2022-2023学年重庆市凤鸣山中学教育集团高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市凤鸣山中学教育集团高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据补集的运算得到，再根据交集的运算即可得出答案.

【详解】因为，

所以或.

所以

故选：B.

2．命题，，则是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，且否定结论求解.

【详解】命题，，故：，，

故选D.

【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，含有量词的命题的否定：换量词，否结论.

3．已知命题，命题，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】直接利用充分不必要条件的定义判断得解.

【详解】因为命题，命题，

所以当命题成立时，命题一定成立；

当命题成立时，命题不一定成立.

所以是的充分不必要条件.

故选：A

4．函数的单调递增区间是（    ）

A． B．和

C． D．和

【答案】B

【解析】作出函数的图象，由图象求解单调区间.

【详解】，

作出其图象如图所示：

由图象可知，函数的增区间为和.

故选:B

5．若，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.

【详解】f（1）＝x+，

设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，

∴f（t）＝（t﹣1）2+﹣1＝t2﹣t，t≥1，

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．

故选：.

【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.

6．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数为偶函数求出的值，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.

【详解】因为函数为幂函数，则，

即，解得或，

当时，为偶函数，合乎题意；

当时，为非奇非偶函数，不合乎题意.

所以，，则，

二次函数的对称轴为直线.

①若函数在上为增函数，则，解得；

②若函数在上为减函数，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：B.

7．已知函数定义域为，则函数定义域为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据二次根式的性质，结合函数的定义域进行求解即可.

【详解】函数需满足，解得．

故选：A

8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（    ）年时，其营运的年平均利润最大.

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】先根据题意求出总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系式，从而可得，化简后利用基本不等式可求得其最大值.

【详解】根据二次函数的图象设二次函数为，

因为图象过，

所以，解得，

所以（），

所以

，当且仅当，即时取等号，

所以每辆客车营运5年时，其营运的年平均利润最大，

故选：C.

9．下列结论中，正确的结论有（    ）

A．如果，那么取得最大值时的值为

B．如果，，，那么的最小值为6

C．函数的最小值为2

D．如果，，且，那么的最小值为2

【答案】A

【分析】利用基本不等式以及等号成立的条件即可确定最值.

【详解】对于A,因为，

当且仅当时取得等号，所以A正确；

对于B,因为，所以，

因为，即，当且仅当，即时取得等号.

所以，整理得，

解得或（舍），所以B错误；

对于C,因为,

当且仅当即，无解，即取不到等号，所以C错误;

对于D，，

因为

，

当且仅当，且，即，

此时，故D错误.

故选：A.

二、多选题

10．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】分别令等于，判断是否为整数即可求解.

【详解】对于选项A：，存在或使得其成立，故选项A正确；

对于选项B：，存在，使得其成立，故选项B正确；

对于选项C：由，可得，，

若则可得， ，不成立；

若则可得， ，不成立；

若，可得，此时， ，不成立；

同理交换与，也不成立，所以不存在为整数使得成立，故选项C不正确；

对于选项D：，此时存在或使得其成立，故选项D正确，

故选：ABD.

11．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】对于A，令，代入中化简可求出，对于B，令，代入中化简可求出，对于C，令，可求出，再令，可求出，从而可求出，对于D，令，代入计算可得答案

【详解】对于A，令，则，因为，所以，所以，所以A正确，

对于B，令，则，所以，所以，所以，所以B错误，

对于C，令，则，令，则，所以，所以C错误，

对于D，令，则，所以D正确，

故选：AD

12．已知关于x的不等式的解集为，则（    ）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.

【详解】关于的不等式的解集为选项正确；

且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，

则，则，C选项错误；

不等式即为，解得选项正确；

不等式即为，即，解得或选项正确.

故选：.

三、填空题

13．计算：______．

【答案】

【分析】利用指数的运算性质化简可得出所求代数式的值.

【详解】原式.

故答案为：.

14．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】根据函数图象以及不等式的等价关系即可．

【详解】解：不等式等价为或，

则，或，

故不等式的解集是．

故答案为．

【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．

15．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是______．

【答案】

【详解】 令，则的图像是开口向上的抛物线，

要当时，恒成立，只需，解得.

点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的恒成立问题的求解，其中把不等式的恒成立问题转化为一元二次函数的图象与性质是解答的关键，对于不等式的恒成立问题常见解法分离参数法和利用函数的性质、函数的最值，平时要注意总结和积累.

16．若函数在上为增函数，则取值范围为_____.

【答案】

【详解】函数在上为增函数，则需，

解得，故填.

四、解答题

17．已知表示实数集，集，集合

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围；

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）根据集合的运算求解；

（2）根据集合间的包含关系求解.

【详解】（1）当时，，

由解得.所以,

所以或，所以或，

（2）因为，所以，所以，解得.

18．已知函数.

(1)证明：函数在上是减函数；并求出函数在的值域；

(2)记函数，判断函数的的奇偶性，并加以证明.

【答案】(1)证明见解析，值域为

(2)奇函数，证明见解析

【分析】（1）设，计算，判断为负得到证明，结合单调性可得值域；

（2），根据奇偶性的定义结合定义域得到答案.

【详解】（1）设，则，

由，，，故，

即，函数在上单调递减.

，，函数单调递减，故函数的值域为.

（2），，

函数定义域为，函数为奇函数.

19．已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）解关于x的不等式.

【答案】（1）.（2）时，不等式无解；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解的结果，直接得到答案；

（2）对与2的大小关系分三种情况讨论，可得结果.

【详解】（1）时，不等式化为，

解得或，

不等式的解集为.

（2）关于x的不等式，即；

当时，不等式化为，不等式无解；

当时，解不等式，得；

当时，解不等式，得；

综上所述，时，不等式无解，

时，不等式的解集为，

时，不等式的解集为.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.

20．已知是二次函数，满足且.

(1)求的解析式；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，根据，求得，再由，列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）将已知转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）设函数，

因为，可得，所以，

又，得，即，

对于任意的成立，则有解得

∴.

（2）当时，恒成立，即恒成立；

令，

∵开口方向向上，对称轴为，

∴在内单调递减，∴，∴，

即实数的取值范围是.

21．定义在上的函数，满足对任意，有，且．

(1)求，的值；

(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；

(3)当时，，解不等式．

【答案】(1)，

(2)奇函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）令可得的值，再令，结合可得的值；

（2）令，由函数奇偶性的定义即可求解；

（3）根据函数单调性的定义判断的单调性，再由单调性结合解不等式即可求解.

【详解】（1）令，得，所以，

令，，得，所以．

（2）令得，，即，

所以函数为奇函数．

（3）设，且，则，所以，

所以，故在上为增函数，

，等价于，所以，解得：，

故不等式的解集为．

22．已知函数的图象与x轴的两个不同交点的横坐标分别为，.

（1）求m的取值范围；

（2）求的取值范围；

（3）若函数在上是减函数、且对任意的，，总有成立，求实数m的范围．

【答案】（1）或；（2）；（3）．

【解析】（1）由函数图象与x轴有两个交点可知，对应的方程有两个不相等的实数根，所以有，建立不等式求解即可；

（2），结合（1）中m的取值范围可求得其取值范围；

（3）先由函数在上是减函数，可求得，再根据二次函数的单调性可知在区间上，在上单调递减，在上单调递增，进而求得的最大值和最小值，最后根据恒成立可得出，从而建立不等式求出结果即可.

【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，，

由韦达定理得：，，

所以，解之得：或；

（2）

，

令，

则当时，，当时，，

所以，所以，即的取值范围为；

（3）函数的对称轴为，在上是减函数，

所以有，即，

又因为对任意的，，总有，

要使成立，则必有，

在区间上，在上单调递减，在上单调递增，

又，所以，，

所以有，即，解之得：，

综上，实数m的范围是．

【点睛】方法点睛：处理二次函数在闭区间上的最值问题时，一定要认真分析对称轴和区间端点的位置关系，必要时进行分类讨论，从而正确得出最值，常见的有：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间和动轴动区间等类型.