2022-2023学年北京市大峪中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市大峪中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由交集定义可直接得到结果.

【详解】由交集定义得：.

故选：C.

2．命题“，使得”的否定是（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

【答案】C

【分析】根据特称量词命题否定的法则即可.

【详解】对于 的否定为 ，对于 的否定为 ；

故选：C.

3．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过反例可知ACD错误；根据幂函数的单调性可知B正确.

【详解】对于A，若，则，A错误；

对于B，在上单调递增，，，B正确；

对于C，若，则，C错误；

对于D，若，则，D错误.

故选：B.

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先解出不等式，再根据充分性，必要性的定义得出答案即可.

【详解】，

则不能推出，但可以推出，

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：C.

5．下列四个函数中，在上为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A. 利用一次函数的性质判断；B. 利用二次函数的性质判断；C. 利用反比例函数的性质判断；D. 由，利用一次函数的性质判断；

【详解】A. 由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；

B. 由二次函数的性质知：在递减，在 上递增，故错误；

C. 由反比例函数的性质知：在 上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；

D. 由知：函数在上为减函数，故错误；

故选：C

【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.

6．已知函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断.

【详解】，

，，

，，

根据零点存在性定理可得一定包含零点的区间是.

故选：C.

7．若是定义在上的偶函数，，有，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知关系式可知在上单调递减，由偶函数定义知，结合单调性可得函数值大小关系.

【详解】为定义在上的偶函数，；

，有，在上单调递减，

，即.

故选：D.

8．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t，水面高度y由图所示，图中PQ为一线段，与之对应的容器的形状是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用时间和高等的变化可知容器先是越往上越小，然后成规则直线上升状，从而求得结果.

【详解】由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状，

并且一开始先慢后快，所以下边粗，上边细，

再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段，

故排除A,C,D，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择容器形状的问题，涉及到的知识点有通过图象看出其变化的速度快与慢的问题，从而得到其形状，选出正确结果.

9．已知函数是上的减函数，则a的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分段函数是上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不高于右边一段的最高，据此列不等式求解即可.

【详解】函数是上的减函数,

则，解得

故选：A.

10．定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列说法错误的是．

A．若，则，对于任意的成立

B．，对于任意的成立

C．，对于任意的成立

D．若，则，对于任意的成立

【答案】C

【详解】分析：根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，可得A、B、D都可以证明它们的正确性，而C项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案

详解：且时，，，，

所以，

所以选项说法错误，故选．

点睛：本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题

二、填空题

11．函数的定义域是________；

【答案】

【解析】根据解析式中、的性质即可求定义域.

【详解】由函数解析式知：

，解得且，

∴函数定义域为，

故答案为：

三、双空题

12．已知是方程的两根，则①____________；②_____________.

【答案】         

【分析】根据韦达定理可得和，由、可求得结果.

【详解】是方程的两根，，，

，.

故答案为：；

13．函数的最小值是_________，最小值点_________.

【答案】         

【分析】将函数化为，利用基本不等式可求得最小值，并根据取等条件得到最小值点.

【详解】，，（当且仅当，即时取等号），

的最小值为，最小值点.

故答案为：；.

14．若，则____________，_____________.

【答案】         

【分析】利用换元法令求出解析式即可求出答案.

【详解】令，则，

故答案为:；

15．已知函数 若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．

【答案】         

【详解】若，由二次函数的性质，可得， 的值域为，若值域为， 时， 且时， ，要使的值域为，则，得，实数的取值范围是，故答案为.

四、解答题

16．解下列关于的不等式：

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】根据一元二次不等式、分式不等式和绝对值不等式解法直接求解即可.

【详解】（1），，即不等式解集为.

（2）由得：，解得：或，即不等式解集为.

（3）由得：或，解得：或，即不等式解集为.

17．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并画出函数的图象；

(3)写出函数的单调区间以及不等式的解集（直接写出结果）.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)，图象见解析

(3)单调递增区间为，；单调递减区间为；不等式解集为

【分析】（1）根据奇偶性定义直接求解即可；

（2）分别在和的情况下去掉绝对值符号，进而得到分段函数解析式；结合二次函数的图象与性质可得分段函数的图象；

（3）利用图象可得到单调区间和不等式的解集.

【详解】（1）由题意知：定义域为，

，为定义在上的奇函数.

（2）当时，；当时，；；

由解析式可得图象如下图所示，

（3）由图象可知：的单调递增区间为，；单调递减区间为；

根据图象可知：的解集为.

18．已知二次函数．

(1)若为偶函数，求在上的值域；

(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围；

(3)若时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出的值；

（2）根据二次函数的性质得到对称轴，从而可求出实数的取值范围；

（3）根据题意得出在区间内恒成立，然后通过分离参数得到，，从而只需根据基本不等式求的最小值即可.

【详解】（1）易知函数的定义域为，若为偶函数，则对，有，

即对，成立，

所以对，成立，所以，所以，

当时，，，

所以在上的值域为.

（2）易知二次函数的对称轴为，

所以若在区间上是减函数，则，即，

所以实数的取值范围为；

（3）若时，的图像恒在直线的上方，则在区间内恒成立，

即在区间内恒成立，所以 在区间内恒成立，

所以只需，，

当时，由基本不等式，得，当且仅当时等号成立，

所以 ，所以，即.

所以实数的取值范围为．

19．已知定义在上的奇函数.

（1）求；

（2）用定义证明：在区间上单调递减；

（3）若实数满足，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）由是定义在上的奇函数，得到，即可求解；

（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数在单调递减.

（3）结合在单调递减，转化为，即可求解实数的取值范围.

【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，可得，解得.

（2）任取且，

则

因，故，从而，

即，所以函数在单调递减.

（3）由，又由，

因为，结合在单调递减，可得，

即，解得或，

即实数的取值范围.

【点睛】含有“”的不等式的解法：

1、首先根据函数的性质把不等式转化为的形式；

2、根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意和的取值应再外层函数的定义域内；

3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.

20．年某新能源汽车厂计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，若生产辆时，需另投入成本万元，满足.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（其中）

(1)求出年的利润（万元）的函数关系式（利润销售额成本）；

(2)年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)当年产量为辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元

【分析】（1）由可得函数关系式；

（2）在和的情况下，分别根据二次函数最值的求法和基本不等式求得企业利润最大值，并确定年产量.

【详解】（1）由题意得：，.

（2）当时，；

当时，（当且仅当时取等号），

当年产量为辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.

21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．

（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）．

（）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．

（）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．

【答案】(1) 集合不是“和谐集”.

(2) 集合是“和谐集”；证明见解析.

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据定义，判断集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”；（2）集合，根据定义验证即可；（3）不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，

将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，

则有③，或者④，由定义得出矛盾即可证明结论.

【详解】（）集合不是“和谐集”．

（）集合，

证明：∵，

，

，

，

，

，

，

∴集合是“和谐集”．

（）证明：不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，

将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，

则有③，或者④，

由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，由②③得矛盾，由②④得矛盾，

故当时，集合一定不是“和谐集”．

【点睛】考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于创新题.