2015年江苏省常州市中考数学试卷

一、选择题（每小题2分，共16分）

1．（2分）﹣3的绝对值是（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．

2．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2

3．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°

5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）

A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB

6．（2分）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（　　）

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b

7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）

A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1

8．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（　　）

A．cm2 B．8cm2 C．cm2 D．16cm2

二、填空题（每小题2分，共20分）

9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1=　   　．

10．（2分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为　   　．

11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2=　   　．

12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是　   　．

13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是　   　．

14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是　   　．

15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　   　．

16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是　   　．

17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．

4=2+2；　　　　　 12=5+7；

6=3+3；　　　　　 14=3+11=7+7；

8=3+5；　　　　 　16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11；

…

通过这组等式，你发现的规律是　   　（请用文字语言表达）．

18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　   　．

三、解答题（共10小题，共84分）

19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．

20．（8分）解方程和不等式组：

（1）；　　　　　（2）．

21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？

（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；

（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．

22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．

（1）求甲第一个出场的概率；

（2）求甲比乙先出场的概率．

23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．

（1）求证：AE=AF；

（2）求∠EAF的度数．

24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．

（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；

（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？

25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．

（1）若AD=2，求AB；

（2）若AB+CD=2+2，求AB．

26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．

（1）阅读填空

如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．

理由：连接AH，EH．

∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．

∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°

∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽　   　．

∴，即DH2=AD×DE．

又∵DE=DC

∴DH2=　   　，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

（2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．

如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．

（3）解决问题

三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的　   　（填写图形名称），再转化为等积的正方形．

如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．

（4）拓展探究

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．

如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．

（1）写出点A的坐标；

（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．

28．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．

（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．