 AC、AB的距离相等，同时到点 A、点 B的距离也相等．若存在保留作图痕迹标出点P的位置，并简要说明理由；若没有存在，请说明理由．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．
(1) 求证：CD＝BE；
(2) 若AD＝3.5 cm，DE＝2.7 cm，求BE长．
22. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
(1) 说明BE＝CF的理由
(2) 如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的长
23. （1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间数量关系是__________，△AEF的周长是__________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为没有等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件没有变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论没有证明．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
（1）如图1，若S△AOP＝12，求P的坐标
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由
2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.
【详解】A、C是对称图形，但没有是轴对称图形；B是轴对称图形；D没有是对称图形.
故选B.
本题考查的是轴对称图形的定义.
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A. 正方形 B. 长方形 C. 等腰三角形 D. 平行四边形
【正确答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性可得答案.
【详解】解：根据“三角形具有稳定性”可知等腰三角形有稳定性.
故C项符合题意
故本题正确答案为C.
本题主要考查三角形的基本性质:稳定性.
3. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ）
A. 3、4、8 B. 5、6、11 C. 5、6、10 D. 3、5、10
【正确答案】C
【分析】解：A、3+4＜8，故没有能组成三角形，故A错误；
B、5+6=11，故没有能组成三角形，故B错误；
C、5+6＞10，故能组成三角形，故C正确；
D、3+5＜10，故没有能组成三角形，故D错误．
故选C．
点睛：本题主要考查了三角形三边的关系，判定三条线段能否构成三角形时并没有一定要列出三个没有等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】请在此输入详解！
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线．若∠ABD＝32°，则∠A＝（ ）
A. 32° B. 52° C. 64° D. 72°
【正确答案】B
【详解】解：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD．∵∠ABD=32°，∴∠ABC=2∠ABD=2×32°=64°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=∠C=64°，∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠C=180°﹣2×64°=52°．故选B．
点睛：本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．
5. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
【正确答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的部位看成三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，没有要漏解．
6. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测量得知有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A. 250 m B. 250 m C. m D. 250m
【正确答案】A
【详解】解：由已知得：∠AOB=30°，OA=500m．则AB=OA=250m．故选A．
7. 如图，在下列条件中，没有能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A. BD=DC，AB=AC B. ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC
【正确答案】D
【分析】两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：
【详解】分析：
∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，没有能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【正确答案】A
【详解】解：∵点E正好在AC的垂直平分线上，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC．∵点E为点B的对折后对应的点，∴∠B=∠AEB =2∠C．∵∠C+∠B=90°，∴∠C=30°．故选A．
点睛：本题考查的是图形对折后的性质及三角形的内角和为180°，折叠的图形与其对应的图形全等，即对应的边，对应的角都相等．
9. 如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论没有一定成立的是（ ）
A. △ACE≌△BCD B. △BGC≌△AFC C. △DCG≌△ECF D. △ADB≌△CEA
【正确答案】D
【详解】试题分析：△ABC和△CDE是等边三角形
BC=AC，CE=CD，
即
在△BCD和△ACE中
△BCD≌△ACE
故A项成立；
在△BGC和△AFC中
△BGC≌△AFC
B项成立；
△BCD≌△ACE
，
在△DCG和△ECF中
△DCG≌△ECF
C项成立 D项没有成立.
考点：全等三角形的判定定理.
10. 如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】D
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【详解】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG=∠CAP，
∴∠APG=∠BAP，
∴GA=GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB=AC：AB，
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∴FP=FC，
故①②③④都正确．
故选D．
本题考查角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题关键．
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
【正确答案】
【详解】分析：本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
详解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°-50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案为80°．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
12. 如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP、BP并各自延长，使PC=PA，PD=PB，连接CD，测得CD长为25m，则池塘宽AB为________ m，依据是________
【正确答案】 ①. 25； ②. SAS
【详解】在△APB和△DPC中，
PC=PA，∠APB=∠CPD，PD=PB，
∴△APB≌△CPD（SAS）；
∴AB=CD=25米（全等三角形对应边相等）．
答：池塘两端的距离是25米．
故答案为25，SAS.
点睛：本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
13. 一个零件的形状如图所示，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，则∠BDC＝__________
【正确答案】131°
【详解】解：延长CD交AB于E．∵∠C=20°，∠BAC=90°，∴∠CEB=∠C+∠BAC=110°．∵∠B=21°，∴∠BDC=∠B+∠CEB=21°+110°=131°．故答案为131°．
点睛：本题考查了三角形外角的性质，能灵活运用性质进行推理是解答此题的关键．注意：三角形的一个外角等于和它没有相邻的两个内角的和．
14. 已知点P(1，a)与Q(b，2)关于x轴成轴对称，又有点Q(b，2)与点M(m，n)关于y轴成轴对称，则m－n的值为__________
【正确答案】－3
【分析】根据轴对称的点的坐标变化规律可得出答案
【详解】解：∵点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，
∴b=1，a=﹣2．
∵点Q（b，2）与点M（m，n）关于y轴成轴对称，
∴m=﹣1，n=2，
则m﹣n=﹣1﹣2=﹣3．
故答案为﹣3．
本题考查了轴对称，明确关于x(y)轴对称的点的坐标的规律是解题关键.
15. 如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．
【正确答案】74
【分析】首先根据三角形角平分线的定义求出∠BCE，然后在Rt△CBD中求出∠BCD，从而得到∠DCF，最终在Rt△CDF中求解即可得出结论．
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°-40°-72°=68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACB=×68°=34°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD＋∠B=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=90°-72°=18°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF＋∠CDF=90°，
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-16°=74°，
故74．
本题考查三角形中角平分线相关的角度计算，掌握三角形中角平分线的定义以及直角三角形两锐角互余是解题关键．
16. 平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________.
【正确答案】5
【详解】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0），∴AB=．
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），∵点（0，4）与直线AB共线，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故答案为5．
点睛：本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？有多少条对角线？
【正确答案】九边形、27条
【详解】试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n-2）×180°=1260°，然后解方程即可．
试题解析：解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）×180°=1260°
解得：n=9，∴这个多边形为九边形，∴对角线的条数=(9−3)×9 ÷2 =27条．
答：这个多边形是九边形，有27条对角线．
18. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
【正确答案】详见解析.
【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE．
【详解】证明：由BE＝CF可得BC＝EF，
又AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
则∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
19. 用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成有一边的长是5 cm的等腰三角形吗？如果能，求出其他两边的长；如果没有能，说明理由
【正确答案】能，7.5 cm、7.5 cm
【分析】题中没有指明5cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行讨论，注意利用三角形三边的关系进行检验．
【详解】解：①当5cm为底时，腰长=7.5cm；
②当5cm为腰时，底边=10cm，因为5+5=10，故没有能构成三角形，故舍去；
故能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm，7.5cm．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图形中作出△ABC 关于 y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（3）是否存在一点P到 AC、AB的距离相等，同时到点 A、点 B的距离也相等．若存在保留作图痕迹标出点P的位置，并简要说明理由；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）根据三点的坐标作出△ABC，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据已知条件知：点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点，据此作图即可．
试题解析：解：（1）如图，S△ABC=×5×3=7.5；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3）；
（3）如图所示，点P即为所求．∵点P到AC、AB的距离相等，∴点P在∠CAB平分线上．∵到点A、点B的距离也相等，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
点睛：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点及角平分线和中垂线的性质是解答此题的关键．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．
(1) 求证：CD＝BE；
(2) 若AD＝3.5 cm，DE＝2.7 cm，求BE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；(2) 0.8 cm．
【分析】（1）根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC；
（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，∵∠E＝∠ADC，∠EBC＝∠DCA，BC＝AC，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC；
（2）∵△CEB≌△ADC，
∴BE=DC，CE=AD=3.5．
∵DC=CE－DE，DE=2.7cm，
∴DC=3.5－2.7=0.8cm，
∴BE=0.8cm．
本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
22. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
(1) 说明BE＝CF的理由
(2) 如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的长
【正确答案】（1）见解析；（2）AE＝，BE＝
【详解】试题分析：（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，进而就可以求出结论．
试题解析：解：（1）连接DB、DC．∵DG⊥BC且平分BC，∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°．在Rt△DBE和Rt△DCF中，∵DB=DC，DE=DF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE=CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF．∵AC+CF=AF，∴AE=AC+CF．
∵AE=AB﹣BE，∴AC+CF=AB﹣BE．
∵AB=a，AC=b，∴b+BE=a﹣BE，∴BE=，∴AE=a﹣=．
答：AE=，BE=．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. （1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是__________，△AEF的周长是__________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为没有等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件没有变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论没有证明．
【正确答案】（1）5；BE+CF=EF；20； （2）2；BE+CF=EF，证明见解析；△AEF的周长=18；（3）BE-CF=EF，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE=ED，CF=DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
试题解析：解：（1）BE+CF=EF．理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF，△AEF周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20．
故答案为5；BE+CF=EF；20；
（2）BE+CF=EF．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD．∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF．△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18．
此时有两个等腰三角形，EF＝BE＋CF，C△AEF＝18．
（3）BE﹣CF=EF．由（1）知BE=ED．∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，∴CF=DF．又∵ED﹣DF=EF，∴BE﹣CF=EF．
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
（1）如图1，若S△AOP＝12，求P坐标
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由
【正确答案】（1）P(2，4)；（2）PM＝PN，PM⊥PN，理由见解析；（3）OD＝AE，理由见解析
【分析】（1）如图1中，作PH⊥OA于H．线求出直线AB的解析式，利用面积构建方程求出PH即可解决问题；
（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；
（3）结论：OD=AE．如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．
∵A(6，0)，B(0，6)，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．
∵•OA•PH=12，
∴PH=4，
当y=4时，4=﹣x+6，
∴x=2，
∴P（2，4）．
（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．证明如下：
如图2中，连接OP．
∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=PA，
∴OP=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，
∴∠OPA=90°．
∵AM=ON，OP=OP，
∴△PON≌△PAM，
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（3）结论：OD=AE．理由如下：
如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G．
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP．
∵∠PAE=∠PAG=45°，PA=PA，
∴△PAE≌△PAG，
∴AE=AG，∴OD=AE．
本题是三角形综合题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
1. 下列数学符号中，属于对称图形的是（ ）
∴ ∽ ⊥
A. B. C. D.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的硬币10次，一定会有5次正面向上
B. “ x2＜0（是实数）”是随机
C. “抛掷1枚骰子，向上的点数为6”是随机
D. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然
3. 实数的整数部分是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 矩形具有而平行四边形没有一定具有的性质是（ ）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（ ）
A. B. 4 C. 4或 D. 以上都没有对
6. 已知直线没有第三象限，则下列结论正确的是（ ）
A. k＞0， b＞0； B. k＜0， b＞0； C. k＜0， b＜0； D. k＜0， b≥0
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
7. 点第__________ 象限．
8. “生态兴化，如诗如画”．兴化市正全力打造成国家全域旅游示范区，为该市市民对兴化全域旅游的情况了解，宜采用______(填“全面”或“抽样”)的方式．
9. 据统计：我国用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿到_____位．
10. 已知，是函数的图象上的两个点，则的大小关系是_______________.
11. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则AC= _________
12. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π,，，1.333，随机抽取1张，则取出的数是无理数的概率是_______.
13. 若等腰三角形的一个角为 80°，则顶角为_________．
14. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AD、AB、CB、DC的中点，当四边形ABCD满足条件________时所得的四边形EFGH是菱形.
15. 点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线的距离是_____.
16. 已知点A、B的坐标分别为A（-4，0）、B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为6，以点A、B、C为顶点作□ABCD.若过原点的直线平分该□ABCD的面积，则此直线的解析式是________．
三、解 答 题（本大题共10小题，共102分）
17. （1）计算： ；
（2）已知：，求的值.
18. 学校有一个长为25m,宽为12m的长方体游泳池，当前水位是0.1m. 现往游泳池注水,水位每小时上升0.3m.
(1) 写出游泳池水深d（m）与注水时间x（h）的函数表达式；
(2) 如果x（h）共注水y（m3）,求y与x的函数表达式.
19. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）△BEF是等腰三角形吗？试说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求CF的长度．
20. 中国古代数学家们对于勾股定理发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明a2+b2=c2；
(2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值.
21. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷，被学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
22. 已知y-1与x+2成正比例，且x=-1时，y=3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象点（m-1，m+1），求m的值.
23. 如图，在平行四边形中，∠BAD平分线交于E，点在上，且，连接．
(1) 判断四边形的形状并证明；
(2) 若、相交于点，且四边形的周长为，，求的长度及四边形的面积.
24. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的方格形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等.
实验与操作：
（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
（2）在射线AP上找到一点Q，使QB=QC.
探索与计算：
如果A点坐标为（-1，-3），
（1）试在图中建立平面直角坐标系；
（2）若点M、N是坐标系中小正方形的顶点，且四边形QCMN是一个正方形，则 M点的坐标是__________，N点的坐标是___________.
25. 已知正方形ABC D，E平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC.
（1）如图1，求证：①；②.
（2）若，
① 如图2，点E在正方形内，连接EC，若，，求的长；
② 如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB=6，当C、E、F在一条直线时，
求AE的长.
26 如图1，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点．
(1) 求两点的坐标；
(2) 求的面积；
（3）如图2，若有一条垂直于轴的直线以每秒1个单位的速度从点出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线及轴于点和.设运动时间为，连接．
① 当时，求的值；
② 试探究在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
1. 下列数学符号中，属于对称图形的是（ ）
∴ ∽ ⊥
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：A和D是轴对称图形，B是对称图形，C既没有是轴对称图形也没有是对称图形．故选B．
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的硬币10次，一定会有5次正面向上
B. “ x2＜0（是实数）”是随机
C. “抛掷1枚骰子，向上的点数为6”是随机
D. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然
【正确答案】C
【详解】解： A、随机，故选项A错误；
B、没有可能，故选项B错误；
C、正确；
D、随机，故选项D错误．
故选C．
点睛：本题考查概率的意义、全面与抽样、随机，解题的关键是明确概率的意义，根据实际情况选择合适的方式．
3. 实数的整数部分是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】B
【详解】试题解析：
的整数部分是3.
故选B.
4. 矩形具有而平行四边形没有一定具有的性质是（ ）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
【正确答案】C
【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，没有一定相等．
故选C．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形没有具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（ ）
A. B. 4 C. 4或 D. 以上都没有对
【正确答案】A
【详解】解：∵∠C=90°，AC=5，BC=3，∴AB===．故选A．
6. 已知直线没有第三象限，则下列结论正确的是（ ）
A. k＞0， b＞0； B. k＜0， b＞0； C. k＜0， b＜0； D. k＜0， b≥0
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵直线没有第三象限，∴k＜0，b≥0．故选D．
考点：函数图象与系数的关系．
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
7. 点在第__________ 象限．
【正确答案】二
【详解】解：点(-1，1)在第二象限．故答案为二．
8. “生态兴化，如诗如画”．兴化市正全力打造成国家全域旅游示范区，为该市市民对兴化全域旅游的情况了解，宜采用______(填“全面”或“抽样”)的方式．
【正确答案】抽样
【详解】解：采用抽样的方式．故答案为抽样．
9. 据统计：我国用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿到_____位．
【正确答案】百万
【详解】解：8.87亿到百万位．故答案为百万．
10. 已知，是函数的图象上的两个点，则的大小关系是_______________.
【正确答案】y1
【详解】把，代入可得 ，所以y1
【正确答案】4
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AO=AC，BO=BD，AC=BD，∴AO=BO．又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴AC=2AB=4．
12. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π,，，1.333，随机抽取1张，则取出的数是无理数的概率是_______.
【正确答案】0.4
【详解】解：一共有5个数，无理数有π，共2个，∴抽到写有无理数的卡片的概率是2÷5=0.4．故答案为0.4．
点睛：考查概率公式的应用；判断出无理数的个数是解决本题的易错点．
13. 若等腰三角形的一个角为 80°，则顶角为_________．
【正确答案】80°或20°
【分析】由于没有明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】①当80°的角为等腰三角形的顶角时，其顶角为80°，
②当80°的角为等腰三角形的底角时，
顶角的度数==20°；
故它的底角的度数是80°或20°．
故80°或20°．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，正确解题的关键是分80°的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况讨论．
14. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AD、AB、CB、DC的中点，当四边形ABCD满足条件________时所得的四边形EFGH是菱形.
【正确答案】AC=BD
【详解】解：点E，F分别是四边形ABCD的边AD，AB中点，∴EF∥BD，EF=BD，同理：HG∥BD，HG=BD，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形RFGH是平行四边形．∵AC=BD，∴EF=EH．∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为AC=BD．
15. 点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线的距离是_____.
【正确答案】；
【详解】试题分析：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣﹣1=，AB==，∴×h=，∴h=．故答案为．
考点：勾股定理．
16. 已知点A、B的坐标分别为A（-4，0）、B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为6，以点A、B、C为顶点作□ABCD.若过原点的直线平分该□ABCD的面积，则此直线的解析式是________．
【正确答案】或
【详解】解：∵A（-4，0）、B（2，0），∴AB=6，∵点C在y轴上，且△ABC的面积为6，∴C(0，±2)，
当C(0，2)时，如图所示，∵ABCD是平行四边形，∴D（－6，2），∵E是对角线的交点，∴AE=EC，∴点E是AC的中点，∴E(－2，1)．∵过平行四边形对角线交点的任意直线都平分平行四边形的面积，∴直线OE平分平行四边形的面积，∴直线OE的解析式为：；
同理：当C′(0，－2)时，直线OE′的解析式为：．故答案为 或．
点睛：本题考查了平行四边形的性质．准确找出平行四边形第四个顶点的坐标和过平行四边形对角线交点的任意直线都平分平行四边形的面积这个性质是解答本题的关键．
三、解 答 题（本大题共10小题，共102分）
17. （1）计算： ；
（2）已知：，求的值.
【正确答案】（1） ；（2）x=4或x= -2
【详解】试题分析：（1）根据值，算术平方根，零指数幂的意义解答即可；
（2）根据平方根的定义解答即可．
试题解析：解：（1）原式==；
（2），∴x-1=±3，∴x=4或x= -2．
18. 学校有一个长为25m,宽为12m的长方体游泳池，当前水位是0.1m. 现往游泳池注水,水位每小时上升0.3m.
(1) 写出游泳池水深d（m）与注水时间x（h）的函数表达式；
(2) 如果x（h）共注水y（m3）,求y与x的函数表达式.
【正确答案】（1）d=0.3x+0.1；（2）y=90x+30
【详解】试题分析：（1）根据题意可以得到游泳池水深d（m）与注水时间x（h）的函数表达式；
（2）根据题意和（1）中的结果可以求得y与x的函数表达式．
试题解析：解：（1）由题意可得：d=03x+0.1；
（2）由题意可得：y=25×12×（0.3x+0.1）=90x+30，即y与x的函数表达式为y=90x+30．
点睛：本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答问题．
19. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）△BEF是等腰三角形吗？试说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求CF的长度．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）由AD∥BC得到∠1=∠2，由折叠性质得到∠2=∠FEB，则∠1=∠FEB，于是可判断△EBF是等腰三角形；
（2）设BE=x，则DE=x，AE=AD﹣DE=8﹣x，在Rt△ABE中，理由勾股定理得到（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，而△EBF是等腰三角形，所以BF=BE=5，即可得到CF的长．
试题解析：解：（1）△BEF是等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上，∴∠2=∠FEB，∴∠1=∠FEB，∴△BEF是等腰三角形；
（2）设BE=x，则DE=x，∴AE=AD﹣DE=8﹣x，在Rt△ABE中，（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，∵△EBF是等腰三角形，∴BF=BE=5，∴CF=BC-BF=AD-BF=8-5=3．
点睛：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的判定．
20. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明a2+b2=c2；
(2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值.
【正确答案】（1）详见解析；（2）18
【详解】试题分析：（1）根据大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积计算即可；
（2）由图可得到（b-a）2和2ab的值，代入（a+b）2=（b-a）2+4ab，即可得到结论．
试题解析：解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b-a）2，∴c2=4×ab+（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2 即c2=a2+b2；
(2) 由图可知，（b-a）2=2， 4×ab=10-2=8， ∴2ab=8，（a+b）2=（b-a）2+4ab=2+2×8=18．
21. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷，被学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍学生人数．
【正确答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）12；（4）300人
【分析】（1）由76÷38%，可得总人数；先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；（2）扇形图，分别求出人数，再画图；
（3）用社科类百分比×2500可得．
【详解】解：（1）此次共的人数人；
（2）生活类人数人，
小说类的人数为人，
补全图形，如下图：
（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：
2500×12%=300人．
本题考核知识点：数据的整理，用样本估计总体，解题关键是从统计图获取信息．
22. 已知y-1与x+2成正比例，且x=-1时，y=3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象点（m-1，m+1），求m的值.
【正确答案】（1）y=2x+5；（2）m= -2
【详解】试题分析：（1）根据题意设出函数解析式，把当x=-1时，y=3代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式；
（2）将点（m-1， m +1）代入函数的解析式中，即可求得m的值；
试题解析：解：（1）∵y－1与x+2成正比例，∴设y－1=k（x+2），∵x=-1时，y=3，∴3－1=k（－1+2），解得：k=2，∴y与x的关系式为：y=2x+5；
（4）把点（m-1， m +1）代入y=2x+5中，得m+1=2(m-1)+5，解得：m=﹣2．
点睛：本题考查了待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形中，∠BAD的平分线交于E，点在上，且，连接．
(1) 判断四边形的形状并证明；
(2) 若、相交于点，且四边形的周长为，，求的长度及四边形的面积.
【正确答案】（1）四边形是菱形，证明略，（2）AE=8；四边形ABEF的面积是24
【详解】试题分析：（1）由角平分线的定义可得∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；
（2）根据菱形性质可得AE⊥BF，BO=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长，根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出结论．
试题解析：解：（1）∵AE是∠BAF的角平分线，∴∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∵AB=AF，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；
（2）∵四边形ABEF为菱形，且周长为20，∴AB=5，AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8，菱形ABEF面积=AE×BF=×8×6=24．
点睛：此题主要考查了菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．
24. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的方格形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等.
实验与操作：
（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
（2）在射线AP上找到一点Q，使QB=QC.
探索与计算：
如果A点坐标为（-1，-3），
（1）试在图中建立平面直角坐标系；
（2）若点M、N是坐标系中小正方形的顶点，且四边形QCMN是一个正方形，则 M点的坐标是__________，N点的坐标是___________.
【正确答案】（1）见解析；（2）(-2，-2）或(0，8），(3，-3）或(5，7）.
【详解】试题分析：实验与操作：（1）P为∠BAC的平分线与BC的交点；
（2）Q为射线AP与线段BC的垂直平分线的交点；
探索与计算：（1）根据A点坐标为（-1，-3）建立直角坐标系即可；
（2）根据作出的图形，直接写出M、N的坐标即可．
试题解析：解：实验与操作：（1）如图点P （2）如图点Q；
探索与计算：（1）如图建立坐标系；（2）M(-2，-2）；N(3，-3）
分两种情况讨论：
①当M、N在线段CQ的下方时，由作出的图形可知：M(-2，-2）；N(3，-3）；
②当M、N在线段CQ的上方时，由作出的图形可知：M(0，8）；N(5，7）．
综上所述：M(-2，-2）；N(3，-3）或M(0，8）；N(5，7）．
25. 已知正方形ABC D，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC.
（1）如图1，求证：①；②.
（2）若，
① 如图2，点E在正方形内，连接EC，若，，求的长；
② 如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB=6，当C、E、F在一条直线时，
求AE的长.
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）①由旋转的性质得到△AEB≌△CFB，利用全等三角形的对应边对应角相等证明；
②延长AE交CF于G，交BC于H，证明∠HGC=∠ABC即可；
（2）①连接EF，由BE⊥BF且BE=BF，可得∠BFE=45°，EF2=8，这样在Rt△ECF中，
利用勾股定理可得FC的长， 即可得到结论；
②过点B作BG⊥FC于点G，利用勾股定理可得GC，GF的长，即可得到结论．
试题解析：解：（1）①由旋转的性质可知：△ABE≌△CBF，∴AE=CF；
②延长AE交CF于G，交BC于H．由旋转的性质可知：△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF．∵∠AHB=∠CHG，∴∠HGC=∠ABC=90°，∴AE⊥CF；
（2）①连接EF．∵△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，∠BFC=∠BEA．∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°，∴∠EBC+∠FBC=90°，∴∠EBF=90°，∵BE=BF=2，∴EF2=22+22=8，∠BFE=45°，∴∠EFC=90°，∵EC=5，∴FC==，∴AE=；
②过点B作BG⊥FC于点G．∵△FBE是等腰直角三角形，BE=2，∴BG=FG=GE=，在Rt△BGC中，GC==，∴AE=CF=.
26. 如图1，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点．
(1) 求两点的坐标；
(2) 求的面积；
（3）如图2，若有一条垂直于轴的直线以每秒1个单位的速度从点出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线及轴于点和.设运动时间为，连接．
① 当时，求的值；
② 试探究在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）A（6,0） B（0,3）；（2）3； (3) ① ，②t=2 或t=4或t=6±2.
【详解】试题分析：（1）在y=x+3中，分别令x=0和y=0，即可得到结论；
（2）先解方程组得到点C的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
（3）①由已知得到点Q（6-t，0），用t表示出M，N的坐标，进而表示出．MN．由OA=6，OA=3MN，得到MN的长，解方程即可得到结论；
②分别求出OQ，CQ，OC．分三种情况讨论：OC=OQ；OC=CQ；OQ=CQ．
试题解析：解：（1）在y=x+3中，令x=0，解得：y=3，∴B（0，3），令y=0，解得：x=6，∴A(6，0)；
（2）解方程组： ，得到：y=x=2，∴C（2，2），∴△BOC的面积=OB×xC=×3×2=3；
（3）①点Q（6-t，0），∴M（6-t， ），N（6-t，6-t）．MN= = ．∵OA=6，OA=3MN，∴MN=2，∴=2，解得：t=或；
②∵点Q（6-t，0），∴OQ=，CQ= =，OC==．要使O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形，则有三种情况：OC=OQ；OC=CQ；OQ=CQ．
当OC=OQ时，=，解得：t=；
当OC=CQ时，=，解得：t=2或6（此时Q与O重合，舍去）；
当OQ=CQ时，=，解得：t=4；
综上所述：t的值为2或4或.
点睛：本题是函数综合题．第（3）问难度比较大，需要分类讨论．解题的关键是化动为静，用代数式表示出变化的量，根据题意列方程求解．
2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A. 正方形 B. 长方形 C. 等腰三角形 D. 平行四边形
3. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ）
A. 3、4、8 B. 5、6、11 C. 5、6、10 D. 3、5、10
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线．若∠ABD＝32°，则∠A＝（ ）
A. 32° B. 52° C. 64° D. 72°
5. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
6. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向公路，经测量得知有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A 250 m B. 250 m C. m D. 250m
7. 如图，在下列条件中，没有能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A. BD=DC，AB=AC B. ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C. ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
9. 如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论没有一定成立的是（ ）
A. △ACE≌△BCD B. △BGC≌△AFC C. △DCG≌△ECF D. △ADB≌△CEA
10. 如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
12. 如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP、BP并各自延长，使PC=PA，PD=PB，连接CD，测得CD长为25m，则池塘宽AB为________ m，依据是________
13. 一个零件的形状如图所示，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，则∠BDC＝__________
14. 已知点P(1，a)与Q(b，2)关于x轴成轴对称，又有点Q(b，2)与点M(m，n)关于y轴成轴对称，则m－n的值为__________
15. 如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．
16. 平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________.
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？有多少条对角线？
18. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
19. 用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成有一边的长是5 cm的等腰三角形吗？如果能，求出其他两边的长；如果没有能，说明理由
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图形中作出△ABC 关于 y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（3）是否存在一点P到 AC、AB的距离相等，同时到点 A、点 B的距离也相等．若存在保留作图痕迹标出点P的位置，并简要说明理由；若没有存在，请说明理由．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．
(1) 求证：CD＝BE；
(2) 若AD＝3.5 cm，DE＝2.7 cm，求BE长．
22. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
(1) 说明BE＝CF的理由
(2) 如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的长
23. （1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间数量关系是__________，△AEF的周长是__________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为没有等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件没有变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论没有证明．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
（1）如图1，若S△AOP＝12，求P的坐标
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由
2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.
【详解】A、C是对称图形，但没有是轴对称图形；B是轴对称图形；D没有是对称图形.
故选B.
本题考查的是轴对称图形的定义.
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A. 正方形 B. 长方形 C. 等腰三角形 D. 平行四边形
【正确答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性可得答案.
【详解】解：根据“三角形具有稳定性”可知等腰三角形有稳定性.
故C项符合题意
故本题正确答案为C.
本题主要考查三角形的基本性质:稳定性.
3. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ）
A. 3、4、8 B. 5、6、11 C. 5、6、10 D. 3、5、10
【正确答案】C
【分析】解：A、3+4＜8，故没有能组成三角形，故A错误；
B、5+6=11，故没有能组成三角形，故B错误；
C、5+6＞10，故能组成三角形，故C正确；
D、3+5＜10，故没有能组成三角形，故D错误．
故选C．
点睛：本题主要考查了三角形三边的关系，判定三条线段能否构成三角形时并没有一定要列出三个没有等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】请在此输入详解！
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线．若∠ABD＝32°，则∠A＝（ ）
A. 32° B. 52° C. 64° D. 72°
【正确答案】B
【详解】解：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD．∵∠ABD=32°，∴∠ABC=2∠ABD=2×32°=64°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=∠C=64°，∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠C=180°﹣2×64°=52°．故选B．
点睛：本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．
5. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
【正确答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的部位看成三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，没有要漏解．
6. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测量得知有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A. 250 m B. 250 m C. m D. 250m
【正确答案】A
【详解】解：由已知得：∠AOB=30°，OA=500m．则AB=OA=250m．故选A．
7. 如图，在下列条件中，没有能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A. BD=DC，AB=AC B. ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC
【正确答案】D
【分析】两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：
【详解】分析：
∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，没有能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【正确答案】A
【详解】解：∵点E正好在AC的垂直平分线上，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC．∵点E为点B的对折后对应的点，∴∠B=∠AEB =2∠C．∵∠C+∠B=90°，∴∠C=30°．故选A．
点睛：本题考查的是图形对折后的性质及三角形的内角和为180°，折叠的图形与其对应的图形全等，即对应的边，对应的角都相等．
9. 如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论没有一定成立的是（ ）
A. △ACE≌△BCD B. △BGC≌△AFC C. △DCG≌△ECF D. △ADB≌△CEA
【正确答案】D
【详解】试题分析：△ABC和△CDE是等边三角形
BC=AC，CE=CD，
即
在△BCD和△ACE中
△BCD≌△ACE
故A项成立；
在△BGC和△AFC中
△BGC≌△AFC
B项成立；
△BCD≌△ACE
，
在△DCG和△ECF中
△DCG≌△ECF
C项成立 D项没有成立.
考点：全等三角形的判定定理.
10. 如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】D
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【详解】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG=∠CAP，
∴∠APG=∠BAP，
∴GA=GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB=AC：AB，
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∴FP=FC，
故①②③④都正确．
故选D．
本题考查角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题关键．
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
【正确答案】
【详解】分析：本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
详解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°-50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案为80°．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
12. 如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP、BP并各自延长，使PC=PA，PD=PB，连接CD，测得CD长为25m，则池塘宽AB为________ m，依据是________
【正确答案】 ①. 25； ②. SAS
【详解】在△APB和△DPC中，
PC=PA，∠APB=∠CPD，PD=PB，
∴△APB≌△CPD（SAS）；
∴AB=CD=25米（全等三角形对应边相等）．
答：池塘两端的距离是25米．
故答案为25，SAS.
点睛：本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
13. 一个零件的形状如图所示，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，则∠BDC＝__________
【正确答案】131°
【详解】解：延长CD交AB于E．∵∠C=20°，∠BAC=90°，∴∠CEB=∠C+∠BAC=110°．∵∠B=21°，∴∠BDC=∠B+∠CEB=21°+110°=131°．故答案为131°．
点睛：本题考查了三角形外角的性质，能灵活运用性质进行推理是解答此题的关键．注意：三角形的一个外角等于和它没有相邻的两个内角的和．
14. 已知点P(1，a)与Q(b，2)关于x轴成轴对称，又有点Q(b，2)与点M(m，n)关于y轴成轴对称，则m－n的值为__________
【正确答案】－3
【分析】根据轴对称的点的坐标变化规律可得出答案
【详解】解：∵点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，
∴b=1，a=﹣2．
∵点Q（b，2）与点M（m，n）关于y轴成轴对称，
∴m=﹣1，n=2，
则m﹣n=﹣1﹣2=﹣3．
故答案为﹣3．
本题考查了轴对称，明确关于x(y)轴对称的点的坐标的规律是解题关键.
15. 如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．
【正确答案】74
【分析】首先根据三角形角平分线的定义求出∠BCE，然后在Rt△CBD中求出∠BCD，从而得到∠DCF，最终在Rt△CDF中求解即可得出结论．
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°-40°-72°=68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACB=×68°=34°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD＋∠B=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=90°-72°=18°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF＋∠CDF=90°，
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-16°=74°，
故74．
本题考查三角形中角平分线相关的角度计算，掌握三角形中角平分线的定义以及直角三角形两锐角互余是解题关键．
16. 平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________.
【正确答案】5
【详解】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0），∴AB=．
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），∵点（0，4）与直线AB共线，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故答案为5．
点睛：本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？有多少条对角线？
【正确答案】九边形、27条
【详解】试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n-2）×180°=1260°，然后解方程即可．
试题解析：解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）×180°=1260°
解得：n=9，∴这个多边形为九边形，∴对角线的条数=(9−3)×9 ÷2 =27条．
答：这个多边形是九边形，有27条对角线．
18. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
【正确答案】详见解析.
【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE．
【详解】证明：由BE＝CF可得BC＝EF，
又AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
则∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
19. 用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成有一边的长是5 cm的等腰三角形吗？如果能，求出其他两边的长；如果没有能，说明理由
【正确答案】能，7.5 cm、7.5 cm
【分析】题中没有指明5cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行讨论，注意利用三角形三边的关系进行检验．
【详解】解：①当5cm为底时，腰长=7.5cm；
②当5cm为腰时，底边=10cm，因为5+5=10，故没有能构成三角形，故舍去；
故能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm，7.5cm．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图形中作出△ABC 关于 y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（3）是否存在一点P到 AC、AB的距离相等，同时到点 A、点 B的距离也相等．若存在保留作图痕迹标出点P的位置，并简要说明理由；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）根据三点的坐标作出△ABC，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据已知条件知：点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点，据此作图即可．
试题解析：解：（1）如图，S△ABC=×5×3=7.5；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3）；
（3）如图所示，点P即为所求．∵点P到AC、AB的距离相等，∴点P在∠CAB平分线上．∵到点A、点B的距离也相等，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P为∠CAB平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
点睛：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点及角平分线和中垂线的性质是解答此题的关键．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．
(1) 求证：CD＝BE；
(2) 若AD＝3.5 cm，DE＝2.7 cm，求BE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；(2) 0.8 cm．
【分析】（1）根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC；
（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，∵∠E＝∠ADC，∠EBC＝∠DCA，BC＝AC，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC；
（2）∵△CEB≌△ADC，
∴BE=DC，CE=AD=3.5．
∵DC=CE－DE，DE=2.7cm，
∴DC=3.5－2.7=0.8cm，
∴BE=0.8cm．
本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
22. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
(1) 说明BE＝CF的理由
(2) 如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的长
【正确答案】（1）见解析；（2）AE＝，BE＝
【详解】试题分析：（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，进而就可以求出结论．
试题解析：解：（1）连接DB、DC．∵DG⊥BC且平分BC，∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°．在Rt△DBE和Rt△DCF中，∵DB=DC，DE=DF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE=CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF．∵AC+CF=AF，∴AE=AC+CF．
∵AE=AB﹣BE，∴AC+CF=AB﹣BE．
∵AB=a，AC=b，∴b+BE=a﹣BE，∴BE=，∴AE=a﹣=．
答：AE=，BE=．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. （1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是__________，△AEF的周长是__________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为没有等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件没有变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论没有证明．
【正确答案】（1）5；BE+CF=EF；20； （2）2；BE+CF=EF，证明见解析；△AEF的周长=18；（3）BE-CF=EF，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE=ED，CF=DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
试题解析：解：（1）BE+CF=EF．理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF，△AEF周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20．
故答案为5；BE+CF=EF；20；
（2）BE+CF=EF．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD．∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF．△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18．
此时有两个等腰三角形，EF＝BE＋CF，C△AEF＝18．
（3）BE﹣CF=EF．由（1）知BE=ED．∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，∴CF=DF．又∵ED﹣DF=EF，∴BE﹣CF=EF．
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点
（1）如图1，若S△AOP＝12，求P坐标
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由
【正确答案】（1）P(2，4)；（2）PM＝PN，PM⊥PN，理由见解析；（3）OD＝AE，理由见解析
【分析】（1）如图1中，作PH⊥OA于H．线求出直线AB的解析式，利用面积构建方程求出PH即可解决问题；
（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；
（3）结论：OD=AE．如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．
∵A(6，0)，B(0，6)，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．
∵•OA•PH=12，
∴PH=4，
当y=4时，4=﹣x+6，
∴x=2，
∴P（2，4）．
（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．证明如下：
如图2中，连接OP．
∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=PA，
∴OP=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，
∴∠OPA=90°．
∵AM=ON，OP=OP，
∴△PON≌△PAM，
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（3）结论：OD=AE．理由如下：
如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G．
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP．
∵∠PAE=∠PAG=45°，PA=PA，
∴△PAE≌△PAG，
∴AE=AG，∴OD=AE．
本题是三角形综合题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
1. 下列数学符号中，属于对称图形的是（ ）
∴ ∽ ⊥
A. B. C. D.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的硬币10次，一定会有5次正面向上
B. “ x2＜0（是实数）”是随机
C. “抛掷1枚骰子，向上的点数为6”是随机
D. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然
3. 实数的整数部分是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 矩形具有而平行四边形没有一定具有的性质是（ ）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（ ）
A. B. 4 C. 4或 D. 以上都没有对
6. 已知直线没有第三象限，则下列结论正确的是（ ）
A. k＞0， b＞0； B. k＜0， b＞0； C. k＜0， b＜0； D. k＜0， b≥0
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
7. 点第__________ 象限．
8. “生态兴化，如诗如画”．兴化市正全力打造成国家全域旅游示范区，为该市市民对兴化全域旅游的情况了解，宜采用______(填“全面”或“抽样”)的方式．
9. 据统计：我国用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿到_____位．
10. 已知，是函数的图象上的两个点，则的大小关系是_______________.
11. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则AC= _________
12. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π,，，1.333，随机抽取1张，则取出的数是无理数的概率是_______.
13. 若等腰三角形的一个角为 80°，则顶角为_________．
14. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AD、AB、CB、DC的中点，当四边形ABCD满足条件________时所得的四边形EFGH是菱形.
15. 点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线的距离是_____.
16. 已知点A、B的坐标分别为A（-4，0）、B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为6，以点A、B、C为顶点作□ABCD.若过原点的直线平分该□ABCD的面积，则此直线的解析式是________．
三、解 答 题（本大题共10小题，共102分）
17. （1）计算： ；
（2）已知：，求的值.
18. 学校有一个长为25m,宽为12m的长方体游泳池，当前水位是0.1m. 现往游泳池注水,水位每小时上升0.3m.
(1) 写出游泳池水深d（m）与注水时间x（h）的函数表达式；
(2) 如果x（h）共注水y（m3）,求y与x的函数表达式.
19. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）△BEF是等腰三角形吗？试说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求CF的长度．
20. 中国古代数学家们对于勾股定理发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明a2+b2=c2；
(2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值.
21. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷，被学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
22. 已知y-1与x+2成正比例，且x=-1时，y=3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象点（m-1，m+1），求m的值.
23. 如图，在平行四边形中，∠BAD平分线交于E，点在上，且，连接．
(1) 判断四边形的形状并证明；
(2) 若、相交于点，且四边形的周长为，，求的长度及四边形的面积.
24. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的方格形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等.
实验与操作：
（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
（2）在射线AP上找到一点Q，使QB=QC.
探索与计算：
如果A点坐标为（-1，-3），
（1）试在图中建立平面直角坐标系；
（2）若点M、N是坐标系中小正方形的顶点，且四边形QCMN是一个正方形，则 M点的坐标是__________，N点的坐标是___________.
25. 已知正方形ABC D，E平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC.
（1）如图1，求证：①；②.
（2）若，
① 如图2，点E在正方形内，连接EC，若，，求的长；
② 如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB=6，当C、E、F在一条直线时，
求AE的长.
26 如图1，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点．
(1) 求两点的坐标；
(2) 求的面积；
（3）如图2，若有一条垂直于轴的直线以每秒1个单位的速度从点出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线及轴于点和.设运动时间为，连接．
① 当时，求的值；
② 试探究在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年山东省淄博市八年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
1. 下列数学符号中，属于对称图形的是（ ）
∴ ∽ ⊥
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：A和D是轴对称图形，B是对称图形，C既没有是轴对称图形也没有是对称图形．故选B．
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的硬币10次，一定会有5次正面向上
B. “ x2＜0（是实数）”是随机
C. “抛掷1枚骰子，向上的点数为6”是随机
D. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然
【正确答案】C
【详解】解： A、随机，故选项A错误；
B、没有可能，故选项B错误；
C、正确；
D、随机，故选项D错误．
故选C．
点睛：本题考查概率的意义、全面与抽样、随机，解题的关键是明确概率的意义，根据实际情况选择合适的方式．
3. 实数的整数部分是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】B
【详解】试题解析：
的整数部分是3.
故选B.
4. 矩形具有而平行四边形没有一定具有的性质是（ ）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
【正确答案】C
【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，没有一定相等．
故选C．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形没有具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（ ）
A. B. 4 C. 4或 D. 以上都没有对
【正确答案】A
【详解】解：∵∠C=90°，AC=5，BC=3，∴AB===．故选A．
6. 已知直线没有第三象限，则下列结论正确的是（ ）
A. k＞0， b＞0； B. k＜0， b＞0； C. k＜0， b＜0； D. k＜0， b≥0
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵直线没有第三象限，∴k＜0，b≥0．故选D．
考点：函数图象与系数的关系．
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
7. 点在第__________ 象限．
【正确答案】二
【详解】解：点(-1，1)在第二象限．故答案为二．
8. “生态兴化，如诗如画”．兴化市正全力打造成国家全域旅游示范区，为该市市民对兴化全域旅游的情况了解，宜采用______(填“全面”或“抽样”)的方式．
【正确答案】抽样
【详解】解：采用抽样的方式．故答案为抽样．
9. 据统计：我国用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿到_____位．
【正确答案】百万
【详解】解：8.87亿到百万位．故答案为百万．
10. 已知，是函数的图象上的两个点，则的大小关系是_______________.
【正确答案】y1
【详解】把，代入可得 ，所以y1
【正确答案】4
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AO=AC，BO=BD，AC=BD，∴AO=BO．又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴AC=2AB=4．
12. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π,，，1.333，随机抽取1张，则取出的数是无理数的概率是_______.
【正确答案】0.4
【详解】解：一共有5个数，无理数有π，共2个，∴抽到写有无理数的卡片的概率是2÷5=0.4．故答案为0.4．
点睛：考查概率公式的应用；判断出无理数的个数是解决本题的易错点．
13. 若等腰三角形的一个角为 80°，则顶角为_________．
【正确答案】80°或20°
【分析】由于没有明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】①当80°的角为等腰三角形的顶角时，其顶角为80°，
②当80°的角为等腰三角形的底角时，
顶角的度数==20°；
故它的底角的度数是80°或20°．
故80°或20°．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，正确解题的关键是分80°的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况讨论．
14. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AD、AB、CB、DC的中点，当四边形ABCD满足条件________时所得的四边形EFGH是菱形.
【正确答案】AC=BD
【详解】解：点E，F分别是四边形ABCD的边AD，AB中点，∴EF∥BD，EF=BD，同理：HG∥BD，HG=BD，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形RFGH是平行四边形．∵AC=BD，∴EF=EH．∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为AC=BD．
15. 点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线的距离是_____.
【正确答案】；
【详解】试题分析：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣﹣1=，AB==，∴×h=，∴h=．故答案为．
考点：勾股定理．
16. 已知点A、B的坐标分别为A（-4，0）、B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为6，以点A、B、C为顶点作□ABCD.若过原点的直线平分该□ABCD的面积，则此直线的解析式是________．
【正确答案】或
【详解】解：∵A（-4，0）、B（2，0），∴AB=6，∵点C在y轴上，且△ABC的面积为6，∴C(0，±2)，
当C(0，2)时，如图所示，∵ABCD是平行四边形，∴D（－6，2），∵E是对角线的交点，∴AE=EC，∴点E是AC的中点，∴E(－2，1)．∵过平行四边形对角线交点的任意直线都平分平行四边形的面积，∴直线OE平分平行四边形的面积，∴直线OE的解析式为：；
同理：当C′(0，－2)时，直线OE′的解析式为：．故答案为 或．
点睛：本题考查了平行四边形的性质．准确找出平行四边形第四个顶点的坐标和过平行四边形对角线交点的任意直线都平分平行四边形的面积这个性质是解答本题的关键．
三、解 答 题（本大题共10小题，共102分）
17. （1）计算： ；
（2）已知：，求的值.
【正确答案】（1） ；（2）x=4或x= -2
【详解】试题分析：（1）根据值，算术平方根，零指数幂的意义解答即可；
（2）根据平方根的定义解答即可．
试题解析：解：（1）原式==；
（2），∴x-1=±3，∴x=4或x= -2．
18. 学校有一个长为25m,宽为12m的长方体游泳池，当前水位是0.1m. 现往游泳池注水,水位每小时上升0.3m.
(1) 写出游泳池水深d（m）与注水时间x（h）的函数表达式；
(2) 如果x（h）共注水y（m3）,求y与x的函数表达式.
【正确答案】（1）d=0.3x+0.1；（2）y=90x+30
【详解】试题分析：（1）根据题意可以得到游泳池水深d（m）与注水时间x（h）的函数表达式；
（2）根据题意和（1）中的结果可以求得y与x的函数表达式．
试题解析：解：（1）由题意可得：d=03x+0.1；
（2）由题意可得：y=25×12×（0.3x+0.1）=90x+30，即y与x的函数表达式为y=90x+30．
点睛：本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答问题．
19. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）△BEF是等腰三角形吗？试说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求CF的长度．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）由AD∥BC得到∠1=∠2，由折叠性质得到∠2=∠FEB，则∠1=∠FEB，于是可判断△EBF是等腰三角形；
（2）设BE=x，则DE=x，AE=AD﹣DE=8﹣x，在Rt△ABE中，理由勾股定理得到（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，而△EBF是等腰三角形，所以BF=BE=5，即可得到CF的长．
试题解析：解：（1）△BEF是等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上，∴∠2=∠FEB，∴∠1=∠FEB，∴△BEF是等腰三角形；
（2）设BE=x，则DE=x，∴AE=AD﹣DE=8﹣x，在Rt△ABE中，（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，∵△EBF是等腰三角形，∴BF=BE=5，∴CF=BC-BF=AD-BF=8-5=3．
点睛：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的判定．
20. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明a2+b2=c2；
(2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值.
【正确答案】（1）详见解析；（2）18
【详解】试题分析：（1）根据大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积计算即可；
（2）由图可得到（b-a）2和2ab的值，代入（a+b）2=（b-a）2+4ab，即可得到结论．
试题解析：解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b-a）2，∴c2=4×ab+（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2 即c2=a2+b2；
(2) 由图可知，（b-a）2=2， 4×ab=10-2=8， ∴2ab=8，（a+b）2=（b-a）2+4ab=2+2×8=18．
21. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷，被学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍学生人数．
【正确答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）12；（4）300人
【分析】（1）由76÷38%，可得总人数；先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；（2）扇形图，分别求出人数，再画图；
（3）用社科类百分比×2500可得．
【详解】解：（1）此次共的人数人；
（2）生活类人数人，
小说类的人数为人，
补全图形，如下图：
（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：
2500×12%=300人．
本题考核知识点：数据的整理，用样本估计总体，解题关键是从统计图获取信息．
22. 已知y-1与x+2成正比例，且x=-1时，y=3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象点（m-1，m+1），求m的值.
【正确答案】（1）y=2x+5；（2）m= -2
【详解】试题分析：（1）根据题意设出函数解析式，把当x=-1时，y=3代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式；
（2）将点（m-1， m +1）代入函数的解析式中，即可求得m的值；
试题解析：解：（1）∵y－1与x+2成正比例，∴设y－1=k（x+2），∵x=-1时，y=3，∴3－1=k（－1+2），解得：k=2，∴y与x的关系式为：y=2x+5；
（4）把点（m-1， m +1）代入y=2x+5中，得m+1=2(m-1)+5，解得：m=﹣2．
点睛：本题考查了待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形中，∠BAD的平分线交于E，点在上，且，连接．
(1) 判断四边形的形状并证明；
(2) 若、相交于点，且四边形的周长为，，求的长度及四边形的面积.
【正确答案】（1）四边形是菱形，证明略，（2）AE=8；四边形ABEF的面积是24
【详解】试题分析：（1）由角平分线的定义可得∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；
（2）根据菱形性质可得AE⊥BF，BO=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长，根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出结论．
试题解析：解：（1）∵AE是∠BAF的角平分线，∴∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∵AB=AF，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；
（2）∵四边形ABEF为菱形，且周长为20，∴AB=5，AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8，菱形ABEF面积=AE×BF=×8×6=24．
点睛：此题主要考查了菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．
24. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的方格形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等.
实验与操作：
（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
（2）在射线AP上找到一点Q，使QB=QC.
探索与计算：
如果A点坐标为（-1，-3），
（1）试在图中建立平面直角坐标系；
（2）若点M、N是坐标系中小正方形的顶点，且四边形QCMN是一个正方形，则 M点的坐标是__________，N点的坐标是___________.
【正确答案】（1）见解析；（2）(-2，-2）或(0，8），(3，-3）或(5，7）.
【详解】试题分析：实验与操作：（1）P为∠BAC的平分线与BC的交点；
（2）Q为射线AP与线段BC的垂直平分线的交点；
探索与计算：（1）根据A点坐标为（-1，-3）建立直角坐标系即可；
（2）根据作出的图形，直接写出M、N的坐标即可．
试题解析：解：实验与操作：（1）如图点P （2）如图点Q；
探索与计算：（1）如图建立坐标系；（2）M(-2，-2）；N(3，-3）
分两种情况讨论：
①当M、N在线段CQ的下方时，由作出的图形可知：M(-2，-2）；N(3，-3）；
②当M、N在线段CQ的上方时，由作出的图形可知：M(0，8）；N(5，7）．
综上所述：M(-2，-2）；N(3，-3）或M(0，8）；N(5，7）．
25. 已知正方形ABC D，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC.
（1）如图1，求证：①；②.
（2）若，
① 如图2，点E在正方形内，连接EC，若，，求的长；
② 如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB=6，当C、E、F在一条直线时，
求AE的长.
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）①由旋转的性质得到△AEB≌△CFB，利用全等三角形的对应边对应角相等证明；
②延长AE交CF于G，交BC于H，证明∠HGC=∠ABC即可；
（2）①连接EF，由BE⊥BF且BE=BF，可得∠BFE=45°，EF2=8，这样在Rt△ECF中，
利用勾股定理可得FC的长， 即可得到结论；
②过点B作BG⊥FC于点G，利用勾股定理可得GC，GF的长，即可得到结论．
试题解析：解：（1）①由旋转的性质可知：△ABE≌△CBF，∴AE=CF；
②延长AE交CF于G，交BC于H．由旋转的性质可知：△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF．∵∠AHB=∠CHG，∴∠HGC=∠ABC=90°，∴AE⊥CF；
（2）①连接EF．∵△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，∠BFC=∠BEA．∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°，∴∠EBC+∠FBC=90°，∴∠EBF=90°，∵BE=BF=2，∴EF2=22+22=8，∠BFE=45°，∴∠EFC=90°，∵EC=5，∴FC==，∴AE=；
②过点B作BG⊥FC于点G．∵△FBE是等腰直角三角形，BE=2，∴BG=FG=GE=，在Rt△BGC中，GC==，∴AE=CF=.
26. 如图1，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点．
(1) 求两点的坐标；
(2) 求的面积；
（3）如图2，若有一条垂直于轴的直线以每秒1个单位的速度从点出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线及轴于点和.设运动时间为，连接．
① 当时，求的值；
② 试探究在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）A（6,0） B（0,3）；（2）3； (3) ① ，②t=2 或t=4或t=6±2.
【详解】试题分析：（1）在y=x+3中，分别令x=0和y=0，即可得到结论；
（2）先解方程组得到点C的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
（3）①由已知得到点Q（6-t，0），用t表示出M，N的坐标，进而表示出．MN．由OA=6，OA=3MN，得到MN的长，解方程即可得到结论；
②分别求出OQ，CQ，OC．分三种情况讨论：OC=OQ；OC=CQ；OQ=CQ．
试题解析：解：（1）在y=x+3中，令x=0，解得：y=3，∴B（0，3），令y=0，解得：x=6，∴A(6，0)；
（2）解方程组： ，得到：y=x=2，∴C（2，2），∴△BOC的面积=OB×xC=×3×2=3；
（3）①点Q（6-t，0），∴M（6-t， ），N（6-t，6-t）．MN= = ．∵OA=6，OA=3MN，∴MN=2，∴=2，解得：t=或；
②∵点Q（6-t，0），∴OQ=，CQ= =，OC==．要使O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形，则有三种情况：OC=OQ；OC=CQ；OQ=CQ．
当OC=OQ时，=，解得：t=；
当OC=CQ时，=，解得：t=2或6（此时Q与O重合，舍去）；
当OQ=CQ时，=，解得：t=4；
综上所述：t的值为2或4或.
点睛：本题是函数综合题．第（3）问难度比较大，需要分类讨论．解题的关键是化动为静，用代数式表示出变化的量，根据题意列方程求解．
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