2022-2023学年安徽省六安第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省六安第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据可得，，从而解得的值，再进行并集运算.

【详解】，，，

，，

，，

故选：B.

【点睛】本题考查集合的基本运算，考查运算求解能力，属于基础题.

2．若全集且，则集合的真子集共有个

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合A，再根据集合A中的元素个数求出真子集的个数．

【详解】解：依题意，A＝{2，3，5}，

∴集合A的真子集共有个，

故选C．

【点睛】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有个子集，有个真子集，属于基础题．

3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得且，从而可求得结果.

【详解】根据题意得，得，

所以的定义域为，

故选：B

4．设函数，则的表达式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用换元法求解即可.

【详解】令（），则，，

所以，

所以，

故选：C.

5．若，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，求出的值，然后利用不等式的性质可求出的取值范围.

【详解】令，则，

所以，解得，

所以，

因为，，

所以，，

所以，

即，

所以，

故选：B.

6．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且时，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得在上单调递减，再由函数为奇函数，可得在上单调递减，，由此可求出和的解集，从而可求得结果.

【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，

所以在上单调递减，

因为是定义在上的奇函数，

所以在上单调递减，

因为，所以，

所以当或时，；当或时，，

由，得，

所以当或时，，

所以不等式的解集为.

故选：A

7．已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】先令，求出，再判断函数的奇偶性，然后利用函数的单调性的定义结合已知条件判断其单调性，再利用单调性可求出函数的最大值.

【详解】令，则，得，

令，则，

所以，

所以为奇函数，

任取，且，则，，

所以

，

所以，

所以在上递减，

所以当时，的最大值为，

因为，所以，

所以，

故选：D

8．若函数，则关于的方程有（    ）实根．

A．6个 B．4个 C．3个 D．2个

【答案】C

【分析】由，可得或，然后分情况讨论求解即可.

【详解】由，得，

解得或，

①若，

当时，，解得，

当时，，解得（舍去），或，

②若，

当时，，即，解得，或（舍去），

当时，，方程无解，

综上，关于的方程的解有，或，或，共3个，

故选：C.

二、多选题

9．命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】先由方程的一个实根大于1，另一个实根小于1，求出的取值范围，然后再利用充分不必要条件的定义分析判断即可.

【详解】令，

因为一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1，

所以，所以，解得，

所以命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件为的一个真子集即可，

所以AC符合条件，

故选：AC.

10．下列对应不是集合到集合的函数的是（    ）

A．， B．，，

C．， D．，

【答案】BCD

【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可.

【详解】对于A，对于时，每一个，有唯一确定的值1与其对应，所以是集合到集合的函数，所以A不符合题意，

对于B，当时，不存在，所以此对应不是集合到集合的函数，所以B符合题意，

对于C，当时，，所以此对应不是集合到集合的函数，所以C符合题意，

对于D，当时，，一个对应两个的值，所以此对应不是集合到集合的函数，所以D符合题意，

故选：BCD

11．下列说法中正确的是（    ）

A．函数的最小值为2

B．若，则

C．函数的值域为

D．函数与函数为同一个函数

【答案】BC

【分析】根据基本不等式、比较法，结合分式函数的性质、同一函数的定义逐一判断即可.

【详解】A：，

若，显然该方程无实数解，

故，

所以，

因此最小值不是2，所以本选项不正确；

B：因为，

所以，

即，因此本选项正确；

C：因为，

所以，因此函数的值域为，所以本选项正确；

D：由可知：，所以函数的定义域为，

由函数可知，或，

所以函数的定义域为或，

因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确，

故选：BC

12．符号表示不超过的最大整数，若定义函数，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数在定义域上不具有单调性

C．函数的值域为

D．方程存在无数个实数根

【答案】BD

【分析】首先读懂高斯取整函数的定义，然后尝试作出的图像，从图像上代入判定各选项是否正确.

【详解】,

故，故A错误，

函数的定义域为,又，

函数是周期为1的函数,当时,,则作出其图像如图所示，故函数在定义域上不具有单调性，故B正确，

由图得其值域为，故C错误，

令，根据其为周期为1的函数，可得到两函数有无数个交点，故方程存在无数个实数根，故D正确，

故选：BD.

【点睛】本题实质上高斯取整函数的应用，由于其在具有广泛的运用，所以备受命题人青睐，本题结合高斯函数构建了一个具有周期性的函数，关键是要作出此函数的图像，那么一一代入选项即可判断.

三、填空题

13．命题“，”的否定是_________．

【答案】，.

【分析】特称命题否定为全称命题即可.

【详解】命题“，”的否定是

“，”，

故答案为：，.

14．已知函数，若实数满足，则_________．

【答案】

【分析】由可得，再求的值.

【详解】因为，，

所以，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

15．函数的单调递减区间为__________．

【答案】

【分析】首先求出函数的定义域为，利用复合函数单调性，同增异减的原则，先确定外函数的单调性，再确定内函数的单调性即可得到答案.

【详解】令，解得，

设，，

外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，

，对称轴为，其开口向下，故其减区间为.

故答案为：.

16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．根据该推广结论，则函数图象的对称中心坐标为_________．

【答案】（1，0）

【分析】由写出，化简后，利用奇函数的定义求得a,b的值，即得答案.

【详解】令

∵为奇函数，，即，解得

故答案为：（1，0）

四、解答题

17．已知集合，，．

(1)求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合，再求集合的补集，从而可求出；

（2）由得，从而可列出关于的不等式组，从而可求出的范围.

【详解】（1）由，得，所以，

由，得，所以，

所以，

所以．

（2）由得，

因为，，

所以，解得，

故实数的取值范围为．

18．已知函数是奇函数，且．

(1)求，的值；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明．

【答案】(1)，

(2)在区间上单调递增；证明见解析

【分析】（1）根据函数为奇函数，则有，即可求出值，再代入，即可求出值.

（2）由（1）知，利用定义法证明其单调性，设，，判定其符号即可得到其单调性.

【详解】（1）由奇函数定义得，恒成立，

故，从而，

又，即，∴，∴，综上.

（2），在区间上单调递增，

证明：设

则，

∵，∴，，，

∴即，

∴在区间上单调递增．

19．已知是定义在上的偶函数．

(1)求的值；

(2)画出的图象，并指出其单调减区间；

(3)若关于的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)作图见解析；答案见解析

(3)

【分析】（1）由偶函数的定义列方程可求出的值；

（2）先对函数化简，然后列表、描点、连线画图象，然后根据图象可求出函数的减区间，

（3）将问题转化为与的图象有两个不同的交点，再根据图象可求得结果.

【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，

所以，即，

所以，

所以，

因为，所以；

（2）由（1）得，

列表：

描点连线得图象如图所示：

由图象可得单调减区间为和；

（3）因为关于的方程有2个不相等的实数根，

所以与的图象有两个不同的交点，

由（2）中的图可知或，

所以或，

所以实数的取值范围为.

20．已知 且，，．

(1)若，求的最小值；

(2)若，求证：．

【答案】(1)4

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意可得，然后利用基本不等式可求得结果；

（2）利用分析法结合完全平方式可证得结论.

【详解】（1）因为，，，

所以，

当且仅当，即时取等号．

所以的最小值为4；

（2）证明：要证，

又，

故只要证，

只要证，

只要证

而上式显然成立，且当取等号，

故原结论成立．

21．已知函数．

(1)求关于的不等式的解集；

(2)若在区间上的最小值为，求的值．

【答案】(1)见解析；

(2)6.

【分析】（1）分，和三种情况求解；

（2）先求出二次函数图象的对称轴，然后分，和三种情况讨论求函数的最小值，列方程可求出的值．

【详解】（1）由题意得，即，

①当时，不等式的解集为；

②当时，不等式的解集为；

③当时，不等式的解集为．

（2）的对称轴为，

①当，即时，，不符合题意；

②当，即时，，解得或，不符合题意；

③当，即时，，解得；

综上所述：的值为6．

22．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．

(1)当时，求函数在上的解析式；

(2)若函数为R上的单调递减函数，

①求实数的取值范围；

②若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围，

【答案】(1)，

(2)① ；②

【分析】（1）根据函数奇偶性求解函数解析式；

（2）①分与两种情况，结合函数的奇偶性和对称性得到答案；

②利用函数的奇偶性和单调性转化为对任意的成立，求出，从而求出实数的取值范围.

【详解】（1）设，则，又因为且为奇函数，

所以．

（2）当时，开口向下，对称轴为，

①当时，在上单调递增，在上单调递减，不符合题意；

当时，易知在上单调递减，

由奇函数的性质知在上也单调递减，

故时，函数为R上的单调递减函数．

综上所述，的范围为．

②由得，

又为奇函数，故，

又函数为R上的单调递减函数，故对任意的成立，

即对任意的成立，

其中，

故，实数的取值范围为．