2021-2022学年上海市南汇中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市南汇中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.

【详解】若，，则，，则AB错误；

若，，则，则C错误；

，，又，，则D正确.

故选：D

2．下列命题：①；②；③；④，其中与命题等价的共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】由集合的运算结合集合间的关系逐个判断即可得解.

【详解】由集合的运算可得命题、、均与命题等价；

命题与命题不等价.

所以与命题等价的命题共有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了集合的运算及集合间关系的应用，牢记知识点是解题关键，属于基础题.

3．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先确定集合的意义，根据补集和交集定义可得结果.

【详解】由题意知：全集是平面直角坐标系中所有的点构成的集合；集合是直线上所有点构成的集合；集合是直线上除外的所有点构成的集合；

是平面上的点和不在上的所有点构成的集合，.

故选：C.

4．已知命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）“”的必要非充分条件是“”；（4）是成立的必要非充分条件.其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由集合间的交并运算的的性质即可判断(1)(2)；对于(3)，首先化简，然后利用必要不充分条件的概念即可判断；对于(4)，利用特殊值法即可判断.

【详解】对于(1)：因为，所以或，故(1)错误；

对于(2)：因为，所以若，则，故(2)正确；

对于(3)：当时，，从而，必要性成立；

当时，也满足，故推不出，充分性不成立；

所以是的必要不充分条件，(3)正确；

对于(4)：若，则成立，但当且时，，故推不出；

若，取，满足条件，但此时不满足，

从而是的既不充分也不必要条件，故(4)错误.

从而真命题的个数为2.

故选：B.

二、填空题

5．设，，则__________.

【答案】

【分析】结合已知条件，利用并集概念及运算即可求解.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

6．若，是方程的两根，则__________.

【答案】2

【分析】结合已知条件，利用一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解.

【详解】由题意及根与系数之间的关系可知，，，

所以.

故答案为：2.

7．已知集合，则满足的集合共有__________个.

【答案】8

【分析】结合已知条件可知，，然后分类讨论集合中元素的个数即可求解.

【详解】因为，，

所以，

当只有1个元素时，则；

当只有2个元素时，则，，；

当只有3个元素时，则，，；

当只有4个元素时，则；

综上所述，所求集合共有8个.

故答案为：8.

8．用反证法证明命题“若实数、满足，则且”时，反设的内容应为假设__________.

【答案】或

【分析】结合已知条件，利用反证法的证明步骤即可求解.

【详解】由反证法的证明步骤可知，首先要假设或.

故答案为：或.

9．已知集合，集合，且，则实数__________.

【答案】

【分析】由集合相等可构造方程求得的可能的取值，代回集合验证可得结果.

【详解】，，解得：或；

当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当时，，满足题意；

综上所述：.

故答案为：.

10．若，则关于的不等式的解集为_______;

【答案】

【分析】由题设条件确定，再按一元一次不等式的解法求解即得.

【详解】因，则，不等式变形为不等式，解得，即，

所以不等式的解集为.

故答案为：

11．命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解.

【详解】由题意得，是的充分条件，

由可得或，

从而或，

从而.

故数a的取值范围是.

故答案为：.

12．设全集，若，，，则A=______.

【答案】

【分析】写出全集U，作出韦恩图，将全集U中的元素放置在合适的区域内即可求出集合A.

【详解】依题意，全集，作出韦恩图，如下图所示：

观察韦恩图知集合.

故答案为：

13．已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.

【答案】1或

【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.

【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，

①当时，，满足题意；

②当时，，所以，

综上所述，或.

故答案为：1或.

14．已知集合，则m的取值范围为______．

【答案】

【分析】当时，不等式恒成立，可知符合题意；当时，由恒成立可得；当时，不可能在实数集上恒成立，由此可得结果.

【详解】当时，恒成立，，符合题意

当时，，解得：

当时，集合不可能为

综上所述：

故答案为

【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.

15．关于不等式组的整数解的集合为，则实数k的取值范围是__________.

【答案】

【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解.

【详解】由或，

由可知，

当时，，

因为不等式组整数解的集合为，所以；

当时，的解为，

则此时不等式组的整数解的集合为，不满足题意；

当时，的解为，

则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意，

综上所述，实数k的取值范围为.

故答案为：.

16．设a、b、c为实数，记集合，.若、分别为集合S、T的元素个数，则下列结论不可能的是_______________.

①且|  ②且  ③且  ④且

【答案】④

【分析】结合已知条件，利用根的个数和一元二次方程的判别式之间的关系分类讨论即可求解.

【详解】(1)当时，由题意知，，

从而是的根且或者无实数根，即，

(i)若是的根且，则是的根，

即，且，

当时，则，此时，即；

当时，此时，的解为，

此时，即；

(ii)当时，无解，

当时，此时，即；

当时，此时，即；故AB正确；

(2)当时，可知不是的根，且，

可得，即，且，

(i)当时，，，此时，即；

(ii)当时，的解为，

若，显然；

若时且，此时，，

故C正确；

(3)当时，有一个解，有两个解，

且的解不是的解，

所以，即，

所以的解不是的解，

又有两个解，故，

即有两个不等的根，

所以有3个解，即，故④不可能成立.

故答案为：④.

三、解答题

17．试比较与的大小.

【答案】

【分析】利用作差法可得到大小关系.

【详解】恒成立，.

18．已知不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，全集.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】结合已知条件，通过求解一元二次不等式分别求解集合和，然后利用集合的交并补运算求解即可.

【详解】(1)因为，

所以，

因为或，

所以或，

从而.

(2)由(1)中知，，或，

所以，

.

19．设不等式的解集为，不等式的解集为，且.

(1)求实数；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解和一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可求得；

（2）根据交集结果可知；分别在、和的情况下，解不等式得到集合，由包含关系可构造不等式求得结果.

【详解】(1)，和是方程的两根，

，解得：，.

(2)，；

当时，无解，即，满足；

当时，由得：，

或，解得：（舍）或；

当时，由得：，

或，解得：或（舍）；

综上所述：实数的取值范围为.

20．已知集合，集合，且，.

(1)求实数p、q、r的值；

(2)若集合，且，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，，

(2).

【分析】(1)结合已知条件，可知，将代入可得，然后利用集合间的交并运算求出，然后利用一元二次方程根的个数即可求和；(2)利用集合间的包含关系以及元素与集合间的关系即可求解.

【详解】(1)因为，所以，所以，解得，

由或，

故，

因为，，

所以，

从而且，解得，.

(2)因为，， ，

所以且，即，

故实数a的取值范围为.

21．若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”.

(1)分别判断集合是否是“好集”，并说明理由；

(2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则；

(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有.

【答案】(1)A不是“好集”；理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据定义验证，从而可说明集合不是“好集”；

（2）根据定义由，，得到，从而可得到；

（3）分x，y为0或1和x，y均不为0且不为1两种情况，根据定义分别证明若x，，则，进而利用（2）的结论，证明，和，最后有.

【详解】(1)集合不是“好集”，理由是，，而，

所以不是“好集”；

(2)因为集合是“好集”，所以，

若，则，即，

所以，即；

(3)对任意一个“好集”A，任取x、；

若x、y中有0和1时，显然；

下设x、y均不含0，1，由定义得，，，

所以，所以，

由（2）得，同理，

若或，显然；

若，且，则；

所以.