2021-2022学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一上学期期中联考数学试题

2021学年宁波三锋教研联盟高一第一学期期中联考(柔石）(数学)

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A．    B．  C．  D．

2．命题“，”的否定为（    ）

A．，  B．，
C．， D．，

3．集合A，B的关系如图所示，则“”是“”的（    ）

A． 充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件

4．设，，，则a，b，c的大小关系（    ）

A．   B．  C．  D．

5．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）

A． 7 B． 14 C． 18 D． 9

6．函数的图像（    ）

A．  B．
C．  D．

7．函数  若，则实数a的取值范围（    ）

A．  B．  C．  D．

8．已知，函数，，若的最大值为M，最小值为N，则（    ）

A．   0 B． 2 C．  D． 1

二、多选题

9．，且，则m可能的取值为（    ）

A． 0 B．  C．  D．

10．若且，则下列不等式中一定正确的是（    ）

A．   B．  C．  D．

11．已知在区间上的最小值为4，则a可能的取值为（    ）

A．   B． 3 C．  D．1

12．已知函数，则下面结论正确的有（    ）

A． 的图像关于y轴对称． B． 在上单调递减．
C． 的值域为．   D． 当时，有最大值．

三、填空题

13．的定义域为______．

14．若集合且，则实数a的取值为______．

15．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围______．

16．已知，且，则的最小值是______．

四、解答题

17．化简求值：

（1）；

（2）．

18．已知集合，

（1）若，求；

（2）若，求k的取值范围．

19．已知幂函数经过．

（1）求的值；

（2）若，

①试判断的奇偶性并证明；  
②试判断的单调性并证明．

20．已知函数 

（1）若是奇函数，求a的值；

（2）若在上恒成立，求a的取值范围．

21．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入成本500万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等成本共为万元，每年的销售收入为260万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．

（1）写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利？（利润=销售收入-总成本）

（2）问使用到第几年末，年平均利润最大，最大值为多少？

22．已知

（1）若，解不等式；

（2）求在上的最大值．

答案和解析

1．【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，属于基础题．
根据集合交集的定义，列举出集合A、B的共同元素组成集合，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，，，
则．
故选B．  

2．【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了全称量词命题的否定，属于基础题．
由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得结果．

【解答】

解：易知全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以“，”的否定应为：“，”．
故选C．

3．【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，集合之间的包含关系，属于基础题．
由Venn图可知：，从而得出“”是“”的必要不充分条件．

【解答】

解：由Venn图可知： ，
∴由“”可得到“”，但是由“”不一定得到“”，
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选B．

  4．【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的性质，属于基础题．
利用指数函数的单调性比较大小．

【解答】

解：由指数函数在R上单调递减，在R上单调递增，
可知，，
故．
故选C．

 5．【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用，再根据基本不等式即可求解．

【解答】

解：∵，且，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值是9．
故选D．

  6．【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查函数图像的识别，以及指数函数的单调性，属于较易题．
利用函数的单调性和值域排除即可．

【解答】

解：可得函数的定义域为，
因为，函数为非奇非偶函数，
当，，函数单调递减，此时，排除AC；
当，，函数单调递增，此时，排除B；
故选D．

 7．【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数的单调性，指数函数的单调性与最值，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．

【解答】

 解：当时，是减函数且，
当时，也是减函数，且，
综上在上是减函数，
若，
则，即，
则实数a的取值范围是，
故选A．

 8．【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查奇函数的性质，属于基础题．
根据构造为奇函数，得到与的关系即可求得结果．

【解答】

解：设函数
则
故为奇函数，，
∴，
∴．

故选B．

 9．【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查含参数的交集运算问题，以及子集、空集的定义，属于基础题．
可以求出，根据即可得出，讨论集合B是否为空集，求解即可 ．

【解答】

解：由得或，所以，
∵，∴，
①时，，满足；
②时，，又，
所以或，
∴或 ．
综上，实数m的值可以为0或或，
故选．

  10．【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的性质，注意考虑，，的正负，属于中档题．
题目已知，且，于是可以推出得到最大数和最小数，而b为正、负、零均有可能，逐一验证即可．

【解答】

解：∵且．

当时，，则，与已知条件矛盾，所以必有，同理可得．

A项，，即，故A项正确;

B项，，即，故B项正确;

C项，时，，故C项错误;

D项，当，，时，，故D项错误

故选．

  11．【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
对a进行分类讨论即可求解．

【解答】

解：因为函数的图象的对称轴为直线，
在区间上的最小值为4，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，a的取值集合为．
故选．

  12．【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义域和值域，函数图象的平移变换，函数的单调性与单调区间，函数的最值，函数奇偶性的判断与应用，属中档题．
对于A，由定义域为且可得为偶函数即可判定；对于B，当时，函数可由函数向右平移1个单位得到，由此即可得单调性；对于C，由在的单调性结合偶函数的性质即可得值域；对于D，由函数在的单调性即可判定．

【解答】

解：对于A，由得函数定义域为，所以．
由可得，函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，当时，函数，该函数可由函数向右平移1个单位得到，所以函数在上单调递减，故B正确；
对于C，当时，函数在和上均单调递减，
所以该函数在的值域为；
又因为函数为偶函数，且，
所以在其定义域上的值域为，故C错误；
对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值为，故D正确．
故答案为．

  13．【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数定义域的求法，属于基础题．
根据偶次方根被开方数非负，分母不为0得到关于x的不等式组，解出即可．

【解答】

解：由得

所以且．

故函数的定义域为．
故答案为．

  14．【答案】4或 

【解析】

【分析】

本题主要考查了元素与集合之间的关系，属于基础题．
由题意得出关于a的方程，求出a的值，利用集合的互异性确定出a的值．

【解答】

解：若，此时，符合题意；
若，则或，
当时，此时不满足集合中元素的互异性，舍去；
则，，符合题意．
故答案为4或．

  15．【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，以及利用单调性解不等式，属于基础题．
因为函数为偶函数，所以，又在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，从而不等式可解．

【解答】

解：∵函数为偶函数，∴，
∴等价于，
∵在区间上单调递增，
∴函数在区间上单调递减，
于是有：，
∴，即．
故答案为：．

  16．【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属基础题．
由，得到，则，根据基本不等式即可求出答案．

【解答】

解：由，得到，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．

  17．【答案】解：（1）原式；
（2）原式  
  
． 

 18．【答案】解：（1），
当时，，
．
所以．
（2）∵ ，   
∴
∴ 
解得，
∴实数k的取值范围为：． 

【解析】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
（1）可求出，时求出集合B，然后进行并集的运算即可；
（2）根据可得出 ，从而解出k的范围即可．
19．【答案】解：（1）∵幂函数经过，  
∴     
解得 .      
（２），， 
 ①∵， 
∴为奇函数
 ②在，上单调递增，
在上任取，且，
 
∵，，，
∴，即，
∴在上单调递增，
同理在上单调递增．
故在，上单调递增． 

 20．【答案】解：（1）∵的定义域为R且是奇函数，  
∴，     
解得．
（2）∵在上恒成立，
∴．
下求．
令，，
则，  ，
因为 在单调递增，
所以 ，
即 ，
故，解得，
所以a的取值范围是． 

【解析】本题考查奇函数的性质及不等式的求解，属于中档题．
（1）由即可求得a；
（2）设，，由函数的单调性求得最小值即可得解．
21．【答案】解：（1），
令，解得， 而，
所以该设备第3年开始盈利，
（2），
因为，当且仅当时取到等号，
所以万元．
故在使用第5年末，年平均利润最大为50万元． 

 22．【答案】解：（1）时，  
①当时，，解得，所以，
②当时，，所以．
综合得不等式的解集为；
（2）
①当时

当时；当时．
②时
当时；当时 
综上所述，．
另解如下：
解：
1．当时
（1）若，即，
∵在单调递增
∴
（2）若，即，
∵
∴
（3）若，即
∵
∴
（4）若，即

∴当时，
2．当时
（1），即，
（2），即，
（3），即，
∴当时，
综上所述：