2022-2023学年北京市陈经纶中学高一上学期期中诊断数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市陈经纶中学高一上学期期中诊断数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市陈经纶中学高一上学期期中诊断数学试题 一、单选题1．设全集，若集合满足．则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由补集的概念得后对选项逐一判断【详解】由题意得，故B正确故选：B2．若实数a，b，且，则下列不等式恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等关系与不等式的性质，逐项分析即可求解.（解决此题的关键是熟记不等式的性质）【详解】由题意可得，实数且，若，则，故A错误；若，则，故B错误；若，则，故C错误；已知，，则恒成立，故D正确；故选：D.3．全称量词命题“ “ 的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】全称命题否定为特称命题，改量词否结论即可【详解】解：命题“ “ 的否定为“”，故选：B4．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故B错误；对C，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；对D，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.故选：C.5．设函数若f（a）＝4，则实数a＝（    ）A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2【答案】B【分析】讨论的范围，代入不同解析式，即可容易求得结果.【详解】当时，，解得；当时，，解得，因为，所以，综上，或，故选：【点睛】本题考查分段函数自变量的求解，属简单题.6．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.7．已知函数的图象为折线OAB，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据图象求出解析式再代入函数值计算可得答案.【详解】因为、、在函数的图象上，时，设解析式为，所以，解得，即，当时，设解析式为，所以，解得，即，所以，，即..故选：C.8．函数的图象可能是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和函数值的符号可得正确的选项.【详解】函数定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，排除BC，又当时，，当时，，故A正确，D错误.故选：A.9．德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为则下列关于狄利克雷函数的判断错误的是（    ）A．对任意有理数t，B．对任意实数x，C．既不是奇函数也不是偶函数D．存在实数x，y，【答案】C【分析】根据狄利克雷函数的定义判断ABD，结合奇偶性的定义判断C．【详解】对于A，对任意有理数t，当x为有理数时，为有理数，则；当x为无理数时，为无理数，则，故A正确；对于B，若x为有理数，则；若x为无理数，则，故B正确；对于C，当x为有理数时，则为有理数，则；当x为无理数时，则为无理数，则，于是对任意实数x，都有，即狄利克雷函数为偶函数，故C错误；对于D，取，，因为为无理数，所以，故D正确.故选：C.10．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】先由题意得到必是常数，设，（为常数），得，根据题意求出，即可得出结果.【详解】由，且是定义域为的单调函数，可知必是常数，设，（为常数），得，且，解得，∴，因此.故选B【点睛】本题考查了单调函数的定义，单调函数中的和的对应关系，考查了推理和计算能力，属于常考题型． 二、填空题11．的值是______．【答案】##0.0625【分析】根据指数幂的运算性质即可求解．【详解】．故答案为：．12．函数的定义域为__________．【答案】 且【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【详解】要使函数有意义，则，得，即且，即函数的定义域为，故答案为： 且.13．已知集合，若，则的取值范围为________.【答案】【分析】求得集合，根据为，得到元素一定在集合中，即可求解.【详解】由题意，集合，因为，可得至少有一个属于集合中，若或在集合A中，则元素一定在集合中，所以只要保证即可，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及利用集合的交集运算求解参数，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．【答案】【分析】为二次函数，且开口向上，求出对称轴，根据在区间上单调递增，列出不等式，求出的范围，然后求解的取值范围．【详解】由题知，为二次函数，且开口向上，对称轴，因为在区间上单调递增，则，得：，则，故的取值范围是．故答案为：．15．若，则的最小值是___________.【答案】8.【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可.【详解】解：因为，所以，，所以当且仅当即时，取等号，所以的最小值是8.故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题. 三、双空题16．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中：①；②；③；④，以0为聚点的集合有 ___和 ___．【答案】     ①     ③【分析】根据题设中关于集合聚点的新定义，逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案.【详解】由对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，①中，集合，对于任意的，都存在，使得，所以是集合的聚点；②中，对于某个，比如，此时对于任意的，都有或者，也就是说不可能，所以不是的聚点；③中，集合中元素时极限为的数列，对于任意，存在，使得，所以是集合的聚点；④中，集合中为极限为的数列，除了第一项之外，其余的都至少比大，所以在时，不存在满足的值，所以不是的聚点.故答案为：①③. 四、解答题17．设全集，集合，.（1）求； （2）若集合，满足，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）首先求出集合，与集合进行交集运算，再求补集即可.（2）求出中不等式的解集，确定出集合，由可得，从而利用数轴列出关于的不等式，即可得的取值范围.【详解】（1）∵∴ ，∴或；（2）由得，，根据数轴可得， 从而【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，以及利用集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.18．己知函数(1)当时，求在上的最值；(2)当时，求关于x的不等式的解集．【答案】(1)，；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据二次函数的单调性，即可容易求得结果；（2）对参数的范围进行分类讨论，在不同情况下求其解集即可.【详解】（1）当时，，；在区间上，单调递减；在上，单调递增，所以，当时，；又，，所以当时，.（2），即，当时，得，，不等式解集为；当时，由，得，，当时，，此时不等式解集为；当时，，此时不等式解集为；当时，，不等式解集为；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.19．经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）(2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】(1)当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时；(2)汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）. 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其对应的值，即可得出结论；（2）解不等式即可得解.【详解】（1）解：，（千辆/小时），当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时.（2）解：据题意有，即，即，解得，所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.20．已知定义在上的奇函数，且．(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明之；(3)解关于实数的不等式．【答案】(1)；(2)在上单调递增，证明见解析(3) 【分析】（1）利用列方程组，解方程组求得；（2）首先判断出单调性，再根据定义法证明单调性；（3）根据的奇偶性和单调性，列出关于的不等式即可求解【详解】（1）因为为奇函数，所以即，整理得，解得，又因为，解得，综上所述，，；（2）在上单调递增，证明如下：由（1）可得，对于任意，，且，，，即，，在上单调递增，得证；（3）由是奇函数，则不等式可整理成，因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，所以在上是增函数，则，解得，所以的取值范围是21．已知集合，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合A是S的“好子集”．(1)分别判断数集与是否是集合S的“好子集”，并说明理由；(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，，都有；(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．【答案】(1)集合P不是集合S的“好子集”；集合Q是集合S的“好子集”；理由见解析(2)证明见解析(3)334 【分析】（1）根据“好子集”定义，在P中找到整除，即可判断，对于中元素两两作差作和，发现满足“好子集”定义.（2）采取反证法，首先排除的情况，然后假设存在A中的任意两个不同的元素，使得，从而得出与原条件相矛盾的结论.（3）假设集合是集合好子集，通过（2）可知其中任意两元素差值大于等于3，则（，2，3，…），通过累加法得到．得到，解出范围得到最值.【详解】（1）由于整除，所以集合P不是集合S的“好子集”；由于不能整除，不能整除，不能整除，所以集合Q是集合S的“好子集”．（2）（反证）首先，由于A是S“好子集”，所以，（因为若等于1，则必会被整除） 假设存在A中的任意两个不同的元素x，，使得，则x与y同为奇数或同为偶数，从而是偶数，此时，能整除，与A是S“好子集”矛盾．故若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，，都有；（3）设集合是集合S的一个“好子集”，令：，（，2，3，…），由（2）知，（，2，3，…），，于是累加得．从而：所以：．另一方面：取，其中任意两元素差值都不能整除，故其是好子集，此时集合A有334个元素，且是集合S的一个“好子集”，故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为334．【点睛】本题是集合新定义问题，关键是充分理解其定义，利用其定义去解决问题，反证法在一些证明题有着很重要的运用，它让一些不易证明的结论变得非常简介易证，关键是要假设相反，出现矛盾，得到证明，第三问难度要求较高，首先要对集合中的元素进行一定假设，穿插着累加的方法，得到关于的不等式，解出其范围，再找到满足最大值时集合的具体元素情况.