2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．=（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合两角差的正弦公式求得正确答案.

【详解】.

故选：A

2．已知，，则（       ）

A．共线 B．共线 C．共线 D．共线

【答案】C

【分析】根据向量共线定理可构造方程组求满足题意的实数，由是否有解可得结论.

【详解】对于A，若共线，则，即，方程组无解，则A错误；

对于B，若共线，则，即，方程组无解，则B错误；

对于C，若共线，则，即，解得：，

共线，C正确；

对于D，若共线，则，即，方程组无解，则D错误.

故选：C.

3．设（为虚数单位），则复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，则，利用复数运算以及复数相等可求得、的值，即可得解.

【详解】设，则，

由可得，所以，，解得，

因此，复数的虚部为.

故选：B.

4．在中，角的对边分别为，且，，，则（       ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.

【详解】在中，由余弦定理得：，

即，解得：或（舍），.

故选：B.

5．在平行四边形中，设，为的靠近A的三等分点，与交于，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，所以，利用向量的三角形法则得到结论.

【详解】由题意可知，

所以，

所以，

故选：D.

6．已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（       ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.

【详解】因为，

由正弦定理可得：，

所以，

所以，

所以或，

即(舍去)或，

故为直角三角形，

故选：C

7．已知，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】

.

故选：B

8．某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得DC距离为21km，若此人必须在30分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（       ）

A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h

【答案】A

【分析】结合正弦定理、余弦定理求得，从而求得速度.

【详解】，

在三角形中，由余弦定理得,

则为锐角，.

在三角形中，由正弦定理得，

由余弦定理得,

即，解得，

所以,

所以最小速度为 km/h.

故选：A

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．在△ABC中，满足的三角形有两个

B．在△ABC中，若，则

C．在△ABC中，是的充要条件

D．在△ABC中，

【答案】CD

【分析】结合正弦定理对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，由于，则所以三角形有一个，A选项错误.

B选项，，可能，所以B选项错误.

C选项，由正弦定理得，其中是三角形外接圆的半径，所以C选项正确.

D选项，由正弦定理可知D选项正确.

故选：CD

10．已知复数，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则z是纯虚数

C．复数z的模的最大值为 D．复数z的模长为定值

【答案】ABD

【分析】A.利用平方关系求解判断；B.直接求解判断； C.D 利用复数模公式求解判断.

【详解】A.因为，两边平方得，则，

所以，

所以 ，故正确；       

B. 当时，，则，故正确；

C. ，故错误；

D.由C知正确；

故选：ABD

11．八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．∠EAD=30°

C．

D．

【答案】AC

【分析】结合正八边形的几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，

正八面体的边长为，

三角形是等腰直角三角形，所以，所以，A选项正确.

由于，所以三角形是直角三角形，所以，B选项错误.

，D选项错误.

由于，所以三角形是直角三角形，且，所以C选项正确.

故选：AC

12．已知△ABC中，，，，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是（       ）

A． B．△ABC的面积为

C． D．P在△ABE的外接圆上，则的最大值为

【答案】ABD

【分析】结合余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式、向量运算、三角函数的最值对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】在三角形中，由余弦定理得，为锐角，所以.

在三角形中，由余弦定理得，A选项正确.

，B选项正确.

在三角形中，由正弦定理得,

在三角形中，由正弦定理得,

，所以,

所以，

在三角形中，由余弦定理得，

，所以，

在三角形中，由正弦定理得，

，C选项错误.

在三角形中，，，，

所以三角形是直角三角形，且为斜边.

所以是三角形外接圆的直径，

在三角形中，设，

由正弦定理得,

所以，，，

所以

，

时等号成立（其中），D选项正确.

故选：ABD

三、填空题

13．设复数满足（为虚数单位），则______．

【答案】

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故答案为：.

14．的值为________.

【答案】.

【分析】根据，展开化简得到答案.

【详解】，

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.

15．在ABC中，，BC=AC，则角B的大小为______．

【答案】

【分析】由，化简得到，进而得到，再由 BC=AC，得到求解.

【详解】解：在ABC中，，

所以，即，

所以，则，

又因为 BC=AC，

所以,

则 ，即，

所以或（舍去），

所以

故答案为：

16．已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中若，则△ABC和△AMN的面积之比为_______.

【答案】

【详解】

连接并延长交于，此时为的中点，故

，设 ，，，又，解得，

则，故答案为.

四、解答题

17．已知是同一平面内的三个向量，其中．

(1)若，且，求的坐标；

(2)若，且与垂直，求在方向上的投影向量．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设出的坐标，根据已知条件解方程，从而求得.

（2）根据向量垂直列方程，化简求得，从而求得在方向上的投影向量．

【详解】(1)设，则，解得或，

所以或.

(2)∵与垂直，∴,

∴,

∴在方向上的投影向量为．

18．在复平面内，复数（其中为虚数单位，）．

(1)若复数z为纯虚数，求a的值；

(2)若复数z>0，求a的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得的值.

（2）根据复数能比较大小列式，从而求得的值.

【详解】(1)由于为纯虚数，

所以，可得．

(2)由于与可以比较大小，所以为实数，且，

所以，可得．

19．已知，求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

（2）结合两角差的正切公式求得正确答案.

【详解】(1).

∵.

∴代入可得.

(2)∵.

∴

∴

20．已知函数．

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)若且，求的值．

【答案】(1)在，上递增

(2)

【分析】（1）化简函数解析式，结合正弦型函数的图象与性质即可求出结果；

（2）根据已知条件求出的值，进而结合同角的平方关系求出的值，然后凑角结合两角差的正弦公式即可求出结果.

【详解】(1)

所以最小正周期,

因为，即，

因此函数的单调递增区间为,

(2)∵，∴

∵∴，∴

.

21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)若b=2，求cosC；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，先求得，然后求得，进而求得.

（2）先求得，然后利用正弦定理求得.

【详解】(1)∵

∴，

由于，所以.

∴由正弦定理，得，∴，

∴．

(2)∵，∴，

∴，

∴由正弦定理，得．

22．如图，在平面凸四边形ABCD中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），AB=2，BC=5，CD=6．

(1)若，，求AD；

(2)已知AD=3，记四边形ABCD的面积为S．

①求的最大值；

②若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（直接写结果，不需要过程）

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】（1）结合余弦定理列方程，化简求得.

（2）①先求得的表达式，结合余弦定理列方程，化简求得的最大值.

②通过研究的范围来求得的取值范围，从而求得的取值范围.

【详解】(1)，

，

∴，

∴或（舍）.

(2)①，

．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴由，得，

∴当时，取得最大值.

②.

由①知：，则需研究的范围．

当增大时，增大，从而B随之增大，

所以，当A，B，C趋于共线时，趋于，其中钝角满足，

当减小时，减小，从而B随之减小，

所以，当A，B，D趋于共线时，趋于，其中锐角满足，

，

令，则在上递增，在上递减

并且

，.