2021-2022学年甘肃省张掖市第一中学高一上学期期中数学试题

2021-2022学年度上学期高一年级期中考试

数学

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】确定集合中元素，然后由交集定义计算．

【详解】，，，

故选：B.

2. 函数的零点所在区间为

A. （0，1） B. （1，2）

C. （2，3） D. （3，4）

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点存在定理，结合选项，取特殊值，最后求出零点所在的区间.

【详解】由函数f（x）＝x3+x–5可得f（1）＝1+1–5＝–3<0，f（2）＝8+2–5＝5>0，

故有f（1）f（2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为

（1，2），故选B．

【点睛】本题考查了零点存在定理，考查了数学运算能力.

3. 已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

4. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即得．

【详解】命题“”的否定是“”．

故选：C．

5. 定义域为R的奇函数在区间上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.

【详解】因为定义在R上的奇函数在区间上单调递减，且，

所以在区间上也是单调递减，

且，

所以当时，，

当时，，

由可得或

解得或，

所以满足的x的取值范围是．

故选：D

6. 已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：

由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（    ）

A. 0.625 B.  C. 0.5625 D. 0.066

【答案】C

【解析】

【分析】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．

【详解】由题意得在区间上单调递增，

设方程的解的近似值为，

由表格得，

所以,

因为，

所以方程的近似解可取为0.5625．

故选：C.

7. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..

【详解】详解：为奇函数，排除A,

，故排除D.

，

当时，，所以在单调递增，所以排除C；

故选：B.

8. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（    ）

A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数

C 若，则 D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.

【详解】将点(4,2)代入函数得：，则.

所以，

显然在定义域上为增函数，所以A正确.

的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.

当时，，即，所以C正确.

当若时，

=

=.

即成立，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，

10. 下列说法正确的有（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则的最小值为 D. 若正数x，y满足，则的最小值为3

【答案】BD

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性及对数函数的性质可判断A，根据对数函数的性质及基本不等式可判断B，利用基本不等式可判断CD.

【详解】对于A选项，因为，所以，所以，

则，所以A错误；

对于B选项，因为，所以，所以，

当且仅当，即时等号成立，所以B正确；

对于C选项，当时，，

则，

当且仅当时，等号成立，所以C错误；

对于D选项，若正数x，y满足，则，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以D正确．

故选：BD.

11. 已知函数，若互不相等的实数满足，且，则下列说法正确的有（    ）

A. 的值域为 B. k的取值范围为

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】由题可作出函数的大致图象，然后利用数形结合结合条件即得.

【详解】作出函数的图象，

由图象可知函数的值域为R，故A错误；

函数的对称轴为直线，顶点为，

对于函数，当时，，当时，，

因为互不相等的实数满足，且，

故k的取值范围为，故B正确；

由题可知，所以，故C正确；

因为不一定关于y轴对称，所以不一定成立，如时，，故D错误．

故选：BC.

12. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间并构成一般不动点的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数为“不动点”函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用方程法可判断AC选项；利用作差法可判断B选项；利用零点存在定理可判断D选项.

【详解】对于A，由可得，解得或，所以A正确；

对于B，，故不是“不动点”函数；

对于C，由可得，解得，所以C正确；

对于D，当时，，由，

因为，，

所以，存在，使得，即，所以D正确．

故选：ACD.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域为___________．

【答案】

【解析】

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】要使函数有意义，

则，

解得或，

所以函数的定义域为．

故答案为：．

14. 设x，y，z为正数，且，则x，y，z大小关系为___________．

【答案】

【解析】

【分析】由题可设，进而可得，然后根据换底公式及对数函数的性质即得.

【详解】因为x，y，z为正数，可设，

则，

因为，所以，

所以，即．

故答案为：．

15. 已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案．

【详解】由题意，函数．．

根据二次函数的性质，可得当时, ,记．

由题意当时,在上是增函数,

∴,记．

由对任意,总存在,使成立，所以

则，解得：

故答案为．

【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象和性质的应用，以及存在性问题求解和集合包含关系的综合应用，其中解答中把对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题．

16. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过___________个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据）

【答案】5

【解析】

【分析】由题意可得，指对数互化结合题中题意求解.

【详解】设个小时后血液中酒精含量为，

则，即，

当，可得，

所以该驾驶员至少经过个小时才能驾驶．

故答案为：5.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）计算：；

（2）计算：．

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则求解即可

（2）利用对数的运算法则即得．

【详解】（1）原式=

=；

（2）．

18. 已知函数f(x)＝为奇函数．

（1）求a的值；

（2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

【答案】（1）a＝－1；（2）函数f(x)在定义域R上单调递增，详见解析

【解析】

【分析】（1）根据定义域为R的奇函数满足f(0)＝0即可求得结果；

（2）由定义法知，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，故可证得结果.

【详解】（1）因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1，经检验满足题意.

（2）f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增．

理由：设任意的x1，x2，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝.

因为x1<x2，所以，所以<0，

所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增．

【点睛】本题考查指数型复合函数的基本性质，要求学生会根据函数的奇偶性求参数以及利用定义法证明函数的单调性，属基础题.

19. 已知幂函数在其定义域上为增函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据幂函数的定义求出或，结合幂函数的性质即可得出结果；

(2)根据函数单调性解不等式即可.

小问1详解】

∵为幂函数．∴，解得或．

当时，在其定义域上不为增函数，舍去．

当时，在R上为增函数，符合题意．∴；

【小问2详解】

∵在R上为增函数，且，∴，

整理得，解得，

∴实数a的取值范围为．

20. 已知函数.

（1）求的定义域；      （2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）求不等式的解集.

【答案】（1）．（2）见解析;(3)．

【解析】

【详解】试题分析：(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x的不等式组,求出的定义域;
(2)由函数奇偶性的定义,判定在定义域上的奇偶性;

 (3)化简,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式>1的解集.

试题解析：（1）要使函数有意义．则，

解得.故所求函数的定义域为．

（2）由（1）知的定义域为，设，则．

且， 故为奇函数．

（3）因为在定义域内是增函数， 因为，所以，解得．

所以不等式的解集是．

21. 某公司为使产品能在市场有更大的份额占比，制定了一个激励销售人员的奖励方案，当销售利润不超过10万元时按销售利润的15%进行奖励，当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为A万元，则超出部分按进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．

（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；

（2）如果某业务员要得到7.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

【答案】（1）；   

（2）18万元.

【解析】

【分析】（1）根据奖励方案，可得分段函数解析式；

（2）确定，利用函数解析式，解方程即可得答案.

【小问1详解】

由题意知当时，，

当时，，

所以；

【小问2详解】

由题意，则，

所以，解得，

所以该业务员的销售利润为18万元时，才可获得7.5万元奖金．

22. 已知函数的图象过点．

（1）求函数和的解析式；

（2）设，若对于任意，都有，求m的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意结合指对数运算求解；（2）先根据区间的定义求的取值范围，结合二次函数及作差法求，根据恒成立问题可得，再利用单调性解不等式.

【小问1详解】

因为函数的图象过点，

所以，解得，

所以．

【小问2详解】

因为且，所以且，

因为在上单调递减，在上单调递增

所以的最大值是或．

因为

．

所以，

若，只需，

即，则，

设，

任取且，

则

，

因为，所以，

，即，所以，

所以，即，

所以在区间上单调递增，且，

所以，即，

所以，所以m的取值范围是．