2021-2022学年四川省峨眉第二中学校高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年四川省峨眉第二中学校高一下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知向量，，若，则（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据向量共线的坐标运算可得答案.

【详解】因为向量，， ，

所以，得.

故选：B.

2．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（       ）

A．3 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】根据正弦定理即可得到答案

【详解】中，，，

由正弦定理：

故选：B

3．在中，已知，，，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先用平方关系求出，再用面积公式求面积

【详解】

所以

故选：C

4．已知数列的前项和为．若，   ，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即可根据等差数列的前项和公式求出．

【详解】因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，.

故选：C.

5．已知等比数列，，是方程的两根，则（       ）

A．8 B．10 C．14 D．16

【答案】B

【分析】根据韦达定理写出 ，再根据等比数列的性质即可得到答案

【详解】 ，是方程的两根

根据等比数列的性质有：

故选：B

6．在中，，，的对边分别为，，，若，则最大角的弧度数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理和余弦定理进行求解.

【详解】解：

由正弦定理得:

设

根据余弦定理可知

又

所以，根据正弦定理可知长边对大角，故最大角的弧度数为.

故选：B

7．若，则下列不等式正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断．

【详解】，A错，B错；

即，C错；

，D正确．

故选：D．

8．等比数列满足，，则（       ）

A．8 B．4 C．-4 D．-8

【答案】A

【分析】根据等比数列的基本量，结合已知条件求得公比，再求结果即可.

【详解】对等比数列，不妨设其公比为，

由，可得，

故可得，则.

即.

故选：A.

9．已知a，b，c分别为△三个内角A，B，C的对边，且，则△是（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用余弦定理的边角关系可得，讨论、即可判断△的形状.

【详解】由余弦定理得：，

所以，整理得，

当时，△是等腰三角形；

当时，△是直角三角形.

故选：D

10．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先在A处看到山顶的俯角为，经过后，又在B处看到山顶的俯角为，则山顶的海拔约为（       ）（结果精确到0.1，参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由解三角形知识求到的距离，然后计算山顶海拔

【详解】如图，过C点作直线的垂线，垂足为D.

由题意得，，因为，所以，又因为，

所以.故山顶的海拔约为.

故选：B

11．设等差数列的前项和为，满足，则（       ）

A． B．的最小值为

C． D．满足的最大自然数的值为25

【答案】C

【分析】利用等差数列等差中项的性质，计算出数列相关参数即可.

【详解】由于 ， ，

∴上式中等差中项， ，即 ，

故A错误；

由等差数列的性质可知 ， ，即 ，

故B错误；

由以上分析可知C正确，D错误；

故选：C.

12．已知数列满足，且对任意，，，数列的前项和为，则的整数部分是（       ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

【答案】B

【分析】由已知得，利用，

得，又因为时，，可得答案.

【详解】由，得，

即，所以，

因为，，所以，

又因为，

，

，

，

所以时，，，

所以的整数部分为2022.

故选：B.

【点睛】本题考查了数列的递推公式、求和，解题的关键点是求出和，考查了推理能力与计算能力.

二、填空题

13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的周长为______．

【答案】

【分析】用余弦定理求得后可得周长．

【详解】由余弦定理得，所以，

，则，

三角形周长为．

故答案为：．

14．在各项均为正数的等比数列中，若，，则______.

【答案】70

【分析】利用等比数列的求和公式的基本量运算即得，或利用等比数列前n项和的性质求解.

【详解】设等比数列的公比为，由题可知，

方法一：由已知条件可列出方程组

两式作商得，

∴，

∴.

方法二：由性质得，

，即，

∴，

∴.

方法三：运用性质.

由已知条件，，易得，

∴，即，

∴.

由，解得.

方法四：运用性质，，，，…成等比数列解答.

∵，，成等比数列，

而，，∴，

即，

∴.

故答案为：70.

15．已知数列各项均为正数，若，且，则的通项公式为______．

【答案】

【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式.

【详解】由已知可得，所以，，

所以，数列是等比数列，且该数列的首项为，公比为，因此，.

故答案为：.

16．设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则______．

【答案】1

【分析】先根据向量数量积求出与的夹角为，再根据的定义式计算即可

【详解】，

，

，

故答案为：1

三、解答题

17．已知，，．

(1)求与的夹角；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可求得向量夹角；

（2）把模平方转化为数量积的运算求解．

【详解】(1)∵，，，

∴，解得．，，

所以；

(2)．

18．已知关于x的不等式.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集是，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可解出；

（2）根据题意可得到不等式恒成立，然后分和两种情况讨论即可.

【详解】（1）当时，不等式化为，即，

所以，解得或

所以不等式的解集为或.

（2）当时，不等式化为，显然在R上恒成立，符合题意；

当时，因为关于的一元二次不等式的解集为R，

所以，解得.

综上知，的取值范围是.

19．己知等差数列的公差为2，若，，成等比数列．

(1)求等差数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等比数列的性质结合等差数列的通项公式公式求得首项后可得通项公式；

（2）由裂项相消法求和．

【详解】(1)∵，∴，

∴，

(2)

20．如图，在平面四边形ABCD中，，，．

(1)求；

(2)若，的面积为，求CD．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦和差公式即可求解。

（2）利用正弦定理求出,,再根据三角形面积公式，即可求解.

【详解】(1)中，，．所以，

所以；

(2)中，由正弦定理得，，

所以，又，

所以，

因为的面积，

所以．

21．已知向量，，，且、、分别为的三边、、所对的角.

（1）求角的大小；

（2）若，，成等差数列，且，求边的长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用向量的数量积可得的三角函数关系式，结合内角和为可得关于的方程，解方程后可得的大小.

（2）根据内角的正弦为等差数列可得，利用向量数量积的定义和余弦定理可得与三边相关的方程，从而可求的值.

【详解】（1），

对于，，.

∴，∴，，

因为，故，而，故.

（2）由，，成等差数列，得，

由正弦定理得.

∵，即，，

由余弦定理，

∴，，∴.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积以及三角变换，一般地，在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，解三角形时，注意对三角形中已知的几何量和未知的几何量进行分析，从而确定用合适定理解决问题，本题属于中档题.

22．已知在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列中，，，．

(1)求的通项公式；

(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；

(3)设，求数列的前项的和．

【答案】(1)

(2)证明见解析，

(3)

【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，求出和求可求解；

（2）根据题意，结合等比数列的定义以及通项公式，即可证明与求解；

（3）根据题意，结合错位相减法与裂项相消法，分别对数列的奇数项与偶数项求和，进而可得.

【详解】(1)设等差数列的公差为，∵，且，，成等比数列，

∴，即，解得，

∴．

(2)证明：数列中，，

∵，．

∴，．

∴数列是等比数列，首项为4，公比为4，

∴，∴．

(3)①当时，，，

∴数列的前k项的和，

∴，

∴，

化为：．

②当时，

，

数列的前k项的和

，

数列的前2n项的和．