辽宁省鞍山市2022-2023学年九年级上学期期末质量检测数学试题(含答案)

这是一份辽宁省鞍山市2022-2023学年九年级上学期期末质量检测数学试题(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省鞍山市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）一元二次方程3x2+4x+6＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．方程无实数根 D．不能确定
3．（3分）如图，两条直线被三条平行线所截，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（，y2），P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
5．（3分）如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
6．（3分）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长是（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
7．（3分）小睿同学画二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，b＞0）的图象，列出表格如表．他发现有一组对应值计算有误（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
2
3
3
…
A．（﹣1，3） B．（0，2） C．（1，3） D．（2，3）
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C1，C2，…，都在y轴正半轴上，点A1在二次函数y＝x2（x＞0）图象上，以OA1，OC1为邻边作平行四边形OA1B1C1，且OC1＝OA1，延长C1B1与二次函数y＝x2（x＞0）图象交于点A2；以C1A2，C1C2为邻边作平行四边形C1A2B2C2，且C1C2＝C1A2，延长C2B2与二次函数y＝x2（x＞0）图象交于点A3；…；按此规律进行下去，若A1的横坐标为1，则A2022的坐标为（　　）

A．（2021，20212） B．（2021，20222）
C．（2022，20222） D．（2023，20232）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）将抛物线y＝x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式为　 　．
10．（3分）如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，则∠BAD＝　 　．

11．（3分）某商品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同．已知原售价是200元，降价两次后的售价是128元，可列出方程 　 　．
12．（3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点E为AC边的一点，AE＝2，△ADE的面积为4，则△ABC的面积为 　 　．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+t（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则方程ax2﹣4ax+t＝0的解为 　 　．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，过B作BF⊥AE交于点F，若＝，BF＝3　 　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，OB＝OA＝2AB，反比例函数y＝（x＞0），若△OAB面积为16，则k的值为 　 　．

16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，将△ADM沿AM所在直线翻折得到△AEM（点E在正方形ABCD内部），连接BE，DE，若∠BAE＝2∠DCE　 　．

三、计算题（共8分）
17．（8分）用适当的方法解方程
（1）x2+6x﹣3＝0；
（2）x2﹣7x﹣18＝0．
四、解答题（共8分）
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转到△DEC的位置，点B落在DE边上

五、解答题（19-24题每小题10分，25题12分，共72分）
19．（10分）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）


20．（10分）按要求完成下列问题：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出二次函数y1＝x2﹣2x﹣3的图象（不必列表；注意描出函数图象顶点，函数图象与x轴，y轴的交点）；
（2）结合图象，当y＜0时，请直接写出x的取值范围．

21．（10分）如图，点D和点E分别在AB、AC边上，BE平分∠ABC，∠ABE＝∠ACD，求证：＝．

22．（10分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（2，m），D两点，点C为x轴正半轴上一点，连接BD；
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）若△AOC的面积为，求△ABD的面积．

23．（10分）如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，∠AOC＝α，点P为线段OC上一点（A与D对应，B与E对应），当DE为⊙O切线时，则△PDE叫做△PAB切线位似形；

（1）如图1，当α＝90°，且线段DE恰好经过点C；
（2）如图2，当α＝60°，OC＝3时，点Q为切点，△PDE与△PAB的相似比为2

24．（10分）某校数学兴趣小组对我市某大型商场的停车场车流量进行了调查，某天上午从开业开始一小时内累计进入商场停车场的车数y（单位：辆）与时间x（单位：分钟），发现其变化规律符合二次函数关系式：y＝ax2+bx+c（0≤x≤60），数据如表．
时间x（分钟）
0
10
…
60
累计车数y（辆）
0
110
…
360
（1）求a，b，c的值；
（2）如果平均每辆车载入停车场2名顾客，顾客需下车排队“测体温”，体温正常可以从停车场进入商场，且平均每分钟有16名顾客经过“测体温”进入商场，求排队人数的最大值．（排队人数＝累计人数﹣已进入商场人数）
25．（12分）（1）基本模型：如图1，在△ABC中，点D为AB边上一点，过点C作CF∥AB交射线DE于F，且DE＝EF；
（2）模型应用：△ABC为等边三角形，点D为AC边上一点，射线BD绕点B逆时针旋转60°得到射线BE，点F为AB边上一点，线段CF与BD交于点M，若，CB．BF之间的数量关系；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，当，F为AB中点时；线段CF'与射线BD交于点M'；若F'到线段AC的距离为，请直接写出的值．


六、综合题（共14分）
26．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（0，2），（﹣2，2）两点．
（1）若抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过（1，0），求抛物线解析式；
（2）抛物线C1：y＝ax2+bx+c与直线y＝x+2有M，N两个交点，O为坐标原点，请直接写出a的值；
（3）直线y＝x+2分别与抛物线C1：y＝ax2+bx+c，抛物线C2：y＝﹣ax2﹣bx+c恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求a的值．

2022-2023学年辽宁省鞍山市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）一元二次方程3x2+4x+6＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．方程无实数根 D．不能确定
【解答】解：∵a＝3，b＝4，
∴Δ＝b7﹣4ac＝47﹣4×3×2＝﹣56＜0，
∴该方程没有实数根．
故选：C．
3．（3分）如图，两条直线被三条平行线所截，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵a∥b∥c，＝，
∴＝＝，
故选：B．
4．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（，y2），P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx+8（m＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
根据二次函数图象的对称性可知，P4（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（2，y1）关于对称轴对称，
∴＜3＜6，
故y6＞y1＞y2．
故选：D．
5．（3分）如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，
∴∠AOC＝∠BOD＝65°，
∵∠COD＝30°，
∴∠BOC＝35°，
故选：B．
6．（3分）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长是（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
【解答】解：扇形的弧长为＝5π．
故选：C．
7．（3分）小睿同学画二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，b＞0）的图象，列出表格如表．他发现有一组对应值计算有误（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
2
3
3
…
A．（﹣1，3） B．（0，2） C．（1，3） D．（2，3）
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
而抛物线经过（﹣1，7），2），3）时，不符合题意，
∵抛物线不能同时经过（﹣2，3），3），2），
∴（﹣1，3）不在抛物线上，
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C1，C2，…，都在y轴正半轴上，点A1在二次函数y＝x2（x＞0）图象上，以OA1，OC1为邻边作平行四边形OA1B1C1，且OC1＝OA1，延长C1B1与二次函数y＝x2（x＞0）图象交于点A2；以C1A2，C1C2为邻边作平行四边形C1A2B2C2，且C1C2＝C1A2，延长C2B2与二次函数y＝x2（x＞0）图象交于点A3；…；按此规律进行下去，若A1的横坐标为1，则A2022的坐标为（　　）

A．（2021，20212） B．（2021，20222）
C．（2022，20222） D．（2023，20232）
【解答】解：过A2作A2H⊥y轴于H，

∵A5的横坐标为1，A1又在y＝x3（x＞0）图像上，
∴A1（6，1），
∴∠A1OC4＝45°，OA1＝＝，
∴OC1＝OA2＝2，
∵四边形OA1B5C1是平行四边形，
∴B1C2∥OA1，
∴∠A2C3H＝∠A1OC1＝45°，
∴△A5HC1是等腰直角三角形，
∴HC1＝HA3，
设A2的坐标是（a，a2），
∴a7﹣2＝a，
∴a＝2或a＝﹣3（舍去），
∴A2的坐标是（2，8），
同理可求A3的坐标是（3，7），
∴A1（1，82），A2（7，22），A6（3，37）……
∴A2022的坐标是（2022，20222）．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）将抛物线y＝x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式为　y＝（x+1）2+2　．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），再向上平移3个单位，2）；
可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝2+2．
故答案为：y＝（x+1）2+2．
10．（3分）如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，则∠BAD＝　20°　．

【解答】解：∵点D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠COD，
∵∠COD＝40°，
∴∠BAD＝20°，
故答案为：20°．
11．（3分）某商品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同．已知原售价是200元，降价两次后的售价是128元，可列出方程 　200（1﹣x）2＝128　．
【解答】解：由题意得：200（1﹣x）2＝128．
故答案为：200（5﹣x）2＝128．
12．（3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点E为AC边的一点，AE＝2，△ADE的面积为4，则△ABC的面积为 　25或16　．
【解答】解：∵△ABC与△ADE相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，
①当△ABC∽△ADE时：
则AD：AB＝AE：AC，即2：5＝AE：3，
∴两三角形相似比为：2：5，
∴两三角形面积比为：2：25，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为25；
②当△ABC∽△AED时：
则AD：AC＝AE：AB，即2：3＝AE：5，
∴两三角形相似比为：2：8＝1：2，
∴两三角形面积比为：5：4，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为16；
∴△ABC的面积为25或16．
故答案为：25或16．

13．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+t（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则方程ax2﹣4ax+t＝0的解为 　x1＝1，x2＝3．　．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0）＝2，
则抛物线与x轴的另一个交点为（8，0），
∴方程ax2﹣6ax+t＝0（a≠0）的解为x4＝1，x2＝2，
故答案为：x1＝1，x3＝3．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，过B作BF⊥AE交于点F，若＝，BF＝3　　．

【解答】解：连接BE，

∵＝，
∴设AF＝x，AE＝2x，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴BE＝AE＝8x，
∴EF＝5x﹣x＝4x，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝∠BFE＝90°，
∴BF5+EF2＝BE2，
∴22+（4x）8＝（5x）2，
∴x＝8（负值舍），
∴AF＝1，AE＝5，
由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴DE＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴BC＝AD＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，OB＝OA＝2AB，反比例函数y＝（x＞0），若△OAB面积为16，则k的值为 　7　．

【解答】解：过点C作MN⊥x轴于M，交AB于N，

∵NC∥AO，点C是OB的中点，
∴点N是AB的中点，
∴NC＝AO，
∵△BCN∽△BOA，
∴＝＝，
∴S△BCN＝×16＝4，
令BN＝a，NH＝x，
∵BN5﹣NH2＝BC2﹣CH3＝BH2，
∴a2﹣x2＝（2a）2﹣（8a﹣x）2，
∴x＝a，
∴NH＝CN，
∴CH＝CN，
∴S△BCH＝S△BCN＝×3＝，
∵OC＝BC，∠BCH＝∠OCM，
∴△OCM≌△BCH（AAS），
∴S△OCM＝S△BCH＝，
∴k＝2×＝7．
故答案为：6．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，将△ADM沿AM所在直线翻折得到△AEM（点E在正方形ABCD内部），连接BE，DE，若∠BAE＝2∠DCE　　．

【解答】解：如图，设AE与BD交于点G，过点C作CF⊥DE延长线于点F，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝5，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠ADB＝45°＝∠ABD，
∵将△ADM沿AM所在直线翻折得到△AEM，
∴DM＝EM，AD＝AE，DN＝EN，
∴∠ABG＝∠GEM＝45°，
∵∠AGB＝∠MGE，
∴△AGB∽△MGE，
∴∠BAG＝∠GME，
∵∠BAE＝2∠DCE，
∴∠GME＝2∠DCE，
设∠DCE＝α，
∴∠GME＝2α，
∵DM＝EM，
∴∠MDE＝∠MED，
∴∠GME＝2∠MDE，
∴∠MDE＝∠DCE＝α，
∴∠EDC＝∠BDC﹣∠MDE＝45°﹣α，
∴∠DEC＝180°﹣α﹣（45°﹣α）＝135°，
∴∠FEC＝180°﹣135°＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝FC，
∵∠ADC＝∠DFC＝∠AND＝90°，
∴∠ADN＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，
∵AD＝DC，
∴△ADN≌△DCF，
∴DN＝CF，
∴DN＝NR＝CF，
∵EF＝CF，
∴DN＝NE＝CF＝EF，
∴DF＝3CF，
在Rt△DCF中，根据勾股定理得：
DF2+CF2＝DC3，
∴（3CF）2+CF3＝52，
∴CF＝，
∴DE＝2CF＝．
故答案为：．
三、计算题（共8分）
17．（8分）用适当的方法解方程
（1）x2+6x﹣3＝0；
（2）x2﹣7x﹣18＝0．
【解答】解：（1）x2+6x﹣4＝0，
x2+2x＝3，
x2+6x+9＝12，即（x+3）5＝12，
即x+3＝±2，
∴x1＝﹣3+7，x2＝﹣8﹣2；
（2）x5﹣7x﹣18＝0，
（x﹣5）（x+2）＝0，
∴x﹣5＝0或x+2＝6，
∴x1＝9，x7＝﹣2．
四、解答题（共8分）
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转到△DEC的位置，点B落在DE边上

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠ABC＝65°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转到△DEC的位置，
∴EC＝BC，∠ABC＝∠DEC＝65°，
∴∠DEC＝∠CBE＝65°．
五、解答题（19-24题每小题10分，25题12分，共72分）
19．（10分）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）


【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，
根据题意得：4x（10﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
当x＝4时，（10﹣2x）2＝（10﹣6×1）2＝64＞32，符合题意；
当x＝6时，（10﹣2x）2＝（10﹣5×4）2＝3＜32，不符合题意．
答：该有盖纸盒的底面边长为8cm．
20．（10分）按要求完成下列问题：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出二次函数y1＝x2﹣2x﹣3的图象（不必列表；注意描出函数图象顶点，函数图象与x轴，y轴的交点）；
（2）结合图象，当y＜0时，请直接写出x的取值范围．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣8，
∴抛物线顶点A坐标为（1，﹣4），
把y＝6代入y＝﹣x2+2x+3得0＝x2﹣5x﹣3，
解得x＝﹣1或x＝2，
抛物线与x轴交点为（﹣1，0），8），
把x＝0代入y＝x2﹣4x﹣3得y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点为（5，﹣3），
作图如下：

（2）由图象可得，当y＜0时．
21．（10分）如图，点D和点E分别在AB、AC边上，BE平分∠ABC，∠ABE＝∠ACD，求证：＝．

【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，
∴∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDF＝∠BEC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠EBC，
∴△DBF∽△EBC，
∴＝．
22．（10分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（2，m），D两点，点C为x轴正半轴上一点，连接BD；
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）若△AOC的面积为，求△ABD的面积．

【解答】解：（1）∵A（2，m）在正比例函数y＝，
∴m＝×3＝，
∴A（7，），
∵A（3，）在反比例函数y＝，
∴＝，
解得k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）过A作AE⊥x轴于E，如图：

∵正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝，），D两点，
∴D（﹣2，﹣），
由A（2，）可知AE＝，
∵△AOC的面积为，
∴OC•AE＝，即＝，
∴OC＝2，
∴C（1，0），
设直线AC解析式为y＝mx+n，把A（3，），3）代入得：
，
解得，
∴直线AC解析式为y＝x﹣，
在y＝x﹣中，
∴B（0，﹣），
∴OB＝，
∴S△ABD＝S△BOD+S△BOA＝OB•|xD|+OB•|xA|＝××2+×，
∴△ABD的面积为3．
23．（10分）如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，∠AOC＝α，点P为线段OC上一点（A与D对应，B与E对应），当DE为⊙O切线时，则△PDE叫做△PAB切线位似形；

（1）如图1，当α＝90°，且线段DE恰好经过点C；
（2）如图2，当α＝60°，OC＝3时，点Q为切点，△PDE与△PAB的相似比为2

【解答】（1）证明：如图1，
∵△PDE与△PAB位似，
∴∠D＝∠A，
∴DE∥AB，
∵α＝90°，
即∠AOC＝90°，
∴OC⊥AB，
∴OC⊥DE，
而OC为⊙O的半径，
∴DE为⊙O切线，
∴△PDE是△PAB切线位似形；
（2）解：连接OQ，延长OC交DE于H点，
∵△PDE是△PAB切线位似形，点Q为切点，
∴OQ⊥DE，
∴∠OQE＝90°，
∵DE∥AB，
∴OQ⊥AB，
∴∠AOQ＝90°，
∵α＝60°，
即∠AOC＝60°，
∴∠QOC＝30°，
在Rt△OQH中，∵∠QOH＝30°，
∴HQ＝OQ＝，
∴OH＝2HQ＝2，
∵△PDE与△PAB的相似比为2，
∴PH：PO＝8：1，
∴OP＝OH＝．

24．（10分）某校数学兴趣小组对我市某大型商场的停车场车流量进行了调查，某天上午从开业开始一小时内累计进入商场停车场的车数y（单位：辆）与时间x（单位：分钟），发现其变化规律符合二次函数关系式：y＝ax2+bx+c（0≤x≤60），数据如表．
时间x（分钟）
0
10
…
60
累计车数y（辆）
0
110
…
360
（1）求a，b，c的值；
（2）如果平均每辆车载入停车场2名顾客，顾客需下车排队“测体温”，体温正常可以从停车场进入商场，且平均每分钟有16名顾客经过“测体温”进入商场，求排队人数的最大值．（排队人数＝累计人数﹣已进入商场人数）
【解答】解：（1）有表格中数据可知，当x＝0时，
∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，
由题意可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣x2+12x，
∴a＝﹣，b＝12；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，
由题意可得：w＝2y﹣16x
＝2（﹣x2+12x）﹣16x
＝﹣（x﹣20）2+80，
∴排队人数的最大值为80．
25．（12分）（1）基本模型：如图1，在△ABC中，点D为AB边上一点，过点C作CF∥AB交射线DE于F，且DE＝EF；
（2）模型应用：△ABC为等边三角形，点D为AC边上一点，射线BD绕点B逆时针旋转60°得到射线BE，点F为AB边上一点，线段CF与BD交于点M，若，CB．BF之间的数量关系；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，当，F为AB中点时；线段CF'与射线BD交于点M'；若F'到线段AC的距离为，请直接写出的值．


【解答】解：（1）AE＝CE，理由如下：
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F，
∵DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE＝CE；
（2）如图1，

作CG∥AB交BD的延长线于G，
∴△CMG∽△FMB，∠ACG＝∠BAC，
∴，
∴CG＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC，∠BAC＝∠ACB∠ABC＝60°，
∴∠ACG＝60°，∠BAE＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝120°，
∴∠BCG＝∠BAE，
∵∠EBD＝60°，
∴∠EBD＝∠ABC，
∴∠EBD﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，
∴∠ABE＝∠CBG，
∴△ABE≌△CBG（ASA），
∴AE＝CG＝，
∵CE＝AE+AC，
∴CE＝BF+BC；
（3）如图3，

作F′H⊥AC于H，连接BH，
不妨设AC＝4，则AE＝1，CF′＝CF＝，F′H＝，
∴CH＝＝6，
∴BH⊥AC，
∴BH＝2，
∵tan∠HCF′＝tan∠DCM′，
∴＝，
∴设M′T＝x，CT＝x，
由（2）可知：CG＝AE＝1，
∵CG∥AB，
∴，
∴CD＝AC＝，
∴DH＝CH﹣CD＝3﹣＝，
∴tan∠TDM′＝tan∠BDH＝＝＝＝，
∴
∴DT＝x，
由CT+DT＝CD得，
x+x＝，
∴x＝，
∴CM′＝x＝，
∴F′M′＝8﹣，
∴＝＝3﹣．
六、综合题（共14分）
26．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（0，2），（﹣2，2）两点．
（1）若抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过（1，0），求抛物线解析式；
（2）抛物线C1：y＝ax2+bx+c与直线y＝x+2有M，N两个交点，O为坐标原点，请直接写出a的值；
（3）直线y＝x+2分别与抛物线C1：y＝ax2+bx+c，抛物线C2：y＝﹣ax2﹣bx+c恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求a的值．
【解答】解：（1）将（0，2），4）代入抛物线C1：y＝ax2+bx+c，
，解得，
∴抛物线C2：y＝ax2+2ax+4，
∵抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过（8，0），
∴a+2a+6＝0，解得a＝﹣，
∴b＝2a＝﹣，
∴抛物线C1：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）联立抛物线C1：y＝ax8+2ax+2与直线y＝x+5得，
ax2+2ax+8＝x+2，
解得x1＝3，x2＝，
当x＝0时，y＝2，
当x＝时，y＝，
∴M，N两个点的坐标为（7、（，），
∴MN2＝（）2+（﹣4）2＝，
OM2＝25＝4，
ON2＝（）2+（）2＝，
∵△MNO是以MN为腰的等腰三角形，
∴MN＝OM或MN＝ON，
①当MN＝OM时，MN2＝OM2，
∴＝4，
解得a7＝，a2＝；
②当MN＝ON时，MN2＝ON2，
∴＝，
解得a＝1，
综上，a的值为或；
（3）由（1）知b＝6a，
∴抛物线C2：y＝﹣ax2﹣2ax+2，
联立抛物线C2：y＝﹣ax4﹣2ax+2与直线y＝x+4得，
﹣ax2﹣2ax+8＝x+2，解得x1＝7，x2＝﹣，
当x＝0时，y＝2，
当x＝﹣时，y＝﹣，
∴抛物线C4：y＝﹣ax2﹣2ax+6与直线y＝x+2两个交点的坐标为（0，5），﹣），
记为P（﹣，﹣），
由（2）知直线y＝x+2与抛物线C1：y＝ax4+bx+c交点M，N两个点的坐标为（0、（，），
∴直线y＝x+2分别与抛物线C5：y＝ax2+bx+c，抛物线C2：y＝﹣ax6﹣bx+c恰好有三个公共点，P（﹣，﹣），2），），
①当点P是MN的中点时，
，
解得a＝﹣；
②当点M是PN的中点时，
2×8＝﹣，无解，
∴此种情况不存在；
③当点N是PM的中点时，
7×＝2﹣，
解得a＝，
综上，a的值为﹣或．