2022-2023学年广东省广州市执信中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市执信中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由全称命题的否定判定，

【详解】由题意得为，

故选：C

2．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据韦恩图可得阴影部分表示的集合，从而可得正确的选项.

【详解】阴影部分表示的集合为，

而，

故，

故选：C.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

4．若x，y都是正数，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据基本不等式求解即可.

【详解】

，当且仅当时，取等号

则的最大值为

故选：D

【点睛】本题主要考查了基本不等式求积的最大值，属于基础题.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数单调递减知，根据函数单调递增知，得到答案.

【详解】根据函数单调递减知：；

根据函数单调递增知：，故.

故选：.

【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

6．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复合函数的单调性求解，

【详解】由题意得定义域为，

的单调递减区间即为的单调递增区间，

故选：C

7．某种食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：)近似满足函数关系(k，b为常数)，若该食品在的保鲜时间是288小时，在的保鲜时间是144小时，则该食品在的保鲜时间近似是（    ）

A．32小时 B．36小时 C．48小时 D．60小时

【答案】B

【解析】由条件可得到，然后算出即可.

【详解】由条件可得，所以，所以当时

故选：B

8．设奇函数在上单调递增，且，若对所有的都成立，则当时，的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的单调性和奇偶性求得其在上的最大值，结合关于的不等式恒成立，列出不等关系，求解即可.

【详解】因为奇函数在上单调递增，故在上单调递增，

则，

故对所有的都成立，则，对恒成立，

则，且，解得，且，

故.

故选：D.

二、多选题

9．下列函数是偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由偶函数的概念逐一判断，

【详解】对于A，，故A正确，

对于B，，故B正确，

对于C，，故C错误，

对于D，，故D正确，

故选：ABD

10．已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A．a+c>b+d B．a-c>b-d C．ac>bd D．

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质依次判断即可.

【详解】对A，若a>b>0，c>d>0，则a+c>b+d，故A正确；

对B，若a>b>0，c>d>0，如，则，故B错误；

对C，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，故C正确；

对D，若a>b>0，c>d>0，则，则，故D正确.

故选：ACD.

11．已知，，则下列说法不正确的是（    ）

A．当时，恒有

B．与的图象仅有一个交点

C．当时，的图象在的图象下方

D．存在，使得

【答案】ABD

【分析】对于A，利用全称命题真假判断依据即可求解；

对于B，利用方程的根与函数图象的关系即可求解；

对于C，利用函数恒成立即可求解；

对于D，利用特称命题真假判断依据即可求解.

【详解】由题意知，当时，，，，故A不正确；令，即，解得或，故B不正确；令，由，解得或，所以当时，的图象在的图象下方，故C正确；由C选项知，当时，总有，故D不正确.

故选：ABD.

12．对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”.则下列函数中，存在唯一“可等域区间"的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据“可等域区间”的定义结合各选项中函数的单调性可得正确的选项.

【详解】对于A，因为，故，故，

故或，此时在为减函数，

若区间为函数的一个“可等域区间”，故，即，

其中，此方程有无穷组解，故A不合要求；

对于B，若，则，

若区间为函数的一个“可等域区间”，则，

此时即，

故或，即，故区间存在，

若，则在上为增函数，

故，此方程组无解，

若，则在上为减函数，

故，整理得到：，故，

即，故，故，，舍.

综上，B正确.

对于C，因为，

若区间为函数的一个“可等域区间”，则，

故在上，有，故在上为增函数，故，

故为方程在上的两个不同的根，

在平面直角坐标系中，的图象如图所示，

由图可得的实数根为，故，故C正确.

对于D，因为，

故当时，，且，

同理当时，，当时，，

故为上的奇函数，而为上的增函数，

故为上的增函数，

设区间为函数的一个“可等域区间”.

若，则，解得.

若，则在上为增函数，

故，解得，

若，则在上为增函数，

故， 解得，

此时D中函数有“可等域区间”，3个不合题意，舍.

综上，BC正确.

 故选：BC.

【点睛】思路点睛：对于函数中的新定义问题，注意根据定义把存在性问题转化为方程的解的问题，注意结合函数在自然定义域上的值域来简化讨论.

三、填空题

13．已知，则__________.

【答案】5

【分析】令后可求的值.

【详解】，

故答案为：.

14．函数的定义域是__________.

【答案】

【分析】由题意列不等式求解，

【详解】由题意得，解得或，

故答案为：

15．已知函数（，）是实数集上的增函数，则实数的取值范围为________

【答案】

【解析】首先根据题意得到，再解不等式组即可.

【详解】因为函数（，）是实数集上的增函数，

所以.

故答案为：

16．对于实数a和b，定义运算“*”：

设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________

【答案】

【详解】由定义运算“*”可知

即，该函数图像如下：

由，假设

当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，

m的取值范围是，且满足方程，所以

令则，

所以

令

所以，

又在递增的函数，

所以，所以，所以在递减，

则当时，；当时，

所以.

【考点定位】本题主要考查函数的零点，考查新定义新运算，考查创新能力

四、解答题

17．计算或化简：

(1)；

(2).

【答案】(1)0

(2)-7

【分析】（1）根据n次根式的性质化简即可；

（2）根据实数指数幂的运算法则计算即可．

【详解】（1）解：原式．

（2）解：原式

．

18．已知集合，.

(1)时，求及；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由交集，并集，补集的概念求解，

（2）由集合间关系列不等式求解，

【详解】（1）当时，，故，

（2）由得，

当时，由得，

当时，由得，

综上，的取值范围是

19．已知函数在区间内有最大值，求实数的值.

【答案】或

【分析】配方将函数解析式改写为的形式，得到函数的对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系，求解即可.

【详解】，

函数的图象的对称轴为

①当，即时，在区间上单调递减，则，解得（舍）或

②当，即时，，解得.

综上，或

20．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解不等式．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；

（2）利用函数单调性定义证明；

（3）将，转化为，利用单调性求解.

【详解】（1）解：因为函数，恒成立，

所以，则，

此时，所以，

解得，

所以；

（2）证明：设，

则，

，

，且，则，

则，即，

所以函数是增函数．

（3），

，

是定义在上的增函数，

，得，

所以不等式的解集为．

21．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.

【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；

（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．

【详解】（1）由题意知，当时，

，

即，

解得或，

∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

（2）当时，

；

当时，

；

∴；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；

有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；

当自驾人数为时，人均通勤时间最少．

【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．

22．已知函数，，

(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；

(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；

(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；

(2)

(3)

【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；

（2）解不等式，即可得到结果；

（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．

【详解】（1）解：当时，，

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；

（2）解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，

又因为在，上的最大值为，所以，

即，整理可得，

所以，所以，即；

（3）解：由不等式对任意，，恒成立，

即，

可令，等价为在，上单调递增，

而，

分以下三种情况讨论：

①当即时，可得，解得，矛盾，无解；

②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，

但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；

③即时，此时在，上单调递增，

要想在，递增，只能，即，所以．

综上可得满足条件的的取值范围是．