2022-2023学年海南华侨中学高一上学期第一次段考(期中)数学试题(解析版)
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一、单选题
1.已知全集,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由集合的交并补运算即可求解.
【详解】,,,
故.
故选:D
2.下列四个写法:①;②;③;④.其中正确写法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【分析】利用集合的概念与包含关系,逐一判断即可.
【详解】对于①,是集合,也是集合,所以不能用这个符号,故①错误;
对于②,是空集,也是集合,由于空集是任何集合的子集,故②正确;
对于③,由集合的无序性可知两集合是同一个集合,再由一个集合的本身是该集合的子集,故③正确;
对于④,表示直线,两者毫无关联,故④错误;
综上,正确写法的有2个.
故选:B.
3.集合,,将集合A,B分别用如图中的两个圆表示,则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】首先求出集合,再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得;
【详解】解:∵,,
∴,则,,
选项A中阴影部分表示的集合为,即,故A错误;
选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成,即,故B正确;
选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成,即,有1个元素,故C错误;
选项D中阴影部分表示的集合由属于但不属于的元素构成,即,故D错误.
故选:B.
4.集合论是德国数学家康托尔(G.Cantor)于l9世纪末创立的.在他的集合理论中,用表示有限集合A中元素的个数,例如:,则.对于任意两个有限集合A,B,有.某校举办运动会,高一(1)班参加田赛的学生有15人,参加径赛的学生有13人,两项都参加的有5人,那么高一(1)班参加本次运动会的人数共有( )
A.28 B.23 C.18 D.16
【答案】B
【分析】根据所给公式即可代入求解.
【详解】设参加田赛的学生组成集合A,则,参加径赛的学生组成集合B,则,由题意得,所以,,
所以高一(1)班参加本次运动会的人数共有23.
故选:B
5.设甲是乙的充分不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,则丁是甲的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件概念求解即可.
【详解】因为甲是乙的充分不必要条件,所以甲乙,
因为丙是乙的充要条件,所以丙乙,即甲丙,
又因为丁是丙的必要不充分条件,所以丙丁,
所以甲丁,即丁是甲的必要不充分条件.
故选:B
6.已知集合,,,若,,则必有( )
A. B.
C. D.不属于集合A、B、C中的任何一个
【答案】B
【分析】设出的表示形式,计算后比较各集合的代表元形式可得.
【详解】由题意设,,其中都是整数,
则,其中是整数,可以是奇数也可以是偶数,
∴,
故选:B.
7.若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】先求原不等式解集,按m与3的大小分类讨论,使得m的取值满足题意即可.
【详解】原不等式等价于
有两根
当时,原不等式解集为,
其中最多只有2个正整数1和2,故不满足题意.
当时,原不等式解集为,
其中恰有3个正整数只能为4、5、6,
故.
故选:A.
8.已知,,且,则最小值为( )
A. B. C. D.4
【答案】C
【分析】先分离常数得到,再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】,结合可知:原式,
且
当且仅当,时等号成立.
即最小值为.
故选:C
二、多选题
9.下列说法中正确的有( )
A.“”是“”成立的充分不必要条件
B.命题:,均有,则的否定:,使得
C.设是两个数集,则“”是“”的充要条件
D.设是两个数集,若,则,
【答案】ACD
【分析】举反例可判断A选项;由全称例题的否定是特称命题可判断B选项;由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项;由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.
【详解】解:对于A,当时,能推出, 而由 不能推出 ,如,而,
所以 “”是“”成立的充分不必要条件,故A正确;
对于B,命题:,均有,则命题的否定:,使得,故B不正确;
对于C,是两个数集,则由能推出,反之,由 能推出 ,
所以 “”是“”的充要条件,故C正确;
对于D,是两个数集,若,即集合A、B存在相同的元素,则,,故D正确,
故选:ACD.
10.实数a,b,c,d满足:,则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质判断,错误的可举反例说明.
【详解】因为,所以,A正确;
满足条件,但,B错;,C错;
,,则,
所以,所以,D正确 .
故选:AD.
11.已知,,且,则( )
A.的取值范围是
B.的取值范围是
C.的最小值是3
D.的最小值是
【答案】BD
【分析】根据基本不等式可求得,判断A;将变形为结合基本不等式,判断B;由整理得到结合基本不等式可判断C,D.
【详解】对于A,因为,,所以,当且仅当时取等号,
即,解得,即,A错误;
对于B, 由,,,当且仅当时取等号,
得,所以,
又,所以,B正确;
对于C, 由,,,得,
则 ,
当且仅当,即时等号成立,但,
所以.(等号取不到),故C错误;
对于D,由C的分析知:,,,
,
当且仅当,即时等号成立,D正确,
故选:BD
12.在整数集Z中,被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为,,1,2,3,则下列结论正确的为( )
A.
B.
C.
D.整数a,b属于同一“类”的充要条件是“”
【答案】ABD
【分析】首先理解题干中的定义,将整数写成的形式,即可判断AB;根据所有整数被4除所得余数的情况,可判断C;对于D,先证明充分性,再证明必要性,即可判断D.
【详解】对于A,由得,故A正确;
对于B,由得,故B正确;
对于C,所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况,即刚好分成,,,共4类,故,故C错误.
对于D,若整数a,b属于同一“类”,则,,,,
故,所以;
反之,不妨设,,,,则,
若,则,即,
所以整数a,b属于同一“类”;
故整数a,b属于同一“类”的充要条件是“”,即D正确.
故选:ABD
三、填空题
13.已知集合,,若,则实数a的值为___________.
【答案】
【分析】由题意,可得方程的根,建立方程组,解得答案.
【详解】由题意,可知为方程的根,且为方程的根,
则,解得,
故答案为:.
14.函数的定义域为___________(结果写成集合或区间形式)
【答案】
【分析】求出使函数式有意义的自变量的取值范围.
【详解】由题意,解得且.
故答案为:.
15.若,则的最小值为__________.
【答案】6
【分析】化简,然后利用基本不等式求解即可
【详解】因为,
所以,
当且仅当即时,取等号,
故的最小值为6,
故答案为:6
16.若命题“,使得不等式”为假命题,则实数a的取值范围为___________(结果写成集合或区间形式).
【答案】
【分析】其否定是全称命题且为真命题,由不等式的性质可得.
【详解】由题知:,恒成立.
当时,,满足题意;
当时,知,即,解得.
综上,实数a的取值范围为.
故答案为:
.
四、解答题
17.设集合,集合
(1)用列举法写出集合B
(2)定义:,求中元素的个数.
【答案】(1)
(2)10
【分析】(1)由,解得x;
(2)先求出,,根据定义求出,继而得解.
【详解】(1)由,所以x可以取,所以.
(2)由题意可知:.
∴,
∵
∴.
∴中元素的个数为10.
18.已知集合,.
(1)求,;
(2)若集合,且.求m的取值范围.
【答案】(1),
(2)或
【分析】(1)先解不等式,再由补集和交集的运算规则计算即可;
(2)按C集合是否为空集分类讨论并计算即可.
【详解】(1)
,
;
(2)∵,
又,,
当时,,即,;
当时,由可得,
,或,
解得,
综上,m的取值范围为或.
19.已知正实数x,y满足,
(1)求的最小值;
(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】(1)由基本不等式、完全平方公式得解;
(2)根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的代换可求a的取值范围.
【详解】(1)因为,有,
所以,
当且仅当时,取等号,
所以的最小值为2;
(2)若恒成立,则,
因为,
当且仅当即,时,取等号,
所以的最小值为,即,
故实数a的取值范围是
20.2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一方面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响,某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元()满足(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产每件该产品的平均成本为元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍,取2020年该产品的利润为y(利润=收入-成本-促销费用)
(1)求 的值,将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1),
(2)该厂家2020年促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元
【分析】根据已知当时,即可求得,表示出代入即可求得利润关于促销费用的函数.
利用基本不等式即可求得利润的最大值.
【详解】(1)由题意知,当时,(万件),
则,解得,
∴.
所以每件产品的销售价格为(元),
∴2020年的利润
(2)∵当时,,
∴,
当且仅当即时等号成立.
∴,
即万元时,(万元).
故该厂家2020年促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元.
21.已知关于x的不等式.
(1)当,求不等式的解集.
(2)若,试讨论不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)代入不等式,整理成二次项系数为正的不等式,因式分解以便确定相应方程的根,得不等式的解;
(2)根据分类讨论,在时还需要根据两根的大小分类讨论可得.
【详解】(1),不等式为,即,,
∴或,
∴不等式的解集为.
(2)原不等式化,
时,不等式为,;
时,不等式化为,或,;
时,不等式化为,
当,即时,解得或;
当,即时,解得或;
当,即时,解得或.
综上所述,当时,不等式的解集或;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为或;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
22.设A是实数集的非空子集,称集合且为集合A的生成集.
(1)当时,写出集合A的生成集B;
(2)若A是由5个正实数构成的集合,求其生成集B中元素个数的最小值;
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A,使其生成集,并说明理由.
【答案】(1)
(2)7
(3)不存在,理由见解析
【分析】(1)利用集合的生成集定义直接求解.
(2)设,且,利用生成集的定义即可求解;
(3)不存在,理由反证法说明.
【详解】(1),
(2)设,不妨设,
因为,所以中元素个数大于等于7个,
又,,此时中元素个数大于等于7个,
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
(3)不存在,理由如下:
假设存在4个正实数构成的集合,使其生成集,
不妨设,则集合A的生成集
则必有,其4个正实数的乘积;
也有,其4个正实数的乘积,矛盾;
所以假设不成立,故不存在4个正实数构成的集合A,使其生成集
【点睛】关键点点睛:本题考查集合的新定义,解题的关键是理解集合A的生成集的定义,考查学生的分析解题能力,属于较难题.
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