2022-2023学年北京市十一学校高一上学期第一学段教与学诊断数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市十一学校高一上学期第一学段教与学诊断数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市十一学校高一上学期第一学段教与学诊断数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合与元素的关系，即可作出判断.【详解】对于A，集合A为数集，集合B为点集，显然二者不等；对于B，，显然；对于C，当时，，所以；对于D，当时，，所以.故选：C2．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解二次不等式得到集合A，利用均值不等式得到B，进而求交集即可.【详解】∵，∴，当且仅当时，等号成立，∴，又，∴，故选：C3．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对集合B中的分类讨论分析，再根据集合间的关系判断即可【详解】当时，，当时， ，当时，，所以，或，或因为，所以.故选：A4．函数的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式及巧用“1”，即可得到最小值.【详解】由题意可知，，，∴，当且仅当即时，等号成立，故函数的最小值是.故选：B5．关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有7个整数，则符合条件的整数a的和是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】易知函数的图象对称轴为，结合题意得不等式组，从而解得．【详解】函数的图象对称轴为，又关于的一元二次不等式的解集中有且仅有7个整数，个整数分别为；，解得，，∴符合条件的整数a的和是故选：D．6．已知集合，，若，则实数a满足（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由并集结果得到，分和讨论，得到实数a的取值范围.【详解】因为，所以，当时，，即，满足题意；当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意；若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意，综上：实数a满足.故选：D7．己知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解绝对值不等式及一元二次不等式，根据子集关系即可得到结果.【详解】由于表示数轴上的对应点到、2对应点的距离之和，而和10对应点到、2对应点的距离之和正好等于12，故等式的解集是，由，得，即或，，即，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，∴，解得，又，∴实数a的取值范围为.故选：B8．若实数，，满足，以下选项中正确的有（    ）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】D【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.【详解】实数，，，整理得，当且仅当时取，故选项A错误；(，当且仅当时取，故选项B错误；，， ，当且仅当时取，但已知,故不等式中的等号取不到，，故选项C错误；，，，当且仅当时取，故选项D正确，故选：D9．己知集合，集合满足：①每个集合都恰有3个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（    ）A．60 B．63 C．56 D．57【答案】A【分析】由集合中最小值1与最大值9构成集合中两个元素，若使取得最大值，则将，从而依次确定、、，同理求最小值，从而解得．【详解】集合中最小值为1，最大值为9，①若使取得最大值，不妨设，，则，则，2，，则剩余的数中最小值为3，最大值为8，令，4，，则，则，6，，，则的最大值为，②若使取得最小值，则，8，，则，则剩余的数中最小值为2，最大值为7，令，6，，则，则，4，，，则此时的最小值为，故的最大值与最小值的和为60，故选：． 二、多选题10．使“”成立的必要不充分条件是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】BCD【解析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【详解】解：若，，则，，，即，则不一定成立；故错误，若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件．，由得，，，即则成立，故满足条件，若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件．故选：BCD．【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题． 三、填空题11．已知集合，，用列举法表示集合_____________．【答案】【分析】根据元素特征即可得到结果.【详解】由题意得，2，3，4，6，12解得，5，4，，1，所以集合，，1，3，4，5，．故答案为：12．函数的最大值是_____________．【答案】【分析】利用换元法，把问题转化为基本不等式问题.【详解】令则，∴，又，当且仅当，即时，等号成立，∴，∴函数的最大值是.故答案为：13．命题“”的否定是__________________________．【答案】或【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结果.【详解】∵全称命题的否定为特称命题，∴“”的否定是“或” 故答案为：或.14．已知全集，则_____________．【答案】【分析】利用交集与补集运算即可得到结果.【详解】∵全集，∴，，∴，故答案为：15．若集合则____ . 【答案】【分析】由，解得，代入集合，再求并集即可.【详解】因为，所以，即：或.当时，解得：.，，，舍去.当时，解得：.，，，符合题意.所以，即，，.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用交集性质求参数，同时考查了集合的运算，属于简单题.16．己知集合，若，则a的值可能是_____________．【答案】，，1，【分析】集合表示直线上除去的点的集合，集合表示直线上点的集合，分和两种情况，求出的值即可．【详解】集合，分别为平面上的点集，集合表示直线上除去的点的集合，集合表示直线上点的集合．①由可得，，解得，当时，，所以；当时，集合，，集合，所以；②由题意可知，当时，则，解得或，此时．综上所述，当的值为，，1，时，．故答案为：，，1，17．已知，若命题是命题的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_____________．【答案】【分析】命题是命题的必要不充分条件转化为真子集关系，分类讨论，然后解不等式组即可.【详解】命题：，命题：，若命题是命题的必要不充分条件，则B是A的真子集，当时，，显然不适合题意；当时，，∴，解得；当时，，∴，解得；经检验：或时也符合题意.综上，或.故答案为：18．已知非空集合，设集合．分别用表示集合A、S、T中元素的个数，则下列说法正确的是________．①若，则；           ②若，则；③若，则可能为18；     ④若，则不可能为19．【答案】①②③【分析】由所给的定义分别计算，值范围，在时，求出的最小值判断①②，在时，举实例利用列举法，判断③④作答．【详解】当时，依题意，从集合A中任取两个元素可得一个和、一个差，因此，，则有，②正确；令，且，于是得6个差：，显然，当时，，此时集合T中只有3个元素，因此，此时6个和满足，而，即，对于是满足的任意4个实数，必有，显然，当时，集合S中只有5个元素，因此，所以，①正确；当时，同理有，，则，取，2，3，5，时，，4，5，6，7，8，11，12，13，，，2，3，4，5，7，8，，此时，即③正确；取，2，4，6，时，，5，6，7，8，10，17，18，20，，，2，3，4，5，10，12，14，，此时，即④不正确．故答案为：①②③ 四、解答题19．解关于的不等式【答案】当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【分析】先将不等式化为，当时，分，，三种情况讨论，求出解集；当，化简原不等式，直接求出结果；当时，化简不等式，解对应一元二次不等式，即可求出结果.【详解】不等式可化为.①当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于.因为方程的两个根分别是2，，所以当时，，则原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，，则原不等式的解集是.②当时，原不等式为，解得，即原不等式的解集是.③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于，由于，故原不等式的解集是或.综上所述，当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.20．若，，且，求及的最小值，何时取到？【答案】时，有最小值；时，的最小值为【分析】利用，利用换“1”法，求出的最小值；化简得到，利用基本不等式，得到，整理得，解出该不等式，即可得到的最小值.【详解】由，得，化简得，，当且仅当时，等号成立，列方程，解得，故当时，，所以的最小值为，当且仅当时成立；又由，得，又，，对于不等式，两边平方得，，解得或，故有最小值时，必有，当且仅当时成立，列方程得，，又，则解得，所以，，故当时，有最小值21．已知且“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】【分析】化简两个集合，把充分不必要条件，转化为真子集关系，进而转化为最值问题即可.【详解】记，，作出二者图象，由图可知，，又，∴，若“”是“”的充分不必要条件，则集合N是集合C的真子集，即在上恒成立，即在上恒成立，即，又在上单调递增，∴，此时，故.22．已知，命题p：函数在区间有且只有一个零点；命题q：关于x的不等式在区间恒成立．若为真，为假，求实数m的取值范围．【答案】或或或【分析】利用三个二次的关系明确命题p为真的范围，利用参变分离的方法明确命题q为真的范围，为真，为假即与一真一假，分类讨论得到结果.【详解】函数在区间有且只有一个零点（1）当方程在上有两个相等的实根时，且，此时或5．（2）当方程有一个实根时，， 则有，或或，解得或或无解，综上，函数在区间有且只有一个零点，实数实数m的取值范围是或或或；关于x的不等式在区间恒成立即在上恒成立，记，其在上单调递增，即，所以，即，若为真，为假，则与一真一假，（1）若真，假，则或或或，同时满足，此时或；（2）若假，真，则或或，同时满足，此时或；故实数m的取值范围是或或或.23．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.(1)若，试证明中还有另外两个元素；(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】(1)证明见解析；(2)不是，理由见解析；(3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；（2）根据条件求出元素间的规律即可；（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.【详解】（1）由题意得若，则；又因为，所以；即集合中还有另外两个元素和.（2）由题意，若（且），则，则，若则；所以集合中应包含，故集合不是双元素集合.（3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6，因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积，所以中应有6个元素，且其中一个元素为，由结合条件可得，又因为，所以剩余三个元素和为，即，解得，故.