2022-2023学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（12月份）(解析版)

2022-2023学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C. 如果，那么 D. 如果，那么

3.    在一个不透明的盒子中装有红球和白球共个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在，则盒子中白球的个数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )
    

A. 长方体 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱

5.    若关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，且点，则下列结论不正确的是(    )

A.  B. 它的图象与轴的交点坐标为
C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大

7.    如图，点为线段与线段的垂直平分线的交点，，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

8.    如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步，其中长与宽和为步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知，两点均在抛物线上，点是该抛物线顶点，若，则的取值范围为(    )

A.  B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 点关于原点对称的点的坐标是______．
12. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是______．
13. 已知在中，，，，则等于______．
14. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积单位：变化时，气体的密度单位：随之变化，已知密度是体积的反比例函数关系，它的图象如图所示，则当时，相应的体积是______．

15. 若是方程的一个根，则的值是______．
16. 如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：
    ∽；
    ；
    ；
    ．
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    已知关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根．
19. 本小题分
    如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
    求反比例函数与一次函数的解析式；
    求的面积．

20. 本小题分
    掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
    
    求关于的函数表达式．
    根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准女生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
21. 本小题分
    小朋和小亮报名参加运动会志愿者活动，他们将被随机分配到排球、游泳、田径、击剑四个项目中承担工作任务．
    小朋被分配到游泳项目的概率为______；
    若小亮主动申请不到击剑工作，并得到了允许．请用画树状图或列表的方法，求出小朋和小亮被分配到相同项目工作的概率．
22. 本小题分
    如图，将绕点逆时针旋转，得到三角形，其中点与点对应，点与点对应．
    作出三角形要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    求直线与直线相交的锐角的度数．

23. 本小题分
    如图，是半圆的直径，为半圆上的点不与，重合，连接，的角平分线交半圆于点，过点作的垂线，垂足为，连接交于点．
    求证：是半圆的切线；
    若，，求半圆的半径及的长．

24. 本小题分
    如图，在中，，点在边的延长线上，以为边作，使，且点、在的两侧，连接交于点，若．
    求证：；
    求证：；
    若，，且，求的长．

25. 本小题分
    已知抛物线过点，，．
    求抛物线的解析式；
    已知过原点的直线与该抛物线交于，两点点在点右侧，该抛物线的顶点为，连接，，点在点，之间的抛物线上运动不与点，重合．
    当点的横坐标是时，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
    若直线与抛物线的另一交点为，点在射线上，且点的纵坐标为，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B、、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，寻找中心对称图形是要寻找对称中心，把原图绕对称中心旋转后与原图重合才是中心对称图形，若找不到对称中心，则不是中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面朝上，为随机事件，
选项不合题意，
车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，为随机事件，
选项不合题意，
若，则或，为随机事件，
选项不合题意，
两个相等的数的平方相等，
如果，那么为必然事件，
选项符合题意，
故选：．
根据必然事件的概念即可得出答案．
本题主要考查必然事件的概念，关键是要牢记必然事件的概念．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，盒子中白球的个数可能是个，
故选：．
用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

4.【答案】 

【解析】解：由几何体的主视图和俯视图都是长方形，
故该几何体是柱体，
又因为左视图是三角形，
故该几何体是三棱柱．
故选：．
根据几何体的主视图和俯视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．
本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
方程有实数根，
．
故选D．
根据直接开平方法求解即可得．
本题主要考查解一元二次方程直接开平方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：，抛物线的对称轴为直线，
点，
抛物线的表达式为：，
，故A选项不符合题意；
令，则，所以点的坐标为，故B选项不符合题意；
，
顶点的坐标为，故C选项不符合题意；
抛物线对称轴为直线，开口向上
当时，随的增大而增大，
而当时，随的增大而先减小后增大，故D选项符合题意，
故选：．
由抛物线过点，抛物线的对称轴为直线，写出点的坐标，再由交点式写出解析式即可逐项分析得到答案．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟悉二次函数的对称性以及交点式是解决此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连，如图，
点为线段与线段的垂直平分线的交点，
，，
即，
点、、三点在以点圆心，为半径的圆上，
．
故选D．
连，根据线段的垂直平分线的性质得到，则可判断点、、三点在以点圆心，为半径的圆上，而弧所对的圆周角为，所对的圆心角为，
根据圆周角定理得到，即可计算出．
本题考查了线段垂直平分线的概念及其性质，以及圆周角定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，作，树高为，且，，．
，，
，
，
∽，
，即，
．
故选：．
根据题意，画出示意图，易得：∽，进而可得，即，代入数据可得答案．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：长与宽和为步，长比宽多步，
长为步，宽为步．
依题意得：．
故选：．
根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点是该抛物线顶点，，
抛物线开口向下，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
当点，关于抛物线对称轴对称时，抛物线对称轴为直线，
且时符合题意，
故选：．
由可得抛物线开口向下，由点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据两个点关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标是；
故答案为．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是；
本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
故答案为：．
根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，把代入得：
，
故，
则当时，相应的体积
故答案为：．
直接利用反比例函数解析式求法得出，再把代入求出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
是方程的一个根，
，
则，
．
故答案为．
将所求式子通分得到，由已知可得，即可求解．
本题考查一元二次方程的解．
 

16.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
∽不成立，
故错误；
，，
，
，
，
，故正确；
，
是等边三角形，
∽，
，
设，，则，
，
，
整理得：，
解得：，
则，
故错误；
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，故正确；
故答案为：．
证出，，由相似三角形的判定可得出结论；由等边三角形的性质证出，由等腰三角形的性质可得出结论；证明∽，由相似三角形的性质得出，设，，则，求出与的关系式可得出结论；证明∽，由相似三角形的性质得出．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质及相似三角形的判定与性质．
 

17.【答案】解：移项得，
配方得，
即，
开方得．
解得，． 

【解析】先把常数项移到等号右边，之后方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，得到方程，对等号左边进行配方，再开方即可求出结果．
本题考查配方法解一元二次方程．
 

18.【答案】证明：一元二次方程，
，
方程总有两个实数根． 

【解析】计算判别式有，然后根据判别式的意义即可得到结果．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

19.【答案】解：把代入的得：，
反比例函数的解析式是，
代入反比例函数得：，
的坐标是，
把、的坐标代入一次函数得：，
解得：，，
一次函数的解析式是；
把代入一次函数的解析式是得：，
，
． 

【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出的坐标，把、的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
求出的坐标，求出和的面积，即可求出答案．
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
 

20.【答案】解：设关于的函数表达式为．
把代入解析式，得，
解得．
．
该女生在此项考试中是得满分．
理由：令，即，
解得，舍去．
该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为，大于．
该女生在此项考试中是得满分． 

【解析】根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
 

21.【答案】 

【解析】解：共种可分配的可能性，其中分配到游泳项的只有种，
因此小悦被分配到游泳项目的概率为，
故答案为：；

列表如下：

由表可知，共有种等可能出现的结果，其中分配到相同项目工作的有种，
所以分配到不同项目工作的概率为．
根据概率的意义求解即可；
用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用树状图与列表法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
 

22.【答案】解：为所作；

直线与直线相交于点，如图，

绕点逆时针旋转，得到三角形，
，，
，
，
，
，
即直线与直线相交的锐角的度数为． 

【解析】先分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，再分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，接着分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，然后分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，则满足条件；
直线与直线相交于点，如图，先根据旋转的性质得到，，再利用平角的定义得到，所以，根据四边形的内角和为计算出即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

23.【答案】证明：如图，连接，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
是半圆的切线；

解：如图，连接，
，，
∽，
，
，
，，
，
；
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，

综上所述：半圆的半径；的长为． 

【解析】连接，根据已知条件证明，进而可以解决问题；
连接，根据，可得∽，可得，证明∽，可得，所以，再证明∽，可得，求出，进而可以解决问题．
此题主要考查了圆的切线的性质与判定，也利用相似三角形的性质与判定解决问题，解题时首先利用已知条件证明切线，然后利用相似三角形的性质解决问题．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
∽，
，
；

证明：∽，
，
，
，
；

解：，，，
又，
，
如图，取中点，连接，
，
，
，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是直角三角形．
，
，
，
，，
，，
． 

【解析】证明∽，推出，可得；
根据两边对应成比例且夹角相等即可证明∽；
根据∽，可得，由，可得，取中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，利用证明≌，可得，可可得是直角三角形，再利用平行线分线段成比例定理，求出，，，即可
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：抛物线过点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
将点代入，
，
；
点的横坐标是，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
解得或，
，
如图，过点作轴交直线于点，设，则，
，
，
，
的面积与的面积相等，
，
，
，
或，
点在点，之间的抛物线上运动不与点，重合，
，
；
设直线的解析式为，
设，，
联立方程组，
，
，，
，，
如图，过点作轴交于，过点作轴交于，过点作轴，交于点，交于点，
，
，，
点的纵坐标为，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由所给的点可知抛物线的对称轴为直线，由此可求的值，再将点代入即可求解析式；
求出和直线的解析式，联立方程组，求出，过点作轴交直线于点，设，则，则，再由三角形的面积关系可得，即，求出的值即可求点坐标；
设直线的解析式为，设，，联立方程组，可求出，，过点作轴交于，过点作轴交于，过点作轴，交于点，交于点，由，可得，，再求出，即可证明所求式子．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．