2022-2023学年福建省厦门双十中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门双十中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，，所以,

所以.

故选：D.

2．设，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取特殊值判断ABC，由幂函数的单调性判断D.

【详解】当时，，，

因为幂函数在当单调递增，，所以

故选：D

3．下面各组函数中是同一函数的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】C

【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.

【详解】A．函数的定义域为，，

两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，

B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数

C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数

D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

故选：C．

4．已知,,则的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】 ,选B

5．“”是“函数为奇函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性的定义及性质，分别验证充分性与必要性，即可得到结果.

【详解】因为函数定义域为关于对称，

当时，，则

故函数为奇函数；

当函数为奇函数时，

，即，解得.

所以“”是“函数为奇函数”的充要条件.

故选:C.

6．函数的图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的解析式，得出函数为奇函数，再结合对数函数的图象与性质，即可求解.

【详解】由题意，函数，

可得，

所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；

又由当时，函数是单调递减函数，排除A.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记函数的基本性质，熟练应用对数函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与判定能力.

7．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（    ）

A．2 B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果

【详解】由题意知，（），

设，则，

因为，

所以为奇函数，

在区间上的最大值与最小值的和为0，

故，

所以.

故选:C.

8．为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（    ）小时．（参考数据ln10≈2.3）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】先由可得a的值，再根据指数和对数的运算法则，解不等式2≤0.001，即可．

【详解】解：由题意知，当x＝0时，y＝2，

所以2＝a•e﹣0，解得a＝2，

所以y＝2e﹣x，

要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e﹣x≤0.001，

解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，

因为ln＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，

所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），

所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时．

故选：D．

二、多选题

9．设集合，若，则实数a的值可以是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．5

【答案】ACD

【分析】化简集合，由可得，分和两种情况进行讨论即可求解

【详解】，

因为，所以，

若，则，满足；

若，则，

因为，所以或，解得或，

故选：ACD

10．已知正数满足，则下列选项正确的是（    ）

A．的最小值是2 B．的最大值是1

C．的最小值是4 D．的最大值是

【答案】ABD

【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.

【详解】因为正数满足，

由，

当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；

由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；

由，当且仅当时成立，所以C错误；

由正数满足，可得，

则，当且仅当时，

即时，等号成立，即的最大值是，所以D正确.

故选：ABD

11．已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据即可判断A；

根据即可判断B，注意符号；

根据即可判断C；

利用立方和公式即可判断D.

【详解】解：因为，所以，

，故A正确；

，所以，故B错误；

，

又，所以，则，故C正确；

，故D正确.

故选：ACD.

12．函数的定义域为I，若使得均有，且函数是偶函数，则可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】求出各函数的最大值，判断各函数的奇偶性，即可得出答案.

【详解】解：对于A，，定义域为，

当时，，则，

所以函数没有最大值，则不存在，使得，故A不符题意；

对于B，，

当时，，

当时，，

当且仅当，即或时取等号，

所以又，所以，

所以，即，

使得，

又，而，

所以函数是偶函数，故B符合题意；

对于C，，

则，

因为，

所以，

所以函数是奇函数，故C不符合题意；

对于D，由，得，

故使得，

因为与要么都是有理数，要么都是无理数，

所以，

所以函数是偶函数，故D符合题意.

故选：BD.

三、填空题

13．函数的定义域为_________.

【答案】

【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域.

【详解】由函数解析式知：，解得，

故答案为：.

14．若幂函数在区间上单调递增，则_____________．

【答案】256

【分析】根据幂函数的定义及性质求出，即可得出答案.

【详解】解：因为幂函数在区间上单调递增，

所以，解得，

所以，

则.

故答案为：256.

15．已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】由题意可得，当时，能成立，分类讨论的范围，利用二次函数的性质，求得实数的取值范围．

【详解】关于的不等式在区间上有解，

即当时，不等式能成立，即能成立．

当时，不等式不成立，故．

当时，则时，函数的最小值为，求得．

当时，二次函数的图象开口向下，满足条件．

综上可得，实数的范围为或，

故答案为：

【点睛】易错点睛：解答本题时要注意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当时，不等式能成立．即函数的最小值大于零，而不是最大值大于零.

四、解答题

16．已知，记关于的不等式的解集为，不等式的解集为.

（1）若，求集合；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）直接解不等式得解；

（2）先化简集合,再根据，得到关于的不等式得解.

【详解】（1）由，得；

（2）.

由，得，

又，

所以，

即的取值范围是.

17．计算求值：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；

（2）根据对数的运算性质计算即可.

【详解】（1）解：

；

（2）解：

.

18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：.

(1)将利润P（单位：元）表示为月产量x的函数；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）

【答案】(1)；

(2)当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

【分析】（1）分与两种情况，求解出利润P（单位：元）表示为月产量x的函数；

（2）分分与两种情况，求解出利润的最大值，比较后得到结论.

【详解】（1）当时，，

故，

当时，，

故，

故；

（2）当时，，

故当时，取得最大值，最大值为25000；

当时，单调递减，故，

综上：当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

19．已知定义在上的奇函数.

（1）求；

（2）用定义证明：在区间上单调递减；

（3）若实数满足，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）由是定义在上的奇函数，得到，即可求解；

（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数在单调递减.

（3）结合在单调递减，转化为，即可求解实数的取值范围.

【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，可得，解得.

（2）任取且，

则

因，故，从而，

即，所以函数在单调递减.

（3）由，又由，

因为，结合在单调递减，可得，

即，解得或，

即实数的取值范围.

【点睛】含有“”的不等式的解法：

1、首先根据函数的性质把不等式转化为的形式；

2、根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意和的取值应再外层函数的定义域内；

3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.

20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．

(1)判断函数为奇偶性，并求函数的图像的对称中心；

(2)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．

【答案】(1)为奇函数，的对称中心是；

(2)见解析.

【分析】（1）先根据定义证明为奇函数，然后找出之间的关系，利用题目条件写出的对称中心；

（2）仿照题干的写法写出相关命题即可

【详解】（1）为奇函数，证明如下，首先定义域为，关于原点对称，又，故为奇函数，，故，于是是奇函数，由题意知，对称中心是；

（2）函数的图像关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.

21．若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的-增长函数.

(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；

(2)已知函数，且是区间上的-增长函数，求正整数的最小值；

(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)是，不是，理由见解析；(2)；(3).

【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得；

(2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；

(3)根据题设条件，写出函数f(x)的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.

【详解】(1)g(x)定义域R，，g(x)是，

取x=-1，，h(x)不是，

函数是区间上的增长函数，函数不是；

(2)依题意，，

而n>0，关于x的一次函数是增函数，x=-4时，

所以n2-8n>0得n>8，从而正整数n的最小值为9；

(3)依题意，，而，

f(x)在区间[-a2,a2]上是递减的，则x，x+4不能同在区间[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，

又x∈[-2a2，0]时，f(x)≥0，x∈[0，2a2]时，f(x)≤0，

若2a2<4≤4a2，当x=-2a2时，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，

所以4a2<4，即-1<a<1.

因为：当4a2<4时，①x+4≤-a2，f(x+4)>f(x)显然成立；

②-a2<x+4<a2时，x<a2-4<-3a2，f(x+4)=-(x+4)>-a2，f(x)=x+2a2<-a2，f(x+4)>f(x)；

③x+4>a2时，f(x+4)=(x+4)-2a2>x+2a2≥f(x)，

综上知，当-1<a<1时，为上的增长函数，

所以实数a的取值范围是(-1，1).

【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；

(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.

五、双空题

22．若是奇函数，则_____________，_____________．

【答案】     ##     ##

【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到，即可求出的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质，求出的值，再代入检验即可.

【详解】解：因为是奇函数，

定义域关于原点对称，

由，可得，

所以且，所以，所以，

所以函数的定义域为，

所以，即，所以，

此时，则，符合题意；

故答案为：；