2022-2023学年北京市第五十六中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市第五十六中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，那么等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】应用集合的并运算求即可.

【详解】由题设.

故选：D

2．下列是真命题的是（    ）

A． B． C．空集是集合A的真子集 D．，

【答案】B

【分析】由数与式的性质判断A、B、C的真假，根据空集的性质判断C的真假.

【详解】A：对于时，，即不恒成立，假命题；

B：由恒成立，真命题；

C：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，若集合A为空集，则说法有误，假命题；

D：当取正数时，，假命题.

故选：B

3．下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y＝x一致即可．

【详解】解：A．函数y＝（）2＝x的定义域为{x|x≥0}，和y＝x定义域不相同，不是同一函数．

B．函数y＝（）3＝x的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则相同，是同一函数．

C．函数y的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数．

D．函数yx的定义域{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数．

故选B．

【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．

4．已知是的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不确定

【答案】A

【分析】根据两不等式所表示的集合的关系，前者推后者，后者推不出前者，则可判断是的充分不必要条件.

【详解】若,则成立,即充分性成立,若,满足,但不成立,

即是的充分不必要条件,

故选：A.

5．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

那么函数一定存在零点的区间是　　A． B． C． D．

【答案】C

【详解】定义在上的函数的图象是连续不断的，由图知满足，

根据零点存在定理可知在一点存在零点.

故选C.

点睛: 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.

6．命题，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由全称命题的否定，将任意改存在并否定原结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

所以为，.

故选：C

7．设方程的两个实根，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用一元二次方程根与系数关系写出结果即可.

【详解】由一元二次方程根与系数关系知：.

故选：A

8．使不等式和同时成立的条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由不等式的性质判断以各选项为条件，题设不等式是否成立即可.

【详解】A：时，，而，不符合；

B：时，且，不符合；

C：时，且，符合；

D：时，，而，不符合.

故选：C

9．下列函数中为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据奇偶性定义逐项判断各函数的奇偶性.

【详解】A：且定义域为，为奇函数；

B：，为非奇非偶函数；

C：且定义域为R，为奇函数；

D：且定义域为R，为偶函数.

故选：D

10．已知函数，如果，那么x的值是（    ）

A．1 B． C．1或 D．5

【答案】B

【分析】由分段函数解析式，讨论、求对应自变量，即可得结果.

【详解】当，，可得，不合题设；

当，，可得，满足题设.

所以，有x的值为.

故选：B

二、填空题

11．集合可用列举法表示为______.

【答案】

【分析】直接利用列举法的定义解答即可.

【详解】集合可用列举法表示为.

故答案为

【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．已知，则的最小值为_____________.

【答案】6

【分析】利用基本不等式即可求解．

【详解】，，

当且仅当时，取“”，

所以的最小值为6，

故答案为：6

13．已知函数，则函数的单调增区间是___________．

【答案】

【分析】利用二次函数的性质确定递增区间即可.

【详解】由，开口向下且对称轴为，

所以的单调增区间是.

故答案为：

14．函数的定义域为___.

【答案】

【分析】未给 的取值范围的，其定义域为使函数表达式有意义的 的取值范围，偶次根式大于等于0,分母不为0，即可计算出答案．

【详解】

故填

【点睛】本题考查函数的定义域，需掌握函数中未给 的取值范围的，其定义域为使函数表达式有意义的 的取值范围，属于基础题．

15．已知函数的图象过点，则=___________．

【答案】

【分析】首先判断奇偶性，根据奇函数性质求.

【详解】由且定义域为R，

所以为奇函数，故.

故答案为：

16．已知函数，对任意，满足，若，则___________．

【答案】

【分析】利用抽象函数求值中的赋值法即可求解.

【详解】因为对任意的，满足，且，

令，则有，

令，则有，

所以，

故答案为：.

17．关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m=_________．

【答案】0.25

【分析】由一元二次方程有两相等实根有，即可求参数m的值.

【详解】由题意，，可得.

故答案为：

18．若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为_____．

【答案】．

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】由x＞0，y＞0，且x+2y＝1，

所以，解得，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以xy的最大值为.

故答案为：

【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值，应用基本不等式注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.

19．偶函数定义域为，其部分图象如图所示，写出所有的单调增区间_________．

【答案】和

【分析】由偶函数的图象关于轴对称可补全图象，然后写出递增区间

【详解】因为函数是偶函数，故图象如图所示

由图可得的单调增区间为和，

故答案为：和

20．给出函数，如下表，则的值为_________．

【答案】4

【分析】根据表格的自变量和函数值找到对应的值即可.

【详解】由表格可得，所以，

故答案为：4

21．对于定义域为D的函数，若存在，使，则称点为图象上的一个不动点．由此，函数的图象上不动点的坐标为_________．

【答案】、

【分析】由不动点的定义，结合函数解析式求出不动点坐标.

【详解】由题设，函数定义域为，

令，则，

所以函数不动点坐标为、.

故答案为：、

三、解答题

22．解下列不等式：

(1)；

(2)

(3)

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据分式不等式的求法即可求解；

（2）根据绝对值不等式的求法即可求解；

（3）根据一元二次不等式的求法即可求解.

【详解】（1）由得：，

解得或,

故不等式的解集为：.

（2）由得：，

解得：，

故不等式的解集为：

（3）由，解得：.

故不等式的解集为：

23．已知全集，集合，．

(1)求和；

(2)求．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）（2）解一元一次不等式求集合A，再应用集合交、并、补运算求结果.

【详解】（1）由题设，，

所以，.

（2）由（1）知：或，

所以.

24．已知二次函数．

(1)如果为偶函数，求a的值；

(2)如果的图象经过点，，求的解析式；

(3)如果，在区间上的最小值是4，求b的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由偶函数性质求参数值；

（2）应用待定系数法求参数a、b，写出解析式.

（3）由二次函数性质判断区间单调性，进而求区间最小值并列方程求参数b即可.

【详解】（1）由题设恒成立，

所以，即.

（2）由题意，解得，

所以.

（3）由题意，开口向上且对称轴为，

所以在上递减，上递增，故，则.

25．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元．该商店定制了两种优惠方案；

方案一：买一只茶壶赠送一只茶杯；

方案二：总价打9折．

某顾客欲购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若购买茶杯数为x只，付款总钱数为y元，分别建立两种优惠方案中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯，两种方案中哪一种更省钱．

【答案】方案一：，；方案二：，，省钱情况见解析.

【分析】根据题设列出方案一、二的函数、解析式，根据、的大小关系列不等式研究不同x范围下两方案的省钱情况.

【详解】方案一：且，

方案二：且，

当，解得，此时方案二比方案一省钱；

当，解得，此时方案一、方案二的省钱情况一样；

当，解得，即，此时方案一比方案二省钱；

26．设函数．

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；

(3)证明：函数在上是减函数．

【答案】(1)；

(2)奇函数，证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）由分式的性质直接写出定义域；

（2）由奇偶性定义判断证明即可；

（3）利用单调性定义求证即可.

【详解】（1）由解析式知：作为分母有，

所以函数定义域为.

（2）函数为奇函数，证明如下：

，又定义域为，

所以为奇函数.

（3）令，则，

而，，故，

所以，故在上是减函数.

27．已知函数，，且对所有的实数x，等式成立．

(1)求的表达式；

(2)解不等式．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知条件，结合代数式恒相等，比较系数列出方程，即可求得以及解析式；

（2）根据（1）中所求，求解一元二次不等式即可.

【详解】（1），，

根据题意对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

故，又，故，

则.

（2）根据（1）中所求可得不等式等价于，

即，，解得或，

故不等式的解集为.