2022-2023学年北京市北京师范大学附属实验中学高一上学期期中考试数学试题

2022北京北师大实验中学高一（上）期中

数    学

班级_________  姓名_________  学号_________  成绩

第I卷(共100分)

一、单项选择题(本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。每小题5分，共40分)

1．若集合，，则

A．  B． 

C．  D．

2．命题“，”的否定为

A．， B．，

C．， D．，

3．下列命题是真命题的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表：

则函数在区间上的零点至少有

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是

A． B． C． D．

7．设函数若，则实数的值为

A． B． C．或 D．或

8．已知函数．关于的性质，有以下四个结论：

①的定义域是；②是奇函数；

③在区间上单调递增；④的值域是．

其中正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

9．函数的定义域为__________．

10．已知函数为奇函数，且当时，，则__________．

11．欲用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米，则这个菜园的最大面积为_______平方米。

12．已知关于x的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为_______．

13．已知偶函数，写出一组使得恒成立的实数的取值：_______，_______．

14．函数的定义域为，其图像如图所示。函数是定义域为的偶函数，满足，且当时，．

给出下列三个结论：

①；

②不等式的解集为；

③函数的单调递增区间为，．

其中所有正确结论的序号是________．

(注：本题为多选题，全部选对得5分，不选或有错选得0分，其它情况得3分)

三、解答题(本题共3小题，每小题10分，共30分)

15．(本小题满分10分)

设集合，．

(I)求和；

(I)若，满足，求实数的取值范围．

16．(本小题满分10分)

设函数．

(I)求函数的图像与直线交点的坐标；

(Ⅱ)当时，求函数的最小值；

(Ⅲ)用单调性定义证明：函数在上单调递增。

17．(本小题满分10分)

已知函数满足．

(I)求实数的值；

(Ⅱ)若函数是奇函数，当时．

(i)直接写出的单调递减区间：________；

(ii)若，求的取值范围．

第Ⅱ卷(共50分)

四、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

18．若是偶函数，且在单调递减，比较，，的大小关

系．(用“>”或“<”连接)

19．函数的值域为，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数可以为__________．(写出符合条件的一个函数即可)

20．某购物网站在2022年10月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为200元，衣服的价格为200元，鞋的价格为150元，用户应支付200+200+150=550元，减免价格最低商品价格150元，实际支付400元，实际折扣400÷550=约7.3折，立省150元。

(1)如果在此网站上购买的三件商品价格分别为500元、700元、400元，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为折；

(2)在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为________折 (保留一位小数)。

21：已知当时，函数的图像与的图像有且只有一个交点，正实数的取值范围是________．

五、解答题(本大题共3小题，共30分)

22．(本小题满分10分)

已知，，且．

(I)求的最小值；

(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

23．(本小题满分10分)

设函数

(I)求函数在区间上的最大值和最小值；

(Ⅱ)设函数在区间上的最大值为，试求的表达式．

24．(本小题满分10分)

已知集合．对

，定义：

与的差为；

与之间的距离为

(I)当，时，设，，求,；

(II)若对于任意的，有，求的值并证明：

．

参考答案

第I卷(共100分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

三、解答题(每小题10分，共30分)

15．解：(1)∵  ∴

∵∴，

则．【4’】

(2)由，可知

∵

则，

所以，的取值范围为．【10’】

16．解：(1)由，解得，．

所以函数的图像与直线的交点为，．【3’】

(2)因为，所以．

当且仅当，即时等号成立．

故当时，函数在上取到最小值7．【6’】

(3)任取，且，那么

因为，所以，，，

从而，即．

所以函数在上单调递增．【10’】

17．解：(1)；．【2’】

(2)(i)或．【4’】

(ii)由(1)知，则当时，；

当时，，则

因为是奇函数，所以．

若，则

，或

解得或．

综上，的取值范围为．【10’】

第Ⅱ卷(共50分)

四、填空题(每小题5分，共20分)

五、解答题(每小题10分，共30分)

22．解：(1)∵，且，

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为．【4’】

(2)∵，且,

，当且仅当，且，即，时取等，

即的最小值为3,

：．，即，解得，

即实数的取值范围是．【10’】

23．解：(1)在区间上，．

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为，最小值为．【4'】

(2)当时，在上单调递增，在上单调递减：

所以的最大值为9．

当时，在上单调递增，在上单调递减，在，

单调递增，在上单调递减，此时，，所

以的最大值为9．

当时在上单调递增，在上单调递减，在，单调递增，在上单调递减。此时，所以的最大值为．

当时，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，此时，所以的最大值为．

综上，，【10'】

24．解：(1)，

．【4’】

(2)因为对于任意的，都有，

由，

可知或．

1)当，时，或，即或或；

2)当，时，或，即；

3)当，时，或，即；

4)当，时，或，即或或；

若，不妨取，，则，与矛盾；

若，不妨取，则，与矛盾；

当时，对任意的．都有，故任意的，都有．

综上，．

设．所以．

当时，；

当时，；

所以．【10'】