2022-2023学年广东省东莞市第一中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省东莞市第一中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：,,所以，故选B.

【解析】集合的运算.

2．命题“，”的否定形式是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称命题它的否定可以判断选项的正确与否.

【详解】，的否定形式是：，

故选：C

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据不等式的范围可得所对应集合的关系，然根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．

【详解】∵“”不能推出“”， “”能推出“”，

∴“”是“”的必要不充分条件

故选：B

4．集合，，则下列关系式正确的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先分别求得集合A与集合B,进而即可得集合A与集合B的关系.

【详解】集合,

则,

对比四个选项可知,A、B、C均错误.

因为

所以D正确

故选:D

【点睛】本题考查了集合的交集运算,注意集合表示的元素属性和特征,属于基础题.

5．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果.

【详解】对于A，为上的减函数，A错误；

对于B，在，上单调递减，B错误；

对于C，在上单调递减，在上单调递增，C错误；

对于D，，则在上为增函数，D正确.

故选：D.

6．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围

【详解】解：函数的图像的对称轴为，

因为函数在区间上单调递增，

所以，解得，

所以的取值范围为，

故选：D

7．函数 的图像大致为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性和对称性，当时，，利用排除法进行判断即可．

【详解】解：，即是奇函数，图象关于原点对称，排除，，

当时，，排除，

故选：．

8．设,若,则

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【详解】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.

【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．

二、多选题

9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）

A．和 B．和

C． D．和

【答案】AC

【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案.

【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；

B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数；

C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；

D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数.

故选：AC

10．对于实数，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】BD

【分析】A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断.

【详解】A：当时，不成立，错误；

B：由，有，则，正确；

C：由，则，错误；

D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.

故选：BD

11．下列函数中，满足的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】逐一验证各个选项中的函数是否满足，从而得到结论.

【详解】对于A: ，因为所以，故A正确；

对于B: ，因为，所以满足，故B正确；

对于C: ,因为，所以满足，故C正确；

对于D: ,因为，而，所以，故D不正确.

故选：ABC

12．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数．令，以下结论正确的是（    ）

A． B．为偶函数

C． D．的值域为

【答案】AC

【分析】结合高斯函数的定义、函数的奇偶性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，A选项正确.

B选项，，，所以不是偶函数，B选项错误.

C选项，，C选项正确.

D选项，，当时，，当时，，

所以的值域为，D选项错误.

故选：AC

三、填空题

13．若函数，那么______．

【答案】15

【分析】由得，，把代入表达式可求出的值.

【详解】令，则.

当时，，即.

故答案为：15.

14．函数的最小值是___________.

【答案】

【分析】利用基本不等式求函数最小值，注意等号成立的条件即可.

【详解】由题设知，

则，当且仅当时等号成立，

故函数最小值为.

故答案为：.

15．已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】分与两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】已知命题“，恒成立”是真命题.

当时，则有恒成立，合乎题意；

当时，则有，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：

设

①在上恒成立，则；      

②在上恒成立，则；

③在上恒成立，则；

④在上恒成立，则.

16．已知函数为定义在上的奇函数，则的值为________．

【答案】

【分析】根据奇函数的定义及性质计算可得.

【详解】解：因为函数为定义在上的奇函数，

则有，解得，

又由函数为奇函数，则有，

则，所以恒成立，即，

所以；

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，，．

(1)求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合，由补集和并集定义可求得结果；

（2）由交集结果可得，分别在和的情况下，根据包含关系构造不等式求得结果.

【详解】（1）由得：，即，

又或，或.

（2），；

当时，满足，此时，解得：；

当时，由得：，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

18．已知函数求：

（1）画出函数的简图（不必列表）；

（2）求的值；

（3）当时，求取值的集合．

【答案】（1）图象见解析；（2）11；（3）．

【分析】（1）根据函数的解析式，结合一次、二次函数的图象，即可求解；

（2）先求得，进而得到，即可求解；

（3）根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得各段上的值域，即可取值的集合．

【详解】（1）由分段函数可知，函数的简图为：

（2）因为，所以.

（3）当时，；

当时；

当时,，

所以一当时，取值的集合为．

19．已知命题：“，不等式成立”是真命题．

(1)求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由命题为真命题可得出在恒成立，求出的最大值可得的范围；（2）求出命题，所对应的集合，因为是的充分不必要条件，所以，由条件列出不等关系求解可得的范围.

【详解】（1）由题意命题：“，不等式成立”是真命题．

在恒成立，即，；

因为，所以，即，

所以实数的取值范围是；

（2）由得，设，由得，设，

因为是的充分不必要条件；

所以，但推不出， ；　

所以，即，

所以实数的取值范围是，．

20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;

（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.

【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.

【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；

（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.

【详解】（1），

当且仅当时，即取“=”，符合题意；

∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.

（2）

又，∴当时，.

答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.

21．现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置)

已知二次函数，且满足________(填所选条件的序号).

（1）求函数的解析式；

（2）设，若函数在区间上的最小值为3，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）条件①，求出代入根据恒成立可得；条件②由一元二次不等式解的性质可得；条件③代入可得；分别根据选择①②，①③，②③，均可通过联立方程组可得结果；

（2）求出函数的对称轴，将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单调性列出关于的方程解出即可.

【详解】（1）条件①：因为，

所以

，

即对任意的x恒成立，

所以，解得.

条件②：因为不等式的解集为，

所以，即.

条件③：函数的图象过点，所以.

选择条件①②：，，，此时；

选择条件①③：，

则，，，此时；

选择条件②③：，

则，，，此时.

（2）由（1）知，其对称轴为，

①当，即时，

，解得；

②当，即时，

，解得(舍)；

③当，即时，

，无解.

综上所述，所求实数m的值为.

【点睛】二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

22．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)证明：函数在区间上单调递增；

(3)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得，由此可得的解析式；

（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；

（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围.

【详解】（1）由题意可知，

，即，

，，

又，即，

，.

（2），且，有

，

，

，

，即，

所以函数在区间上单调递增.

（3）因为为奇函数，

所以由，得，

又因为函数在区间上单调递增，

所以，解得，故，

所以实数的取值范围是