2022-2023学年重庆市第十八中学高一上学期10月能力摸底数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市第十八中学高一上学期10月能力摸底数学试题

一、单选题

1．下列关系中，正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系求解.

【详解】根据常见的数集，元素与集合的关系可知，，，不正确，

故选：C

2．已知集合，，若，，则一定有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别分析每个选项，举出反例以否定错误选项.

【详解】对于选项A，当集合时，，故此选项错误；

对于选项B，当集合时，，故此选项错误；

对于选项C，当集合时，，故此选项错误；

对于选项D，因为，，且，所以，故此选项正确.

故选：D.

3．已知集合，则（    ）

A．（0，1] B．[0，1） C．（0，＋∞） D．

【答案】A

【分析】首先根据补集的运算求得，再和求交集即可.

【详解】，

所以（0，1].

故选：A

4．“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神.从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的（    ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：设为不到长城，推出非好汉，即，

则，即好汉到长城，

故“好汉”是“到长城”的充分条件，

故选：A．

5．若命题“”为真命题，则实数可取的最小整数值是（    ）

A． B．0 C．1 D．3

【答案】A

【分析】由题意可得只需即可,再由二次函数的性质求出的最小值即可得的取值范围，从而得答案.

【详解】解：因为为真命题，

所以为真命题，

只需即可,

由二次函数的性质的可知的最小值为，

所以，

所以可取的最小整数值是-1.

故选：A.

6．整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断错误的是（    ）

A． B．

C． D．若，则整数a，b属同一类

【答案】B

【分析】由“类”的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对A，，即余数为2，正确；

对B，，即余数为1，错误；

对C，易知全体整数被4除的余数只能是0，1，2，3，正确；

对D，由题意能被4整除，则a，b分别被4除的余数相同，正确．

故选：B．

7．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A．－4 B．4 C．5 D．8

【答案】C

【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.

【详解】由的解集为，

则，且，是方程的两根，

由根与系数的关系知，

解得，，当且仅当时等号成立，

故， 设，

函数在上单调递增，

所以

所以的最小值为5.

故选：C

8．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ）

A．32 B．64 C．80 D．192

【答案】D

【分析】依次计算集合的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即可得．

【详解】集合的所有非空子集的交替和的总和为，

集合的所有非空子集的交替和的总和为，

集合的所有非空子集的交替和的总和为，

集合的所有非空子集的交替和的总和为 ，

由此猜测集合的所有非空子集的交替和的总和为，

所以．

故选：D．

二、多选题

9．下列各组中M、P表示不同集合的是（    ）

A．，

B．

C．，

D．，

【答案】BD

【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.

【详解】选项A中，根据集合的无序性可知；

选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；

选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P；

选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故．

故选：BD．

10．下列说法正确的是（    ）

A．命题“”的否定是“”

B．命题“”的否定是“”

C．“”是“”的必要而不充分条件；

D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”

【答案】BD

【分析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可判断选项A，B是否正确；根据即可判断选项C是否正确；根据和两种情况，结合二次函数的性质，即可判断D是否正确.

【详解】对于选项A：命题“”的否定是“”故A错误．

对于选项B：命题“”的否定是“”故B正确．

对于选项C：因为，所以“”是“”的既不必要又不充分条件，故C错误．

对于选项D：当时，显然成立；当时，关于的不等式对任意恒成立，则，即，所以“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”，故D正确．

故选：BD．

11．不等式对任意恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】将题设不等式化为标准的一元二次不等式，由其恒成立得，再结合不等式的性质变形后判断ACD选项即可，对于B，则举反例排除.

【详解】对于A，将整理为，

因为对任意恒成立，所以，

即，整理得，故A正确；

对于B，令，则，满足题意，故B错误；

对于C，由A知，即，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：ACD.

12．已知是正数，且，下列叙述正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AB

【分析】由题可知，且，利用基本不等式可判断A,C,D,构造二次函数型可判断B.

【详解】因为是正数，且，

所以不等式可知，即，得，

当且仅当，即取得等号，

所以的最大值为，所以A正确;

因为是正数，且，

所以，且，

所以，

当时有最小值为，

所以B正确;

由以上知，且，

所以，

因为，即，

当且仅当即时取等号，因为

所以等号不成立，即，

所以C错误;

因为，

当且仅当，即，

解得时等号成立，即，

所以的最小值为，

所以D错误.

故选:AB.

三、填空题

13．不等式的解集为________.

【答案】

【分析】把不等式，转化为不等式，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，不等式，等价于，

即，也即，

解得，

即不等式的解集为.

故答案为：.

14．请写出不等式的一个充分不必要条件___________．

【答案】 (答案不唯一)

【分析】根据充分不必要条件，找到一个能推出，但是推不出来的条件即可.

【详解】因为能推出，但是不能推出，

所以是不等式的一个充分不必要条件，

故答案为：（答案不唯一）

15．已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____

【答案】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念以及解不等式的相关知识即可求解.

【详解】命题，解得，显然解集非空，

命题，解得

因为是的充分不必要条件，

所以

所以，解得，即

故答案为：

16．已知正实数满足，则的最小值为________.

【答案】．

【分析】由基本不等式求最小值．

【详解】因为，则，

，

，当且仅当，即时等号成立．

故答案为：．

四、解答题

17．已知全集，，．

(1)求且；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，用列举法表示集合，分析属于但不属于的元素，即可得答案；

（2）根据题意，由集合、求出、，再由交集的定义计算可得，即可得答案.

【详解】(1)由题意知，，

因为且，，

所以.

(2)因为，，

所以

18．已知集合，集合

(1)当时，比较与的大小；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用作差法比较大小即可．

（2）根据题意可得，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案．

【详解】(1)因为，

所以；

(2) “”是“”的充分不必要条件，

，

，

，

，

则，

解得，

经检验知，当时，，不合题意，

实数的取值范围．

19．已知集合，．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围；

（2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围．

【详解】（1）因为，所以或．

又且，

所以，解得

所以实数的取值范围是．

（2）若（补集思想），则．

当时，，解得；

当时，，即，

要使，则，得．

综上，知时，，

所以时，实数的取值范围是．

20．已知函数．

(1)若关于的不等式的解集为，求的值；

(2)若对任意，恒成立，求实数的最大值．

【答案】(1)2

(2)4

【分析】（1）依题意为方程的唯一解，则，解得即可；

（2）依题意对任意 ，恒成立，即，利用基本不等式求出的取值范围，即可求解；

【详解】(1)关于的不等式的解集为，

即为方程的唯一解，

所以，

解得；

(2)对任意，恒成立，

即对任意的恒成立，

即恒成立，

也即在恒成立，

因为，

所以，

所以

当且仅当时，即，即时取等号，

所以，

所以实数的最大值为4．

21．设．

(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据条件不等式对一切实数x恒成立，转化为对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；

（2）不等式代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．

【详解】(1)，恒成立等价于，，

当时，，对一切实数不恒成立，则，

此时必有，即，解得，

所以实数的取值范围是.

(2)则，

①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，

不等式的解集为（-∞，1）；

当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；

②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0，

∴不等式的解集为（，1）；

③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，

当-1＜a＜0时，1＜，

不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；

当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．

当a＜-1时，1＞，

不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；

综上：当a=0时，不等式的解集为（-∞，1）；

当a＞0时，不等式的解集为（，1）；

当a＜0时，不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；

当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠-1}．

当a＜-1时，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；

22．已知实数满足．

(1)试比较和的大小；

(2)利用（1）的结论，比较与的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．

（2）令，，构造，即以，即，然后利用（1）的结论可得．

【详解】(1)，

又，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足，

所以成立.

(2)令，，构造，

所以，即，因此，

所以，

取等号时，且同正，

结合，解得，即，．

所以时，取得最小值．

所以