2022-2023学年北京市海淀区北京一零一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022北京一零一中高一（上）期中

数    学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C. （ D.

【答案】A

【解析】

【分析】要计算，则所得的集合的元素必是两集合所共有的，然后验证即可.

【详解】将代入，得，所以；将代入，得，所以；将代入，得，所以；将代入，得，所以，所以.

故选：A

2. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.

【详解】因为，则，故，A对B错；

，即，

当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.

故选：A.

3. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则的值是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据韦达定理求解即可.

【详解】因为关于的方程的两根分别是,故.

故,解得.

故选：B

【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用,属于基础题.

4. 函数的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对勾函数的单调性，即可求得函数值域.

【详解】因在单调递减，在单调递增，

故，又，

故，故的值域为.

故选：C.

5. 已知，设，则函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在同一直角坐标系中画出的函数图象，根据的定义，即可求得其图象.

【详解】在同一直角坐标中画出的函数图象如下所示：

根据的定义，上图中实线部分即为的图象.

故选：C.

6. 已知，如果是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出不等式的解集， 由是的充分不必要条件确定的取值范围.

【详解】由得 ，解得或，因为是的充分不必要条件，所以由能推出 或，得；当时由得不到.

综上：

故选：B.

7. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】由f(x)为奇函数可知，

＝<0.

而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.

当x>0时，f(x)<0＝f(1)；

当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．

所以0<x<1，或－1<x<0. 选D

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内

8. 已知函数，对一切实数，恒成立，则的范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由对一切实数恒成立，分， ，利用判别式法求解.

【详解】因为，对一切实数，恒成立，

当时，，成立，

当时，，解得，

综上：的范围是，

故选：B

9. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解不等式组即可.

【详解】因为且在上单调递增，

所以，解得，即

故选：B

10. 设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数在上具有性质，那么，下列函数：

①；  ②；  ③；  ④

具有性质函数的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】根据性质的定义，验证各函数或利用特殊值求解即可.

【详解】任取两个不等实数，

①，，

对任意有，①正确；

②当均不为0且时，，，

即存在有，正确；

③，，

令解得与题目矛盾，错误；

④当时，，

不妨令可得，故存在不等有，正确；

综上①②④正确，

故选：D.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 函数的定义域为____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据被开方数是非负数，求解分式不等式即可求得结果.

【详解】要使得函数有意义，则，即，且，

解得，故的定义域为.

故答案为：.

12. 若，，则的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】直接根据不等式的性质即可得结果.

【详解】因为，，

所以，，

即的取值范围是，

故答案为：.

13. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（其中都是正整数，即，则是的更精确的不足近似值或过剩近似值，已知，令，则第一次用"“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，则第三次用“调日法"后，的更为精确的过剩近似值是___________．

【答案】

【解析】

【分析】按照“调日法”计算，每次计算出结果后要比较大小，得更加小的范围．

【详解】由题意

第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，

第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即

故答案为：．

14. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

画出图形，根据图形分析可得，进而求出范围.

【详解】解：作出函数图像如下

互不相等的实数，，满足

不妨设，则关于对称，所以

根据图像可得

所以，所以的取值范围为

故答案为：

【点睛】根据函数零点或根或相交的情况求参数有三种常用方法：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

15. 华人数学家李天岩和美因数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.

给出下列四个结论：

①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；

②若，则存在周期为2的周期点；

③若，则存在周期为3的周期点；

④若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点．

其中所有正确结论的序号是____________．

【答案】①③④

【解析】

【分析】根据周期点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对①：，当时，，

解得，故存在唯一一个周期为1的周期点；

对②：，当时，，

解得，但当时，，不满足题意，

故，不存在周期为2的周期点；

对③：，不妨取，则，

，显然存在周期为3的周期点；

对④：，

故 对任意正整数，都不是的周期为的周期点.

综上所述，正确的是：①③④.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，处理问题的关键是充分把握周期点的定义，以及对函数性质的灵活应用，属综合中档题.

三、解答题共6道大题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，

16. 已知全集，集合，集合．

（1）求集合及；

（2）若集合，且，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】(1)解一元一次不等式求集合,再应用集合的交并补运算求及.

（2）由集合的包含关系可得，结合已知可得的取值范围．

【小问1详解】

由得：所以,由，所以，,所以.

【小问2详解】

因为且，所以，解得.

综上实数的取值范围是.

17. 已知函数．

（1）判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）单调递减，证明见解析；   

（2）最大值和最小值分别为.

【解析】

【分析】（1）根据单调性的定义，结合已知条件，判断并证明即可；

（2）根据函数的奇偶性以及（1）中所得单调性，即可求得结果.

【小问1详解】

是上的单调减函数，证明如下：

证明：在上任取，且，

，

因为，故可得，，

又，则，故，即，

故在上单调递减.

【小问2详解】

的定义域为，关于原点对称，又，

故是偶函数，根据（1）中所得在单调递减，

则在上单调递增，显然在也单调递增，

故当时，取得最小值为，

当时，取得最大值为，

故的最大值和最小值分别为.

18. 若二次函数满足且.

（1）求的解析式；

（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设函数，根据，求得，再由，列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）设函数，

因为，可得，即，所以，

又因为，可得，

所以，解得，所以.

（2）由在上恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立，

令，其对称轴为，

所以在区间是减函数，，

所以，即实数的取值范围是.

19. 设，解关于x的不等式.

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】首先分和两种情况讨论，再当时，不等式所对应的一元二次方程的根的大小关系讨论得不等式的解集.

【详解】解：（1）当时，不等式可化为，解得，即原不等式的解集为.

（2）当时，方程的两个根分别为2和，

①当时，解不等式得，即原不等式的解集为；

②当时，不等式无解，即原不等式的解集为；

③当时，解不等式得，即原不等式的解集为：；

④当时，解不等式得或，即原不等式的解集为{或}.

20. 经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：，服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时满足关系式：，现假定某患者餐后立刻服用药物N，且血液中微量元素总浓度等于为与的和．

（1）求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值；

（2）若餐后4小时内，血液中微量元素总浓度不低于4的累积时长不少于2.5小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案．请你判断是否需要调整治疗方案．

【答案】（1）；   

（2）需要调整，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，求得关于的函数关系，求该函数的最大值即可；

（2）根据（1）中所求，令，求得累计时长，即可判断.

【小问1详解】

根据题意可得：，

故当时，，其最大值为；

当时，在单调递增，在单调递减，其最大值为；

又，故当时，的最大值为，

即4小时内血液中微量元素总浓度最高值为.

小问2详解】

当时，令，解得；

当时，令，解得；

故血液中微量元素总浓度不低于4的累积时长为小时，需要调整治疗方案.

21. 按照一定次序排列的一列数称为数列．设数列，已知，定义数表，其中列

（1）若，写出：

（2）若是不同数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；

（3）若数列与中的1共有个，求证数表中1的个数不大于．

【答案】（1）   

（2）见详解    （3）见详解

【解析】

【分析】根据已知理解题意即可写出

根据证明充分性，根据 ，的不同取值证明必要性.

讨论的不同取值计算的第行中的个数，从而得出中的总数，利用基本不等式即可证明.

【小问1详解】

由已知，，，，，

故，故，同理可得，，，，，，，，所以

【小问2详解】

若，由于 ，

令： ，故数列：

由于

从而有

若

因为是不同的数列

（1）设 ，对任意的正整数

当 ，可得，

所以

当 ，可得，

所以 ，同理可证，，

有成立

（2），对任意的正整数

当，可得，

所以有，则是相同的数列，不符合题意

当 ，可得，

所以有，则是相同的数列，不符合题意

同理可证：时，是相同的数列，不符合题意

综上：数表满足“”的充分必要条件为“”

【小问3详解】

证明：由于与中的1共有个，

设中的个数为个，故的个数为个

故中的个数为个，故的个数为个

若，则数表的第为数列

若，则数表的第为数列

所以数表中的个数为

数表中1的个数不大于