2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】 ,选B.

【解析】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

2．已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得.

【详解】因为是的充分不必要条件，所以，即.

故选：D.

3．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0 C．0＜k≤24 D．k≥24

【答案】B

【详解】试题分析：当时不等式即为，不等式恒成立，当时，若不等式恒成立，则，即，即，综合知，故选择B．

【解析】二次函数与二次不等式.

4．函数的一个单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间.

【详解】由已知，函数为偶函数，

当时，；当时，；

可画出函数图像，图下图所示：

所以函数的单调递减区间为、，

故选：A.

5．已知幂函数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数为幂函数可得出关于的等式，求出的值，再结合可得出的值.

【详解】因为函数为幂函数，则，解得或.

①当时，，此时函数在上为减函数，则，合乎题意；

②当时，，此时函数在上为增函数，则，不合乎题意.

综上所述，.

故选：D.

6．已知奇函数y=f（x）在x≤0时的表达式为f（x）=+3x，则x>0时f（x）的表达式为（       ）

A．f（x）=+3x B．f（x）=-+3x

C．f(x)=-3x D．f（x）=--3x

【答案】B

【分析】设，则，代入x≤0时的表达式，再利用函数为奇函数即可求解.

【详解】设，则，

所以，

因为函数为奇函数，

所以，

即 ，

所以.

故选：B

7．设，已知函数的定义域是且为奇函数且在的减函数，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析函数在上的单调性，根据函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】因为函数的定义域是且为奇函数，且函数在上单调递减，

故函数在上单调递减，故函数在上为减函数，

由可得，解得.

故选：C.

8．已知函数的最小值为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析可知函数在上单调递减，利用基本不等式求出在上的最小值，进而可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.

【详解】因为函数的最小值为，则函数在上单调递减，则，且，

当时，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，

由题意可得，解得.

综上，.

故选：A.

二、多选题

9．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AC

【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，结合各项函数的解析式判断、的定义域和对应法则是否相同即可.

【详解】A、C：定义域为R，定义域为，不是同一函数；

B：，与的定义域和对应法则都相同，是同一函数；

D：与定义域都为，且对应法则也相同，是同一函数；

故选：AC

10．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“若，则”的否定是“ 存在，则”.

C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】根据充分、必要条件和命题的否定定义依次判断即可.

【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

选项B，根据命题的否定的定义可知：命题“若，则”的 否 定 是“ 存 在，则”，故B正确；

选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；

选项D，因为可以等于零，所以由不能推出，由可得或，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

11．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．，，使得

【答案】BCD

【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可.

【详解】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，

所以，故A错误；

对选项B，若，则，得，故B正确；

对选项C，若，则或，

因为，所以或，故C正确；

对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，

且在上单调递增，

所以，所以只需即可，故D正确．

故选：BCD．

12．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（    ）

A． B．

C．为偶函数 D．为偶函数

【答案】BC

【分析】由已知，根据条件得到函数图像关于点中心对称，同时关于直线对称，

选项A，可假设成立，反推条件，得到函数为奇函数，此式不成立；选项B，函数关于直线对称，可列式赋值即可判断；选项C，可根据函数图像关于点中心对称，同时关于直线对称，找到函数的另外一条对称轴即可判断；选项D，根据选项B，选项C得到的结论，从而判断函数周期为，根据函数图像关于点中心对称，得到点也是函数的对称中心，从而判断为奇函数.

【详解】由已知，函数的定义域为，且为奇函数， 为偶函数，

则函数的图像关于点中心对称，同时关于直线对称；

选项A，若成立，即成立，此时函数为奇函数，由已知可得，该式不一定成立，该选项错误；

选项B，函数关于直线对称，所以，令可知，

，该选项正确；

选项C，函数图像关于点中心对称，同时关于直线对称，则也是函数的一条对称轴，则函数为偶函数，该选项正确；

选项D，函数图像关于点中心对称，根据选项B可知，，根据选项C可知，函数为偶函数，则有，所以函数的周期为，则点也是函数的对称中心，则有为奇函数，该选项错误；

故选：BC.

三、填空题

13．设，若，则实数___________.

【答案】3

【分析】由题意易知，由此即可解出答案.

【详解】因为，，

所以，

所以，

所以，

解得，

故答案为：3.

14．已知函数对于任意的都有，则_________.

【答案】

【分析】由可得，联立消去整理求解.

【详解】∵，则

联立，消去整理得：

故答案为：.

15．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知，解不等式求得结果.

【详解】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题

，解得：

的取值范围为

故答案为：

【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.

16．不等式，（）对恒成立，实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由题意得对恒成立，只需，利用均值不等式求解即可.

【详解】由题意得对恒成立，

只需即可，

因为，，当且仅当即时等号成立，

所以，即，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合．

(1)当时，求；

(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）求出集合，进而可得；

（2）根据包含关系列不等式求解即可.

【详解】（1）∵当时，或，

∴或；

（2）∵或，∴，

由“”是“的充分不必要条件得A是的真子集且

又，∴

∴．

18．已知二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）求函数在区间上的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）利用待定系数法即可求出答案；

（2）将解析式写成顶点式，从而求出函数的对称轴、单调性，由此可求出函数的最值．

【详解】解：（1）设，则，

∵，

∴，

∴，解得，

又

∴，

∴；

（2）由（1）得，

①当时，函数在上单调递减，

∴；

②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

∴；

∴．

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的单调性与最值，考查数形结合思想，考查转化与化归思想，属于中档题．

19．已知函数，为奇函数，当时，的最小值为，

(1)求的解析式；

(2)试讨论关于的方程的根的个数情况

【答案】(1)；

(2)见解析.

【分析】（1）由函数为奇函数可得，根据单调性定义讨论当时的单调性，可得最大值进而求得得答案；

（2）根据的单调性及值域，得到的单调性及值域，进一步作出函数的图像，观察图像可得方程的根的个数情况.

【详解】（1）因为为奇函数，所以，

即，整理可得即，

所以当时，，

设，则，

由可得则，

当时，，所以，

所以即，为减函数，

当时，，所以，

所以即，为增函数，

因此，又因为的最小值为，所以解得，

所以

（2）根据为奇函数，其增区间为，减区间为，

所以或，所以或，

令，作出函数的图像如图所示，

由上图可知，当或时，有个根，

当或时，有个根，

当或时，有个根.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性及函数作图，根据单调性定义讨论函数的单调性是解决问题的关键，函数作图是解决第二问的关键，其中对常见函数对勾函数的图像熟悉是解决问题的前提条件.

20．已知函数，.

(1)若在区间上单调递增，求m的取值范围；

(2)解关于不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）分、、三种情况讨论，利用一次函数、二次函数的单调性结合已知条件可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；

（2）由，对实数的取值进行分类讨论，利用一次不等式或二次不等式的解法解原不等式，即可得解.

【详解】（1）解：①当时，函数在区间上单调递增，合乎题意；

②当时，若函数在区间上单调递增，则，解得或，此时，；

③当时，若函数在区间上单调递增，则，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

（2）解：由可得.

①当时，原不等式即为，解得，此时，原不等式的解集为；

②当时，解方程可得或.

（i）当时，，此时，原不等式的解集为；

（ii）当时，，此时，原不等式的解集为；

（iii）当时，，此时，原不等式的解集为；

（iv）当时，，此时，原不等式的解集为.

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

21．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为121元．

(1)求k的值；

(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．

【答案】(1)

(2)选择②，，（，）

(3)121元

【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；

（2）由表中数据的变化可确定描述该商品的日销售量与时间x的关系，代入表述数据可求得其解析式；

（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.

【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，

所以，解得；

（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，

故只能选②:

代入数据可得：，解得，，

所以，（，）

（3）由（2）可得，，

所以，，

所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，有最小值，且为121；

当，时，为单调递减函数，

所以当时，有最小值，且为124，

综上，当时，有最小值，且为121元，

所以该商品的日销售收入最小值为121元．

22．定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，，都有；②当时，；③

(1)求和的值；

(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；

(3)若对任意，恒成立，求的a的范围．

【答案】(1)；

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）令可得；先令可得，后可得.

（2）利用已知结合单调性定义可证明

（3）利用（1）将转化为，后利用函数单调性解决问题.

【详解】（1）令有，得.

令有，又，得.

又令，得.

（2）证明：任取且.

则

因且，则.得.

则.故函数在上是减函数.

（3）由（1）知，则由可得.

由定义域为.得，则.

由（2）知函数在上是减函数，则由可得.

因，，则.

要使任意，恒成立，

只需，其中.

令，任取且，

则

因且，则，，

则，故在上单调递增.则

得.

综上的范围是.

【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的单调性，涉及到的做题方法如下：

（1）求抽象函数的函数值时，常采用赋值法.常利用相反数，倒数找到合适的赋值.

（2）证明抽象函数的单调性时，常利用对进行等价变形.

（3）解函数不等式时，常利用函数单调性转化为常规不等式，但要注意定义域.