2022-2023学年河北省石家庄市第二中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省石家庄市第二中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数的性质求出、，再根据交集的定义计算可得.

【详解】解：因为，，

所以；

故选：B

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】当时，可得，整理得到，即，

当时，，，此时，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，方法如下：

（1）当时，可以推出成立，满足必要性；

（2）当时，对赋值，令，可以判断不成立，不满足充分性；

（3）对不满足条件的，可以举反例.

3．某同学到长城旅游，他骑行共享单车由宾馆前往长城，前进了，疲意不堪，休息半小时后，沿原路返回，途中看见路边标语“不到长城非好汉”，便调转车头继续向长城方向前进，则该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可.

【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由宾馆往长城方向，前进了，则该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象应是直线，且单调递增；

第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象应是一条横线；

第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象应是直线，且单调递减；

第四段时间，调转车头继续向长城方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似；

因此只有C选项符合.

故选：C.

4．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性逐一判断即可

【详解】对于A

是偶函数

故A错误

对于B

在上单调递增

故B错误

对于C

是奇函数且在上单调递减

故C正确

对于D

在上单调递减，在上单调递增

故D错误

故选：C

5．已知函数，则（    ）

A．的最大值为2，最小值为1 B．的最大值为，无最小值

C．的最大值为，无最小值 D．的最大值为2，最小值为-1

【答案】B

【分析】先求得，再作出其图象，利用数形结合法求解.

【详解】因为，且，

所以当，即时，，

当，即或时，，

所以，

作出其图象如图所示：

由图象可知：的最大值为，无最小值，

故选：B

6．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解

【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为

（1）当时，得到，显然不等式的解集为；

（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．

（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，

得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；

综上，的取值范围为

故选：B

7．已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义和性质可得且在上有单调性，所以在上单调递增，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，

由可得，

因为在上有单调性，所以在上有单调性，

因为，所以在上单调递增，

对于A：，故选项A不正确；

对于B：，故选项B正确；

对于C：，故选项C不正确；

对于D：，，，

所以，故选项D不正确；

故选：B.

8．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.

【详解】因为，

所以，即的值域为[1,2]，

因为对于任意，总存在，使得成立，

所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，

当时，在上为增函数，所以，所以，

所以，解得，

当时，在上为减函数，所以，所以

所以，解得，

综上实数a的取值范围是，

故选：C

【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.

二、多选题

9．有以下判断，其中是正确判断的有（      ）

A． 与 表示同一函数；

B．函数 的图象与直线 的交点最多有 1 个

C．函数 的最小值为 2

D．若 ，则

【答案】BD

【分析】利用两个函数的定义域可判断A；根据函数的定义可判断B；利用均值不等式等号成立的条件可判断C；将函数值代入可判断D

【详解】选项A，函数定义域，函数定义域为R，故两个函数不是同一个函数，不正确；

选项B，由函数定义，定义域中的每个只有唯一的与之对应，正确；

选项C，，等号成立的条件是

即，无解，所以等号不成立，不正确；

选项D，，正确.

故选：BD

10．已知二次函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递减

B．不等式的解集为

C．若，则在上的值域为

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】分析出且二次函数的对称轴为直线，可判断A选项的正误；利用图象可判断B选项的正误；求出的值，利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用一元二次方程的解法可判断D选项的正误.

【详解】由图象可知，二次函数的图象开口向上，则，对称轴为直线.

对于A选项，函数在区间上单调递减，A对；

对于B选项，不等式的解集为，B对；

对于C选项，由图可知，则，可得，

所以，，

当时，，C错；

对于D选项，对于二次方程，该方程的两根分别为、，

由韦达定理可得，所以且，

由得，即为，解得，D对.

故选：ABD.

11．在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．对任意，都有

【答案】BCD

【分析】若定义域为，通过对称中心可代入函数，整理可得A和C选项，结合题意可得关于原点对称，得D选项正确，将1代入可求得B选项

【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；

结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；

代入1得，且所以，故B正确

故选：BCD

12．下列说法正确的有（    ）

A．的最小值为2

B．任意的正数， 且，都有

C．若正数、满足，则的最小值为3

D．设、为实数，若，则的最大值为

【答案】BCD

【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.

【详解】选项A： ，

当 时， ，当且仅当时有最小值.

故A不正确.

选项B：

对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，

当且仅当 时取得最大值.

所以 ，当且仅当时取得最大值.

故B正确.

选项C：对于正数， ,所以

所以

当且仅当 ，即时取得最小值.

故C正确.

选项D：因

所以 ，即

所以 ，当且仅当 时等号成立.

故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．函数的单调递增区间为______

【答案】

【分析】分类讨论去掉绝对值符号后由二次函数性质得单调增区间．

【详解】由题意时，，在是是增函数，

时，，在是递增，在上递减．

∴增区间为，．

故答案为：，．

【点睛】本题考查函数的单调性，含有绝对值的函数可根据绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后再研究其单调性．

14．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据二次函数的单调性，结合区间可求解出答案.

【详解】函数的对称轴为：

在为单调减函数；在 上为单调增函数

根据题意， 或

或 即： 或

故答案为：

15．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】根据函数为偶函数得到，根据函数的单调性和奇偶性结合定义域得到或，解得答案.

【详解】是定义在上的偶函数，则，，在上为增函数，，故或，解得.

故答案为：.

16．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】根据已知条件依次得到在附近的区间，、对应函数的解析式，然后按其规律画出函数的图象，再根据不等式恒成立结合函数的图象即可求解.

【详解】当时，，，

当，，，

当，，

，

由此作出函数的图象如图所示：

由图知：当时，令，

整理得：，解得：或，

对于任意的，都有，必有，

所以实数的取值范围是，

所以的最大值为，

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，，．

(1)求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求出与中不等式的解集，根据交集的定义与的交集即可；

（2）分，以及三种情况，分别求出集合中不等式的解集，根据为与交集的子集列关系式，可求出的范围．

【详解】(1)

由等价于等价于，

∴，解得或，

∴或，∴．

(2)

当时，，要使，

则，解得．

当时，，符合；

当时，，要使，

则，解得．

综上，a的取值范围是．

18．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小

(2)．

【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；

（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．

【详解】(1)由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，

当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

(2)由已知得x+2y＝30，

又∵（）•（x+2y）＝55+29，

∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．

∴的最小值是．

19．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求，的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)在，上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）利用奇函数的性质，结合（1），求解方程组，得到，的值，检验即可；

（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；

（3）将问题转化为，利用的单调性求出，分，和三种情况，利用的单调性求出，即可得到答案.

【详解】(1)因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），

则，解得，，

所以函数，

经检验，函数为奇函数，

所以，；

(2)在，上单调递增.

证明如下：设，

则，

其中，，

所以，即，

故函数在，上单调递增；

(3)因为对任意的，，总存在，，使得成立，

所以，

因为在，上单调递增，

所以，

当时，；所以恒成立，符合题意；

当时，在，上单调递增，则（1），

所以，解得；

当时，函数在，上单调递减，则，

所以，解得.

综上所述，实数的取值范围为.