2021-2022学年上海市徐汇中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市徐汇中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市徐汇中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列函数既是偶函数又是在区间上严格减的函数是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本初等函数函数的单调性与奇偶性的定义判断即可；【详解】解：对于A：定义域为，且，即为偶函数，且，函数在上单调递减，故A正确；对于B：为奇函数且在上单调递增，故B错误；对于C：为偶函数，且在上单调递增，故C错误；对于D：函数为非奇非偶函数，且在上单调递增，故D错误；故选：A2．当时，下列不等式恒成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断即可【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：D3．定义两种运算，则函数的解析式是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据所给定义求出函数解析式即可；【详解】解：因为，所以，因为，解得，所以，所以，；故选：B．4．①函数值域为；②函数为偶函数；③函数在上恒成立；④若任意都有.已知函数：①；②；③；④.其中同时满足以上四个条件的函数有（       ）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】分别作出①；②；③；④四个函数的图象，再根据图象逐一判断四个函数是否满足①②③④四个条件即可求解.【详解】分别作出①；②；③；④四个函数的图象： 由图知，四个函数的值域都是都满足①；由图知：①；②；③图象关于轴对称，都是偶函数，④的定义域为不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故④不满足条件②；排除函数④；条件③：函数在上恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在上单调递增，由四个函数图象可知，①，③，④满足条件③，函数②不满足条件③，排除函数②；对于条件④：函数①：如图任意都有，故函数①满足条件④，函数③：如图任意都有，故函数③满足条件④，所以同时满足以上四个条件的函数有函数①、函数③，共有个，故选：C二、填空题5．已知全集，集合，则___________【答案】【分析】先求出，再进行补集运算及即可求解.【详解】因为集合，所以，因为，所以，故答案为：.6．不等式的解集为________【答案】【详解】 由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.7．已知函数的图象恒过定点P，则点P坐标是___________【答案】【分析】根据指数函数的指数为，求出函数过定点坐标；【详解】解：因为，令，即，所以，即函数恒过点；故答案为：8．满足的集合A的个数为___________【答案】7【分析】根据子集的概念，列举出集合，可得答案.【详解】因为，所以集合可能是,共7个；故答案为：79．函数的奇偶性为___________【答案】奇函数【分析】利用奇偶性的定义进行判定.【详解】函数的定义域为，当时，，，，此时.当时，，，，此时.当时，，满足.综上为奇函数.故答案为：奇函数.10．若函数的定义域为，则函数的定义域是___________【答案】【分析】由题意可得，解不等式求出的范围即可求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，解得：，所以函数的定义域是，故答案为：.11．已知x､，且，则的最大值为___________【答案】或【分析】由题意可得，变形可求的最大值即可.【详解】因为且，所以，即，当且仅当，即且时取等号，此时取最大值为.故答案为：.12．设函数的定义域为，且对任意的，均有，则所有零点之和为___________【答案】【分析】先利用赋值求出，然后利用，结合韦达定理可求结果.【详解】当时，，即；当时，，解得，所以；令，可得，；设是的两个根，则，即所有零点之和为.故答案为：.13．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为___________【答案】【分析】根据复合函数的单调性可得内层函数是增函数，且在上有意义，结合不等式可求实数a的取值范围.【详解】设，则，且为增函数，所以在上单调递增，且在上恒成立.当时，易知为增函数，所以，即，所以；当时，在上是减函数，在上是增函数；所以，解得，所以.综上可得，实数a的取值范围为.故答案为：.14．已知为定义在上的偶函数，且，若在上严格减，若，则的取值范围为________【答案】【分析】由是上的偶函数，可得，即，，再由单调性可得，解不等式即可求解.【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，所以，所以，又因为，所以即，因为在上严格减，所以，解得：或，所以的取值范围为，故答案为：15．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．【答案】6【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为6【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．16．已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点对称，且，则_________．【答案】2021【分析】由分别取，，结合函数的对称性求，由此可得.【详解】∵   ，∴   ，，又的图像关于直线对称，的图像关于点对称，∴ 函数为偶函数，函数为奇函数，∴ ，∴ ，，∴ ，故答案为：2021.三、解答题17．已知.（1）求证函数是奇函数：（2）判断函数的单调性并证明.【答案】（1）证明见解析；（2）为上的增函数，证明见解析.【解析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立；（2）任取、，且，作差，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数为上的增函数.【详解】（1）函数的定义域为，，所以，函数是奇函数：（2），函数为上的增函数，证明如下：任取、，且，，，，，即，因此，函数为上的增函数.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.18．已知，且，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．（2）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．(1)证明：因为，且，所以，当且仅当时取等号，所以；(2)证明：，，，，当且仅当，即时，等号成立，，即得证．19．习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战”.为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天在环境综合污染指数与时刻（时）的关系为：，其中是与气象有关的参数，且.(1)令，求的最值；(2)若用每天的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？【答案】(1)答案见解析；(2)没有超标，理由见解析.【分析】（1）当时，，当时，，令，由函数单调性的定义判断在区间上的单调性，进而可得的单调性，由单调性可得最值；（2）由已知结合（1）可得，，则，由二次函数的单调性分段求出的的最大值关于的表达式，进而可得，即可判断.(1)当时，，当时，，令，任取，则当时，，，，所以，即，所以在上单调递减，当时，，，，所以，即，所以在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，；当时，，而，综上所述：当时，；当时，.(2)由（1），，令，，则，所以在和上单调递增，在上单调递减，且，，，令，即，解得：，令，解得：，所以，当时，，当时，，所以，所以目前市中心的综合污染指数没有超标.20．已知函数，.（1）恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求不等式的解集；（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）将，恒成立，转化为，恒成立求解.（2）由，分，， 讨论求解.（3）由时，得到，令，将问题转化为存在，有两个不等正根求解.【详解】（1）因为，恒成立，所以，恒成立；时，恒成立，满足题意；时，只需，，即；综上，实数的取值范围是；（2）即，当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；（3）时，令，则存在，有四个不等实根，即有四个不等实根，令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应；则存在，有两个不等正根，则，存在，，即存在，，即，且存在，，时，时最大值为，则，由可得，所以实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．21．已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质.(1)当，判断是否具有性质；(2)当，若具有性质，求的取值范围；(3)当，若为整数集，且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析.【分析】（1）根据函数的单调性结合具有性质的新定义逐一判断即可求解；（2）由题意可知所以为增函数，利用函数单调性证明在上单调递增，可得，进而可得的取值范围；（3）分、两种情况，由题意，，又因为为常值函数，故，再令、由此即可求解.(1)因为为减函数，所以，所以函数具有性质，因为为增函数，所以，所以函数不具有性质.(2)由题意可得：对于任意的，不等式恒成立，所以为增函数，任取，且 则，当时，，，，所以，即，所以，可得在上单调递增，若为增函数，则，所以，所以的取值范围为.(3)因为为整数集且具有性质的函数均为常值函数，若，令，不等式恒成立，但不为常函数，若，由题意可知：当时，恒成立，所以的周期为，令，，由题意可知，则，当时，，所以，当时，，所以，综上所述：为正奇数，即.