2021-2022学年湖北省十堰市丹江口市第一中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省十堰市丹江口市第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，则复数的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用直接化简即可.

【详解】，所以.

故选：C.

2．已知向量、满足，，且，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量数量积的定义进行求解即可.

【详解】因为向量、满足，，且，

所以，

故选：C

3．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（   ）

A． B．

C． D．2

【答案】C

【分析】求出即得解.

【详解】解：由题意可得，所以，

所以.

故选：C

4．已知向量，，若，则实数（    ）

A．0 B． C．1 D．3

【答案】B

【分析】根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.

【详解】因为向量，，且，

所以，即，

所以有，解得，

故选：B.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：

（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；

（2）根据向量数量积运算法则进行化简；

（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.

5．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据三角形内角和定理求得，再利用正弦定理得出结果．

【详解】解：，，则．

，解得．

故选：．

6．下列说法：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行

②圆锥的顶点，圆锥底面圆周上任一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形

③在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线

④圆柱的任意两条母线所在的直线互相平行

其中正确的是（    ）

A．①② B．②④ C．③④ D．①③

【答案】B

【分析】分别判断每一个选项的正确性即可.

【详解】①圆柱的母线和轴平行，故①错误；②圆锥顶点在底面的投影为底面圆心，所以圆锥的顶点，圆锥底面圆周上任一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故②正确；③在圆台的上、下底面圆周上各取一点，当这两点的距离最小的时候才是母线，所以③错误；④圆柱的母线都和轴平行，所以圆柱的任意两条母线所在的直线互相平行，故④正确.

故选：B

7．已知的内角的对边分别满足，又点满足,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，利用正弦定理求得，继而求得a，再求得，最后在中由余弦定理求得答案,

【详解】由题意，

可知,

即，即，

因为 ，故 ,

由 ，得 ，

则 ，

故由可知 ,而 ，

故在中由余弦定理，

得 ,

故 ,即 ,

故选：A

8．已知向量满足，，，，，则动点P的运动路径的总长为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据三点以及面外一点向量共线的模型，对绝对值形式分类讨论，得出点运动路径为如图的平行四边形的四边:再结合余弦定理求解即可.

【详解】

因为,

所以,

因为 ,

所以 ,

所以 .

如上图所示,

当时,点运动路径为线段,

以此类推，当时,点运动路径为如图的平行四边形的四边:

由余弦定理，得,

由余弦定理，得,

动点的运动路径的总长度为

故选：C.

二、多选题

9．已知复数满足，则下列关于复数z的结论正确的是（    ）

A． B．复数的共轭复数为

C．复平面内表示复数的点位于第一象限 D．复数是方程的一个根

【答案】AD

【分析】由，利用复数的除法，得到复数z后，逐项求解验证.

【详解】解：因为，

所以，故A正确；

，故B错误；

复数对应的点位于第二象限，故C错误；

，故D正确；

故选：AD

10．在中，角、、的对边分别为，，，若，，则使此三角形有两解的的值可以是（    ）

A．5 B． C．8 D．

【答案】BC

【分析】根据三角形解的个数判断，即为锐角时，三角形有两解.

【详解】当为锐角时，三角形有两解.

，，

的值可以是，8，

故选：BC.

【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，考查运算求解能力，属于基础题.

11．下列说法正确的是（    ）

A．四棱柱的所有面均为平行四边形

B．长方体不一定是正四棱柱

C．底面是正多边形的棱锥，是正棱锥

D．正四面体一定是正三棱锥

【答案】BD

【分析】利用棱柱以及棱锥的定义，判断选项的正误即可.

【详解】解：四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形,故A不正确；

长方体不一定是正四棱柱，正确，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；

不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；

正四面体一定是正三棱锥，故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查棱锥，棱柱的定义的应用，结构特征的判断，是基础题.关键是要准确掌握有关几何体定义.

12．已知中，，，E为AC中点.下列结论正确的是（    ）

A． B．△ABC的面积为

C． D．P在△ABE的外接圆上，则的最大值为

【答案】ACD

【分析】由余弦定理计算，由面积公式求三角形面积，再由余弦定理计算，确定是的外接圆的直径，得出在优弧上时，可取得最大值，作出图形，设，，用表示，利用三角函数恒等变换公式及正弦函数性质得最大值，从而判断各选项．

【详解】，又是三角形内角，所以，A正确；

，B错；

，C正确；

，，

所以，是的外接圆的直径，如图，显然在优弧上时，可取得最大值．

，

设，，，

由正弦定理，，，

，

其中，，为锐角．

所以时，取得最大值，D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知，且，则__________．

【答案】

【分析】由复数相等可构造方程组求得结果.

【详解】由已知得：，解得：.

故答案为：.

14．已知等边的边长为2，则它的直观图的面积为___________.

【答案】

【分析】已知等边的边长为2，作交于点，得出，根据斜二测画法，作出等边的直观图，从而可知，，，即可求出直观图的面积.

【详解】解：已知等边的边长为2，则，

作交于点，并分别以为轴，建立平面直角坐标系，

如下图1，可得，

根据斜二测画法，作出等边的直观图，如下图2，

可知，，，

过作，则，

故该等边三角形的直观图的面积为.

故答案为：.

15．设凼数（a为实数）在区间上最小值为-4，则a的值等于____________.

【答案】

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用换元法和函数单调性得到最小值，即可求出.

【详解】，

令，则，，所以当时，取得最小值，，所以.

故答案为：-4.

16．在中，，，，为线段上一点，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】以为坐标原点，，，所在直线为，轴建立直角坐标系，即可得A、B、C坐标，进而可得直线的方程，即可得x与y的关系，又可求得，坐标，结合题意，求得的表达式，根据x的范围，即可得的最小值，即可得答案.

【详解】以为坐标原点，，，所在直线为，轴建立直角坐标系，

可得，，，则直线的方程为，

设，则，，

则，，

所以

由，

所以当时，有最小值3

所以的最小值为，

故答案为：

四、解答题

17．已知，，均为复数，在复平面内，对应的点的坐标为，对应的向量坐标为，且（其中为虚数单位）.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意知，再由，可求得，最后用复数的除法法则求解即可；

（2）由题意知，由复数的乘法法则可求出，再用复数模长公式即可求解

【详解】（1）由题意知，

解，得

所以.

（2）由题意知，

则，

所以

18．设在平面上有两个向量，，与不共线.

（1）求证：向量与垂直；

（2）当向量与的模相等时，求的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）或.

【分析】（1）利用坐标公式求向量模长，再由向量数量积的运算律，即可证结论；

（2）利用向量数量积的运算律可得，根据向量数量积的坐标表示、辅助角公式化简，由三角函数性质求角的大小.

【详解】（1）由已知，，，

则，所以与垂直.

（2）由两边平方，，

所以，而，则.

所以，则，.

又，则或.

19．如图，甲船A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行.

(1)求甲船用多少小时能尽快追上乙船；

(2)设甲船航行的方向为南偏东，求的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设用小时，甲船能追上乙船，设，，求出，在△ABC中，利用余弦定理即可得出答案；

（2）利用正弦定理求得，再根据结合两角差的正弦公式即可得出答案.

【详解】(1)解：设用小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇，

在△ABC中，，，，

设，，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

即甲船用小时能尽快追上乙船；

(2)解：由（1）得：海里，海里，

根据正弦定理，得，∴，

∴.

20．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，，.

(1)用表示和；

(2)求向量与夹角的余弦值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；

（2）以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．

【详解】(1)∵D为斜边BC的靠近点B的三等分点，∴

∴，

∵E为AD的中点，∴，

∴

(2)， 如图，以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，

∴，，

∴，

21．已知△ABC的外接圆的半径为，角的对边分别为，又向量，，且.

(1)求角C；

(2)求△ABC的面积S的最大值，并求此时△ABC的周长.

【答案】(1)

(2)，18

【分析】（1）由和正弦定理求得，再用余弦定理求出；

（2）利用正余弦定理得到，利用基本不等式求得，判断出△ABC为正三角形即可求出三角形的周长.

【详解】(1)∵，∴，

且，由正弦定理得：，

化简得：，

由余弦定理：，∴，

∵，∴.

(2)∵，

（当且仅当时取“=”）∴，

∴，此时△ABC为正三角形，所以三角形的周长为18.

22．如图，四边形中，，，.

（1）若，求.

（2）若，求长度的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用余弦定理求出，进而求得，然后利用三角形的面积公式可求出的值；

（2）设，可知，以及，然后在中利用余弦定理将表示为的三角函数，并利用三角恒等变换思想化简，利用正弦函数的基本性质可求出的取值范围.

【详解】（1）在中，，，，

由余弦定理得，，

因此，；

（2），，，，.

设，可知，且，

在中，，

，，则，

，则.

因此，的取值范围是.

【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了三边形边长取值范围的计算，解题的关键就是找出一个合适的角，将所求边长表示以此角为自变量的三角函数，转化为三角函数的值域问题来求解，考查运算求解能力，属于中等题.