2021-2022学年江苏省连云港高级中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省连云港高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数i的虚部为（　　）

A．2 B．

C． D．0

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用复数的定义直接作答.

【详解】由复数定义知，复数i的虚部为.

故选：C

2．已知为单位向量，且，则（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】先根据得，再根据向量模的公式计算即可得答案.

【详解】因为为单位向量，且，所以，

所以，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模的计算，考查运算能力，是基础题.

3．已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取的户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.

【详解】由图得样本容量为，

抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户．

故选B.

【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图计算数据，考查运算求解能力，属于基础题.

4．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用相等向量和向量的减法直接求解.

【详解】．

故选：B

5．已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.

【详解】解：∵且，所以，

所以

故选：D.

6．设，则（       ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据的范围，判断和的大小，去绝对值即可.

【详解】因为，，

所以，

因为，所以，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查平方关系和二倍角正弦公式的应用，以及，考查学生对三角恒等变换公式的掌握，属于基础题.

7．在面积为的中，角的对边分别为，若，则（       ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】将面积用表示，结合余弦定理即可得结果.

【详解】由三角形的面积公式，得，

即，由余弦定理，得，

所以.

故选：B.

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，3sinA＝2sinB，并且5a2+c2＝3bc．若M为AB的中点，并且CM＝，则△ABC的周长为（       ）

A．20 B．18 C．16 D．14

【答案】B

【分析】利用正弦定理得3a＝2b，设a＝2k，b＝3k，（k＞0）代入5a2+c2＝3bc得c，则△ABC的周长为l＝2k+3k+4k＝9k，由余弦定理得可得答案.

【详解】由于3sinA＝2sinB，故3a＝2b，

设a＝2k，b＝3k，（k＞0），

代入5a2+c2＝3bc，

所以c＝5k或c＝4k，

根据三角形的三边关系，

所以c∈（k，5k），

所以c＝4k，

则△ABC的周长为l＝2k+3k+4k＝9k，

由于点M为AB的中点，

由余弦定理：＝，

解得k＝2，

所以△ABC的周长为18．

故选：B．

【点睛】本题考查了解三角形问题，解题关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理，考查了学生的基本运算.

二、多选题

9．下列化简正确的是

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果.

【详解】中，，则错误；

中，，则错误；

中，，则正确；

中，，则正确.

故选：

【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.

10．已知复数满足，则下列结论正确的是（       ）

A．复数的共轭复数为 B．的虚部为

C．在复平面内对应的点在第二象限 D．

【答案】AD

【分析】先由已知求出复数，然后再逐个分析判断即可

【详解】由，得，

所以，

所以复数的共轭复数为，复数的虚部为，复数在复平面内对应的点在第三象限，，

所以AD正确，BC错误，

故选：AD

11．已知向量 ，，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则

B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为

C．存在，使得

D．的最大值为

【答案】BCD

【分析】对A，根据向量垂直建立关系即可求出；对B，根据投影向量的定义即可求出；对C，根据已知两边平方可判断；对D，根据三角函数的性质可求.

【详解】对A，若，则，则，故A错误；

对B，若在上的投影向量为，，且，

，则，，故B正确；

对C，若，，

若，则，即，故，，故C正确；

对D，，因为，，则当时，的最大值为，故D正确.

故选：BCD.

12．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据三角形面积公式，结合正弦定理和圆的性质进行判断求解即可.

【详解】，A正确；

已知

所以

即，D正确；

若为锐角三角形，

所以 ，若为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确；

，所以，C错．

故选：ABD.

三、填空题

13．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为______.

【答案】180.

【详解】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.

故答案为.

【解析】分层抽样.

14．如图，在矩形中，分别为和上的中点，若，其中则的值为_______．

【答案】

【解析】由平面向量的线性运算，化简得到，即可求解的值得到答案．

【详解】由题意，，

因为,,

所以两式相加得，,

所以，

得，所以，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，合理进行向量的线性运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

15．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则ABC周长的最大值是_______.

【答案】

【分析】根据余弦定理以及基本不等式求最值.

【详解】因为，

所以，当且仅当时取等号，因此，即ABC周长的最大值是

【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．对于角的集合和角，定义：为集合相对角的“余弦方差”，则集合相对角的“余弦方差”为__________.

【答案】

【分析】利用两角和差余弦公式化简已知等式，结合诱导公式和同角三角函数平方关系即可求得结果.

【详解】.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）已知复数满足，求.

（2）已知为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为.若与共线，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设，代入，列出方程组，联立求解，即得解，；

（2）利用向量共线的坐标表示列出方程组，即得解

【详解】（1）设，则.又，

所以，由复数相等得，解得，

所以.所以.

（2）因为对应的复数为，对应的复数为，

所以，，

因为与共线，所以存在实数使，即，

所以，

解得的值为.

18．在直角坐标平面内，已知向量，，，为满足条件（）的动点．当取得最小值时，求：

(1)向量的坐标；

(2)的值；

(3)求点A到直线的距离．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先表示出，再表示出，利用二次函数研究最值；（2）直接利用向量的夹角公式求解；（3）直接利用公式求出点A到直线PB的距离.

【详解】(1)，，，

∴

当取得最小值时，t＝2．∴（2，4）．

(2)，，，，

∴．

(3)设点A到直线PB的距离为h，则h＝．

19．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满足．再从条件①，条件②，这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）的值

（2）的面积；

条件①：，；

条件②：，．

【答案】答案不唯一，具体见解析．

【分析】题干条件可以进行角化边，再运用余弦定理求得，再结合所选条件求解即可.

【详解】若选择条件①：

（1）∵，

∴，

由正弦定理得，

则，解得

（2）由（1）及余弦定理可得

∵，∴．

∵，，∴

∴

若选择条件②：

（1）∵，

∴，

由正弦定理得，

则由余弦定理可得．

又，所以．

∵，即，

则，所以．

由正弦定理及，可得．

（2）∵，，，

∴

∴

【定睛】

关键点点睛：本题的关键是对条件利用正弦定理进行化简，从而得出它的直接条件.

20．已知向量（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），函数．

（1）若，，求的值∶

（2）若，，，，求2a+β的值．．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示求解出的解析式，再运用三角函数的关系求解即可；

（2）根据三角函数和差公式，由已知的三角函数值求解角度即可.

【详解】解:（1）

由，可得，由，得，，

则；

（2）由可得，由可得，

则，

由，，可得cosβ>0，

由，可得．

21．如图，扇形钢板的半径为，圆心角为．现要从中截取一块四边形钢板．其中顶点在扇形的弧上，，分别在半径，上，且，．

（1）设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围；

（2）求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大．

【答案】（1），其中的取值范围为；（2）．

【分析】（1）由题意可知，，，进而表达出的面积，再根据，表达出的面积，从而得到四边形钢板的面积的表达式和的取值范围．

（2）利用三角函数公式可得，再由的范围，结合三角函数的性质即可求出的最大值．

【详解】解：因为，扇形钢板的圆心角为，

所以，

因为扇形钢板的半径为，，，

所以，，

所以，

，

，，

所以

，

所以四边形钢板的面积为：

，

其中的取值范围为．

（2）

，

因为，

所以，

所以当，即时，四边形钢板的面积最大，最大值为．

22．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角A；（2）利用正弦定理将所给等式转化为关于a、b、c的等式，结合余弦定理即可求出a，从而可得，代入三角形面积公式并将角统一为B，即可根据三角函数的值域求得三角形的面积的范围.

【详解】（1）由及正弦定理得：

，

因为，，所以，，

所以，又，所以；

（2）由正弦定理，，，

由得：，

即①，由余弦定理得，解得，

所以，

，

∵为锐角三角形，∴且，

即，∴，

∴，∴.

面积的取值范围为.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式、正弦型函数的值域，属于中档题.