2021-2022学年福建省三明市将乐四中九年级（下）第一次段考数学试卷(解析版)

这是一份2021-2022学年福建省三明市将乐四中九年级（下）第一次段考数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. -2的相反数是( )
A. 2B. -2C. -12D. 12
2. 在数|-3|，-2，0，π中，最小的数是( )
A. |-3|B. -2C. 0D. π
3. 月球与地球的距离约为384000km，可将384000用科学记数法表示为( )
A. 3.84×105B. 384×103C. 3.84×103D. 0.384×106
4. 20-|-3|的计算结果是( )
A. -3B. -2C. 3D. 4
5. 化简(2x)2的结果是( )
A. x4B. 2x2C. 4x2D. 4x
6. sin60°的值为( )
A. 3B. 32C. 22D. 12
7. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( )
A. ∠ADC
B. ∠ABD
C. ∠BAC
D. ∠BAD
9. 下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2-2x=0
B. x2-2x-1=0
C. x2-2x+1=0
D. x2-2x+2=0
10. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|c|=|b|，则下列结论中正确的是( )
A. a+b>0B. b+c>0C. a+c<0D. ac>0
二、填空题（本题共6小题，共24分）
11. 写出一个比3大且比4小的无理数： ．
12. 关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为______．
13. 使9-x有意义的x的取值范围为______．
14. 已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为______．
15. 原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为______．
16. 如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为______．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. 解方程组：x-y=13x+y=7．
18. 解不等式组：3x-6<0 ①2(x-1)≥x-2 ②
19. 解方程：x2-3x+2=0．
20. 计算：4cs30°+(1-2)0-12+|-2|．
21. 解分式方程：32x-4-xx-2=12．
22. 先化简，再求值：(2xx-2+xx+2)÷xx2-4，其中x=-1．
23. 某校举办“诗词大赛”，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，如何购买甲、乙两种奖品能使得总花费最少？
24. 如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点(与点B，C不重合)，∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．
(1)如图2，当PD//AB时，求PD的长；
(2)如图3，当DC=AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．
25. 阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=|Ax0+By0+C|A2+B2．
例如：求点P0(0,0)到直线4x+3y-3=0的距离．
解：由直线4x+3y-3=0知，A=4，B=3，C=-3，
∴点P0(0,0)到直线4x+3y-3=0的距离为d=|4×0+3×0-3|42+32=35．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1(3,4)到直线y=-34x+54的距离为______；
问题2：已知：⊙C是以点C(2,1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=-34x+b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：-2的相反数是：-(-2)=2，
故选：A．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】B
【解析】解：在数|-3|，-2，0，π中，
|-3|=3，则-2<0<|-3|<π，
故最小的数是：-2．
故选B．
直接利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
此题主要考查了数大小比较以及绝对值，正确掌握数比较大小的方法是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：384000=3.84×105．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：原式=1-3=-2，
故选：B．
先化简零指数幂，绝对值，然后再计算．
本题考查绝对值，零指数幂，理解a0=1(a≠0)是解题关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】
解：(2x)2=4x2，
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：sin60°=32．
故选：B．
直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵x+1≥2，
∴x≥1．
故选：A．
先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理；熟记圆周角定理是解决问题的关键．由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．
【解答】
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
故选：D．

9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与b2-4ac有如下关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程无实数根．分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【解答】
解：A.b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B.b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C.b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D.b2-4ac=(-2)2-4×1×2=-4<0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：∵|c|=|b|，
∴原点在b、c对应的点之间，
∴a+b<0，b+c=0，a+c<0，ac<0，
故选：C．
根据已知确定原点位置，即可得到答案．
本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是确定原点的位置．
11.【答案】π(答案不唯一)
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的大小比较，无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
根据无理数的定义和实数大小比较方法解答即可．
【解答】
解：写出一个比3大且比4小的无理数：π，(答案不唯一)
故答案为π(答案不唯一)．
12.【答案】x<-1
【解析】解：∵-1处是空心圆点，且折线向左，
∴x<-1．
故填：x<-1．
根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
13.【答案】x≤9
【解析】解：依题意得：9-x≥0．
解得x≤9．
故答案是：x≤9．
二次根式的被开方数是非负数，即9-x≥0．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14.【答案】-7
【解析】
【分析】
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把x=1代入方程计算即可求出a的值．
【解答】
解：把x=1代入方程得：2+a+5=0，
解得：a=-7，
故答案为-7．
15.【答案】10%
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的(1-x)，第二次降价后的售价是原来的(1-x)2，再根据题意列出方程解答即可．
【解答】
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100(1-x)2=81，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)，
答：降低的百分率为10%，
故答案为10%．

16.【答案】34π
【解析】解：连接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠OAB=60°，AB=2OA=6，
由勾股定理得，OB=AB2-OA2=33，
∵OA=OC，∠OAB=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠COB=30°，
∴∠COB=∠B，
∴CO=CB，CH=12OC=32，
∴S阴影=60π×32360-12×3×3×32+12×33×32-30π×32360=34π，
故答案为：34π.
连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出OB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC=60°，∠COB=30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．
17.【答案】解：x-y=1 ①3x+y=7 ②，
①+②得：4x=8，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=1，
则该方程组的解为x=2y=1.
【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组利用加减消元法求出解即可．
18.【答案】解：由①得：x<2，
由②得：x≥0，
不等式组的解集为：0≤x<2．
【解析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确确定两个不等式的解集．
19.【答案】解：∵x2-3x+2=0，
∴(x-1)(x-2)=0，
∴x-1=0或x-2=0，
∴x1=1，x2=2．
【解析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为(x-1)(x-2)，再利用积为0的特点求解即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
20.【答案】解：原式=4×32+1-23+2
=23-23+3
=3．
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数幂等知识分别化简各数，即可得出答案．
21.【答案】解：去分母，得3-2x=x-2，
整理，得3x=5，
解得x=53．
经检验，x=53是原方程式的解．
所以原方程式的解是x=53．
【解析】观察方程可得最简公分母是：2(x-2)，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
22.【答案】解：原式=2x(x+2)+x(x-2)(x+2)(x-2)×(x+2)(x-2)x
=3x+2，
当x=-1时，原式=-1．
【解析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的运算法则即可求出答案．
23.【答案】解：(1)设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件，
由题意可得，x+y=3030x+20y=800，
解得x=20y=10，
答：购买甲种奖品20件，购买乙种奖品10件；
(2)设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品(30-a)件，所需费用为w元，
由题意可得，w=30a+20(30-a)=10a+600，
∵k=10>0，
∴w随a的增大而增大，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴30-a≤2a，
解得a≥10，
∴当a=10时，w取得最小值，此时w=700，30-a=20，
答：购买甲种奖品10件、乙种奖品20件时能使得总花费最少．
【解析】(1)根据题意，可以先设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件，然后根据计划购买甲、乙两种奖品共30件，购买甲、乙两种奖品共花费800元，即可列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意，可以得到费用和购买甲种奖品数量的函数关系式，然后根据购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可以得到购买甲种奖品数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何购买甲、乙两种奖品能使得总花费最少．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和不等式，找出等量关系，列出方程，利用一次函数的性质解答．
24.【答案】解：(1)如图2，连接OD，
∵OP⊥PD，PD//AB，
∴∠POB=90°，
∵⊙O的直径AB=12，
∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°，
∴OP=OB⋅tan30°=6×33=23，
在Rt△POD中，
PD=OD2-OP2=62-(23)2=26；
(2)①证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，
∵DC=AC，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OD⊥FB，
∵BE=12AB，
∴OB=BE，
∴BF//ED，
∴∠ODE=∠OFB=90°，
∴DE是⊙O的切线；
②由①知，OD⊥BC，
∴CF=FB=OB⋅cs30°=6×32=33，
在Rt△POD中，OF=DF，
∴PF=12DO=3(直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)，
∴CP=CF-PF=33-3．
【解析】(1)根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP，PD的长；
(2)①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；
②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．
此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出△OBD是等边三角形是解题关键．
25.【答案】4
【解析】解：(1)点P1(3,4)到直线y=-34x+54即3x=4y-5=0的距离d=|3×3+4×4-5|42+32=4，
故答案为：4．
(2)∵⊙C与直线y=-34x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C(2,1)到直线3x+4y-b=0的距离d=1，
∴|6+4-b|42+32=1，
解得b=5或15；
(3)点C(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离d=|6+4+5|42+32=3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S△ABP的最大值=12×2×4=4，S△ABP的最小值=12×2×2=2．
(1)根据题目中给出的点到直线的距离公式直接计算，即可解答；
(2)根据点到直线的距离公式列出方程，然后解方程即可解决问题；
(3)求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，然后求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值，再结合三角形面积公式即可解决问题．
本题考查切线的性质，点到直线的距离等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程解决问题．